Fisica per Farmacia A.A. 2018/2019

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1 Fisica per Farmacia /2019 Responsabile del corso: Prof. lessandro Lascialfari Tutor (16 ore: Matteo volio Lezione del 15/05/ h (13:30-15:30, ula G10, Golgi ESERCITZIONI TERMODINMIC Esercizio 1 La miscela benzina-aria nel cilindro di un motore diesel alla temperatura iniziale di 20 C viene compressa da una pressione iniziale di 1 atm e volume iniziale di 800 cm 3 ad un volume finale di 60 cm 3. ssumendo che la miscela si comporti come un gas perfetto con γ = C P / C v = 1.4 e che la compressione sia adiabatica, trovare la pressione finale e la temperatura finale della miscela. T = 20 C = 293 K V = 800 cm 3 = m 3 p = 1 atm = Pa = 60 cm 3 = m 3 γ = c p c V = 1.4 p B =? T B =? Per una trasformazione adiabatica, si applicano le equazioni di Poisson, per cui: pv γ = cost TV γ 1 = cost Dunque: p V γ = p B γ p B = p ( V γ = ( Pa ( m m 3 = Pa 37.6 atm Ma anche: T V γ 1 = T B γ 1 T B = T ( V γ 1 = (293 K ( m m 3 = (293 K ( m m 3 = 826 K = 553 C Esercizio 2 Una mole di un gas ideale monoatomico ha inizialmente una temperatura di 27 C. Esso viene riscaldato in maniera isocora fino ad una temperatura di 327 C, poi viene sottoposto ad una espansione isoterma fino alla sua pressione iniziale e infine viene compresso in maniera isobara fino allo stato iniziale. Tutte le trasformazioni sono reversibili. Calcolare il rendimento del ciclo.

2 n = 1 mol c V = 3 2 R R = mol K c p = 5 2 R T = 27 C = 300 K T B = 327 C = 600 K V = T C = T B p C = p η =? Rappresentiamo le trasformazioni nel piano p(v: nalizziamo il tratto B, una trasformazione isocora: V = cost L B = 0 Q B = nc V T = nc V (T B T = 1 mol 3 R (600 K 300 K = nalizziamo il tratto BC, una trasformazione isoterma: T = cost E intbc = 0 Q BC = L BC = ( nrt B ln V C Per determinare V C applichiamo l equazione di stato dei gas perfetti: p C V C = nrt C V C = nrt C p C = nrt C p Per determinare p applichiamo ancora l equazione di stato dei gas perfetti: p V = nrt p = nrt V Sostituiamo questo risultato nell espressione di V C : = nrt = p C

3 Dunque: V C = nrt C = nrt C p nrt T C T B = = V T B T Q BC = nrt B ln V T B C T = nrt ln = nrt B ln T B = 1 mol B T Infine, analizziamo la trasformazione C, isobara: K ln = 3458 mol K 300 Q C = nc p T = nc p (T T C = 1 mol 5 R (300 K 600 K = Calcoliamo quindi il calore complessivo assorbito, Q ass, e quello ceduto, Q ced, durante l intero ciclo: Q ass = Q B + Q BC = = 7200 E il rendimento del ciclo: Q ced = Q C = 6236 η = 1 Q ced Q ass = = Esercizio 3 Una macchina di Carnot è costituita da un gas perfetto che compie un ciclo tra le due temperature T a = 127 C e T b con T b < T a. Il gas, in un ciclo completo, compie un lavoro di 3000 e cede una quantità di calore Q = 9000 al termostato a temperatura più bassa. Calcolare la temperatura del termostato a temperatura minore T b. La macchina di Carnot è una macchina termica che lavora tra un serbatoio caldo, a temperatura: T c = T a = 127 C = 400 K E un serbatoio freddo, a temperatura: T f = T b < T a = T c In ogni ciclo sappiamo che: L = 3000 Q f = 9000 Scriviamo la definizione generale di rendimento di una macchina termica: η = L Q c = Q C Q f = 1 Q f Q c Q c Dove Q c è il calore prelevato dal serbatoio caldo e Q f il calore ceduto al serbatoio freddo. Dall uguaglianza: L = Q C Q f Ricaviamo: Q C = L + Q f = = Dunque il rendimento vale: η = L 3000 = Q c = 0.25

4 Nel solo caso di una macchina di Carnot che compie un ciclo reversibile il rendimento può essere scritto in funzione della temperatura dei due serbatoi, quindi: Da cui: η = 1 T f T c = 1 T b T a T b = T a (1 η = 400 K ( = 300 K = 27 C Esercizio 4 Una macchina di Carnot è costituita da 2 moli di un gas perfetto che compiono un ciclo tra le temperature T a = 227 C e T b = 127 C. lla temperatura più alta il gas assorbe una quantità di calore Q = Calcolare: a Il rendimento e il lavoro compiuto dal gas in un ciclo; b il rapporto tra il volume finale e quello iniziale nell isoterma alla temperatura maggiore. n = 2 mol T = 227 C = 500 K T B = 127 C = 400 K Q ass = a η =? L =? b V C /V =? T = T = cost a Calcoliamo il rendimento della macchina di Carnot: η = 1 T b 400 K = 1 T a 500 K = 0.2 Dalla definizione generale di rendimento η = L Q ass, troviamo quindi il lavoro svolto in un ciclo: L = η Q ass = = 2600 b In una trasformazione isoterma T = cost, dunque E int = 0 L = Q ass = Inoltre: L = nrt ln V C V L nrt = ln V C V V C = exp ( L = exp ( = V nrt e1.563 = mol mol K 500 K Esercizio 5 Se venisse fatta una macchina termica ideale di Carnot che utilizzasse come sorgente fredda il ghiaccio al punto di fusione T 1 = 0 C (con calore latente di fusione = /kg e come sorgente calda l'oceano alla sua temperatura media T 2 = 4 C, quale sarebbe la quantità di ghiaccio che si scioglierebbe in un'ora per produrre una potenza di P 0 = 1 GW?

5 T 1 = 0 C = 273 K T 2 = 4 C = 277 K = /kg P 0 = 1 GW = 10 9 W serbatoio freddo serbatoio caldo calore latente di fusione in un ora Calcoliamo subito il rendimento della macchina di Carnot: η = 1 T K = 1 T K = E il lavoro svolto in un ora (1 h = 3600 s: L = P 0 t = 10 9 W 3600 s = Poiché η = L, troviamo il calore assorbito dall oceano dalla macchina di Carnot: Q ass Q ass = L η = = Inoltre, L = Q ass Q ced, quindi troviamo il calore ceduto al ghiaccio dalla macchina di Carnot: Q ced = Q ass L = = Per calcolare la massa di ghiaccio che si scioglie in un ora, applichiamo la legge per le trasformazioni di fase: m = Q ced λ Q ced = λ m = /kg = kg Esercizio 6 [Si ricordi che per un adiabatica TV -1 =cost e PV = cost. Per un isocora Q = ncv (TC-TB ] c V = 3 2 R c p = 5 2 R R = 8.31 γ = c p c V = 1.67

6 p = Pa = Pa T = 300 K V = 2 m 3 T B = T = 300 K = 8 m 3 V C = p C =? T C =? η =? Consideriamo la trasformazione isoterma B. Innanzitutto, calcoliamo il numero di moli del gas, applicando l equazione di stato dei gas perfetti: p V = nrt n = p V Per una trasformazione isoterma: = (3 105 Pa(2 m 3 RT (8.31 (300 K = mol T = cost E intb = 0 Q B = L B = ( nrt ln V Q B = nrt ln V = mol 8.31 Essendo positivo, Q B è calore assorbito. Inoltre: L B = Q B = Consideriamo la trasformazione BC, isocora. V = cost L BC = 0 Q BC = nc V T = nc V (T C T B 8 m3 300 K ln mol K 2 m 3 = Ci occorre quindi conoscere T C per calcolare Q BC. Per determinare T C consideriamo la trasformazione C, adiabatica, per la quale vale l equazione di Poisson: T V γ 1 = T C V C γ 1 T C = T ( V γ 1 = T V ( V γ 1 = (300 K ( 2 m C 8 m 3 = (300 K ( 2 m m 3 = K Similmente, troviamo la pressione nel punto C: Calcoliamo quindi Q BC : p V γ = p C V C γ p C = p ( V γ = p V ( V γ = ( Pa ( 2 m C 8 m 3 = Pa Q BC = nc V T = nc V (T C T B = mol 3 2 R (118.5 K 300 K = Essendo negativo, Q BC è calore ceduto.

7 Infine, essendo C una trasformazione adiabatica, Q C = 0. Complessivamente, il calore assorbito nel ciclo vale: Q ass = Q B Mentre quello ceduto vale Q ced = Q BC Quindi il rendimento del ciclo è: Cioè il 34.5%. η = 1 Q ced Q ass = 1 Q BC Q B = = Esercizio 7 Una mole di un gas perfetto monoatomico passa dallo stato iniziale di coordinate termodinamiche : p = 2 atmosfere, V = 10 litri allo stato finale D, attraverso le seguenti trasformazioni: B, isobara con = 20 litri; BC, isoterma con V C = 40 litri ; CD, isovolumica con p D = 0.5 atmosfere. a Si disegnino le tre trasformazioni B, BC, CD in un diagramma ( V, p e si calcoli la quantità di calore totale scambiata nel passaggio del gas dallo stato iniziale allo stato finale D attraverso le tre trasformazioni date. Si precisi se la quantità di calore è assorbita o ceduta. b Si calcoli la variazione di energia interna del gas nel passaggio dallo stato iniziale allo stato finale D. (R= 8.31 /Kmole =0.082 l atm /K mol n = 1 mol c V = 3 R 2 c p = 5 R 2 R = 8.31 atm L = p = 2 atm = Pa V = 10 L = 10 2 m 3 p B = p = Pa = 20 L = m 3 T C = T B V C = 40 L = m 3 p D = 0.5 atm = Pa V D = V C = m 3 a Q D =? Q B =? Q BC =? Q CD =? b ΔE intd =? a Rappresentiamo graficamente le trasformazioni nel piano p(v: Consideriamo la trasformazione B, isobara: Q B = nc p T = nc p (T B T

8 Determiniamo T e T B usando l equazione di stato dei gas perfetti: p V = nrt T = p V nr p B = nrt B T B = p B nr (2 atm(10 L = (1 mol(0.082 atm L (2 atm(20 L = (1 mol(0.082 atm L = K = K Quindi: Q B = nc p (T B T = 1 mol 5 2 R (487.8 K K = 1 mol (243.9 K = 5065 mol K Poiché Q B > 0, è calore assorbito. Inoltre per una trasformazione isobara: L B = p V = p ( V = ( Pa( m m 3 = 2025 Consideriamo ora la trasformazione isoterma BC: T = cost E intbc = 0 Q BC = L BC = ( nrt B ln V C Q BC = nrt B ln V C = 1 mol 8.31 Essendo Q BC > 0, è calore assorbito. Inoltre: L BC = Q BC = 2810 Consideriamo infine la trasformazione CD, isocora: V = cost L CD = K ln = 2810 mol K 20 Q CD = nc V T = nc V (T D T C Dove T C = T B = K, mentre T D può essere ricavato dall equazione di stato dei gas perfetti: p D V D = nrt D T D = p DV D nr Notiamo che T D = T. Calcoliamo quindi: = p DV C nr (0.5 atm(40 L = (1 mol(0.082 atm L = K Q CD = nc V (T D T C = 1 mol 3 2 R (243.9 K K = 1 mol ( K mol K = 3040 Essendo Q CD < 0, è calore ceduto. Calcoliamo quindi il calore totale scambiato nella trasformazione D: Q D = Q B + Q BC + Q CD = = 4835 b Poiché abbiamo osservato che T D = T, la temperatura non cambia tra lo stato iniziale e quello finale dunque si può subito concludere che E intd = 0 Volendo, i dati calcolati in precedenza confermano questa conclusione: E intd = Q D + L D = Q D + L B + L BC + L CD = = 0