Conseguenze del teorema di Carnot

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1 Conseguenze del teorema di Carnot Tutte le macchine reversibili che lavorano tra le stesse sorgenti alle temperature T 1 e T 2 hanno rendimento uguale; qualsiasi altra macchina che lavori tra le stesse sorgenti non può avere rendimento maggiore; il risultato è indipendente dal particolare sistema che compie il ciclo Per macchine che lavorano utilizzando più di due sorgenti si può dire che la macchina reversibile è sempre quella con il massimo rendimento. Fisica 1 A.A. 2014/15 1

2 p i a b f V Entropia Consideriamo due diversi percorsi reversibili che collegano i punti i ed f, il primo percorso è costituito da una sola trasformazione, il secondo è formato da una adiabatica (i a), seguita da un isoterma (a b), seguita a sua volta da una adiabatica (b f). Facciamo in modo che i lavori corrispondenti ai due percorsi siano uguali. Dal punto di vista energetico i due percorsi reversibili sono equivalenti allora posso sempre sostituire una trasformazione reversibile qualunque con un percorso costituito da un adiabatica, un isoterma e una seconda adiabatica, tutte reversibili. Fisica 1 A.A. 2014/15 2

3 Teorema di Clausius Dalle ultime considerazioni fatte per il ciclo di Carnot abbiamo Consideriamo allora un ciclo reversibile qualunque di un gas ideale. Come abbiamo visto possiamo sostituire il ciclo con una successione di trasformazioni isoterme e adiabatiche reversibili, costruite in modo che i bilanci energetici dei due percorsi siano equivalenti. In questo modo il ciclo qualunque viene sostituito da una serie di cicli di Carnot. Maggiore è il numero n dei cicli, migliore è l approssimazione. I tratti di adiabatica interni sono percorsi in versi opposti, quindi si annullano. Fisica 1 A.A. 2014/15 3

4 Per ciascun ciclo si può scrivere Sommando su tutti gli n cicli abbiamo Se le trasformazioni avvenissero irreversibilmente, potremmo scrivere per assurdo Quindi avremmo, in contrasto con il teorema di Carnot Fisica 1 A.A. 2014/15 4

5 Per una macchina irreversibile in generale si ha Perché il ciclo considerato coincida con la somma dei cicli di Carnot, è necessario considerare isoterme di lunghezza infinitesime quindi si ha (T = temperatura della sorgente, Q visto dal sistema) Teorema di Clausius Fisica 1 A.A. 2014/15 5

6 p A 1 B 2 Percorriamo 2 in senso inverso da B ad A, se entrambe le trasformazioni sono reversibili. allora si ha un ciclo reversibile V L integrale non dipende dal percorso reversibile seguito, quindi possiamo porlo uguale alla variazione di una funzione che dipende solo dallo stato iniziale e da quello finale Fisica 1 A.A. 2014/15 6

7 La funzione così definita prende il nome di entropia. La sua unità di misura nel sistema SI è J/K. L entropia è definita a meno di una costante additiva arbitraria Dato che l entropia è una funzione di stato, possiamo calcolare ΔS per trasformazioni irreversibili semplicemente sostituendole con altre reversibili tra gli stessi stati iniziale e finale. T ed S possono essere utilizzate per descrivere lo stato termodinamico di un sistema. Si costruisce così un diagramma TS in cui l area al di sotto della curva che descrive la trasformazione rappresenta il calore scambiato nella trasformazione stessa. Se rappresentiamo un ciclo reversibile nel piano TS, l area racchiusa dal ciclo è la somma dei calori scambiati nel ciclo stesso e quindi rappresenta il lavoro totale. Fisica 1 A.A. 2014/15 7

8 T T 2 Trasformazione isoterma: segmento orizzontale Trasformazione adiabatica: segmento verticale Trasformazione adiabatica è isoentropica Ciclo di Carnot: rettangolo T 1 S 1 S 2 S Fisica 1 A.A. 2014/15 8

9 p 1 B 1 è irreversibile, 2 è reversibile Il ciclo fatto da 1 e -2 è irreversibile. Applichiamo il teorema di Clausius A 2 V La variazione di entropia è Se abbiamo un sistema termicamente isolato, Q = 0, quindi L entropia di un sistema isolato non può diminuire, essa aumenta se la trasformazione è irreversibile, rimane costante se la trasformazione è reversibile Fisica 1 A.A. 2014/15 9

10 Formulazione matematica del secondo principio della termodinamica L universo termodinamico (sistema + ambiente) è sempre un sistema isolato, per una trasformazione si ha Se consideriamo una trasformazione ciclica ΔS sist = 0, quindi Le trasformazioni sono sempre nella direzione indicata dall aumento dell entropia dell universo Fisica 1 A.A. 2014/15 10

11 Entropia del gas ideale n moli di gas ideale, A (p A, V A, T A ) B (p B, V B, T B ) reversibile, dal primo principio si può calcolare il calore scambiato Infine Fisica 1 A.A. 2014/15 11

12 p B A S 1 S 4 S 3 S 3 V quindi S 1 <S 2 <S 3 <S 4 <S i Fisica 1 A.A. 2014/15 12

13 p Analizziamo ora una trasformazione adiabatica irreversibile di n moli di gas ideale. Identifichiamo le curve isoterma e adiabatica reversibili passanti per lo stato di equilibrio A. A partire da questo stato facciamo un espansione adiabatica irreversibile. Essa no può passare al di sotto dell adiabatica reversibile perché ΔS > 0. A Inoltre la temperatura dello stato finale deve essere T A, dato che durante un espansione V adiabatica il gas si raffredda, a meno che non si abbia un espansione libera. (non si può in alcun modo tornare in A) Concludiamo che gli stati finali stanno al di sotto dell isoterma e al di sopra dell adiabatica (area con tratteggio orizzontale). Con ragionamenti analoghi si trova che per una compressione adiabatica irreversibile che inizia dallo stato A, gli stati finali accessibili stanno nella zona con tratteggio verticale. Fisica 1 A.A. 2014/15 13

14 Energia inutilizzabile Aumento dell entropia degradazione dell energia meno lavoro disponibile. Ad esempio nell espanzione libera non c è equilibrio meccanico, W = Q = 0, T = costante e il volume aumenta. ΔS sist = ΔS u dato che il processo è adiabatico. Se andiamo da A a B con un isoterma reversibile abbiamo La differenza tra il lavoro ottenuto con il processo irreversibile e quello che si sarebbe potuto ottenere seguendo un percorso reversibile è Fisica 1 A.A. 2014/15 14

15 Sottraiamo ora in modo irreversibile il calore Q ad una sorgente a temperatura T 2 e poi lo cediamo ad una sorgente a T 1 < T 2. Il lavoro prodotto è W = 0, quindi Utilizzando una macchina reversibile operante tra T 1 e T 2 per prelevare il calore Q, si otterrebbe il lavoro W R Quindi Infine per un processo irreversibile Energia inutilizzabile T 0 è la temperatura più bassa tra quelle delle sorgenti disponibili Fisica 1 A.A. 2014/15 15