p A Esercizio (tratto dal Problema 13.6 del Mazzoldi 2)

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1 1 Esercizio (tratto dal Problema 13.6 del Mazzoldi 2) Un gas ideale (n 0.45 moli) passa con un isobara reversibile dallo stato A ( 2 bar) allo stato B, compiendo un lavoro W A B 640 J. Successivamente il gas passa dallo stato B allo stato C (T C K) con un isoterma reversibile, compiendo un lavoro W B C 454 J. NB: I punti 1. e 2. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le risposte ai punti 1. e 2. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati. 1. Calcolare il volume ; [1 punto] 2. Calcolare il volume V A ; [2 punti] - 3. Calcolare il volume V C ; [3 punti] 4. Calcolare la temperatura T A ; [1 punto] 5. Calcolare il calore scambiato lungo l isoterma B C; si tratta di calore assorbito o ceduto?; [2 punti] 6. Si può tornare da C ad A con un adiabatica reversibile? [3 punti] p A B C (R J mol 1 K 1 ) V

2 2 SOLUZIONE Riscriviamo i dati iniziali, in modo che tutti i dati siano espressi in unità del Sistema Internazionale. DATI INIZIALI: n 0.45 mol Pa T C K W A B 640 J W B C 454 J 1. Dall equazione di stato dei gas perfetti, applicata allo stato B, abbiamo p B nrt B nrt B p B (1) D altra parte sappiamo che T B T C (perché B C è un isoterma) p B (perché A B è un isobara) (2) Sostituendo in (1) otteniamo: nrt C (3) 0.45 mol / J mol / K/ Pa J Pa [uso J Nm e PaN/m 2 ] K/ m 3 (4) 2. Dall espressione del lavoro, applicata alla trasformazione A B, abbiamo VB W A B p dv V A [A B è un isobara p non dipende dal volume, è costante] VB p dv }{{} V A p B ( V A ) (5) da cui V A W A B (6)

3 3 V A W A B m J Pa [uso J Nm e PaN/m 2 ] m 3 (7) 3. Dall espressione del lavoro per l isoterma da B a C, otteniamo: Quindi abbiamo W B C p dv [lungo un isoterma p non è costante, ma dipende da V, quindi non possiamo portarla fuori dall integrale. Uso allora l equazione di stato.] nrt V dv [lungo un isoterma T è costante] nr }{{} T T B T C dv V nrt C ln V C (8) Pertanto W B C nrt C ln V C W B C ln V C nrt C (prendo l esponenziale di ambo i membri) e W B C nrt C V C (9) V C e W B C nrt C (10) V C m 3 exp 454 J/ J/ 0.45mol / mol / K/ K/ [Controllo dimensionale: l argomento di un exp deve essere adimensionale, semplifico le unità di misura] ( ) m exp }{{} adimensionale: OK m m 3 (11)

4 4 4. Per calcolare la temperatura T A utilizziamo nuovamente l equazione di stato V A nrt A (12) da cui, e utilizzando (7) T A V A nr (13) T A Pa m 3 J 0.45 mol / mol / K [uso JPa m 3 ] K (14) 5. Per calcolare il calore scambiato lungo l isoterma B C utilizziamo il primo principio U B C Q B C W B C (15) Ricordando che per un gas perfetto l energia interna U dipende solo dalla temperatura U n c V T notiamo che U B C n c V (T C T B ) 0, (16) in quanto B C è un isoterma. Pertanto da (15) abbiamo che Q B C W B C 454 J (17) Essendo Q > 0 si tratta di calore assorbito. Infatti durante B C il gas si espande e compie lavoro: dato che l energia interna rimane costante il lavoro viene compiuto assorbendo calore. 6. Le trasformazioni adiabatiche (reversibili) sono caratterizzate da equazioni pv γ cost (adiabatiche rev.) Siccome γ c p /c V > 1, nel piano p-v le curve delle trasformazioni adiabatiche hanno una pendenza maggiore rispetto alle curve isoterme, che sono invece caratterizzate da equazioni pv cost (isoterme) Osservo che lo stato A, rispetto allo stato C, è caratterizzato da: V A < V C T A < T C (18) Partendo dal punto che identifica lo stato C nel piano p-v (vedi Fig.1), l adiabatica che passa per C ha pendenza maggiore dell isoterma BC. Di conseguenza, se ci si muove da C lungo tale adiabatica diminuendo il volume, la temperatura del gas aumenta; e se ci si muove lungo tale adiabatica verso temperature piú basse (zona azzurra) il volume aumenta. In nessun caso si può dunque tornare allo stato A muovendosi lungo un adiabatica reversibile che parte da C.

5 5 V A B T T C T>T C T<T C C Figure 1: Nel piano p-v le adiabatiche reversibili (pv γ const, curve blu tratteggiate) hanno pendenza maggiore rispetto alle isoterme (pv const, curve rosse continue). L isoterma BC divide il piano p-v in due regioni: quella delle basse temperature T < T C (regione azzurra in basso a sinistra) e quella delle alte temperature T > T C (regione arancio in alto a destra). p