Il primo principio della termodinamica

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1 1 Il primo principio della termodinamica Il primo principio della termodinamica Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che per far innalzare la temperatura di un sistema vi sono due possibilità: fornendo calore al sistema, per esempio mediante una fiamma o una stufa compiendo un certo lavoro sul sistema, per esempio con l attrito. Ricordando che l energia interna U del sistema dipende dalla sua temperatura, combiniamo le osservazioni precedenti in un unica equazione e otteniamo il primo principio della termodinamica: La variazione di energia interna U di un sistema è uguale alla differenza tra il calore e il lavoro scambiati dal sistema con l ambiente esterno. In simboli: U = Q L. Per quel che riguarda il segno, i valori che assumono le due grandezze Q e L seguono la seguente convenzione: Q è positivo quando il sistema assorbe calore dall ambiente esterno Q è negativo quando il sistema cede calore all ambiente esterno L è positivo quando il sistema compie lavoro sull ambiente esterno L è negativo quando il sistema subisce lavoro dall ambiente esterno. Questa convenzione deriva dal fatto che tali grandezze vennero applicate alle macchine termiche per le quali era naturale introdurre calore e produrre lavoro. Possiamo verificare che applicando questa convenzione si ha: Q positivo e/o L negativo ne segue che U aumenta Q negativo e/o L positivo ne segue che U diminuisce Se invece Q e L sono entrambi positivi o entrambi negativi il segno di U dipende da quale dei due è più grande. Esempio 1 Calcolo della variazione di energia interna di un gas mediante l applicazione del primo principio della termodinamica Consideriamo un gas contenuto in un cilindro dotato di un pistone mobile sul quale è posto un certo peso. Inizialmente il gas è in equilibrio e possiede energia interna U 0. Il gas riceve dall ambiente esterno la quantità di calore Q = 4, e solleva il peso compiendo un lavoro L 1 = 2, In un secondo momento, dopo essere ritornato alle condizioni iniziali, oltre che ricevere il calore Q, il gas viene compresso e subisce il lavoro L 2 = 2, Vogliamo calcolare di quanto varia l energia interna in ognuno dei due processi. Scriviamo i dati del problema Primo processo: Calore assorbito: Q = 4, Lavoro compiuto: L 1 = 2, Secondo processo: Calore assorbito: Q = 4, Lavoro subito: L 2 = 2, Incognite Valore della variazione di energia interna U in ognuno dei due processi. Analisi e soluzione Per determinare la variazione di energia interna U applichiamo ai dati del problema il primo principio della termodinamica. Primo processo: U 1 = Q L 1 = 4, , = 1, Secondo processo: U 2 = Q L 1 = 4, ( 2, ) = 6,5 10 3

2 2 Il primo principio della termodinamica esprime il bilancio energetico tra il sistema e l ambiente esterno; questo principio, riscritto nella forma Q = U + L non è altro che il principio di conservazione dell energia: il calore fornito al sistema si trasforma in energia interna del sistema o in lavoro. Un altra importante conclusione che deriva dal primo principio della termodinamica è il fatto che un sistema termodinamico non può produrre con continuità lavoro senza che, in cambio, gli venga fornita dall esterno una quantità equivalente di energia. Questo principio quindi definisce l impossibilità di realizzare il cosiddetto moto perpetuo di prima specie, cioè un dispositivo che compie lavoro senza ricevere energia. Analizziamo ora come il primo principio della termodinamica viene applicato ad alcune trasformazioni di un sistema costituito da un gas ideale. Trasformazione isovolumica (isocora o a volume costante) Consideriamo un gas contenuto in un recipiente il cui volume V non può cambiare, come per esempio nella pentola a pressione. Come abbiamo visto nella lezione precedente il lavoro L in una trasformazione isovolumica è nullo, pertanto il primo principio della termodinamica viene così espresso: U = Q. Otteniamo quindi: se il calore Q è fornito al sistema, esso risulta positivo e va ad aumentare l energia interna e di conseguenza la temperatura se il calore Q è sottratto al sistema, esso risulta negativo e va a diminuire l energia interna e di conseguenza la temperatura. Trasformazione isobarica (a pressione costante) Consideriamo un gas che si trova in un recipiente cilindrico dotato di un pistone mobile; sul pistone è posto un certo peso. Inizialmente il gas è in equilibrio alla temperatura T, al volume V e alla pressione p. Fornendo il calore Q al gas la sua energia interna aumenta, aumentando così la temperatura. Contemporaneamente il pistone si alza e compie il lavoro L. Il peso del pistone e la massa non cambiano, per cui la pressione rimane costante. Riscriviamo il primo principio della termodinamica nella forma Q = U +L: una parte del calore fornito al sistema si trasforma in energia interna aumentando così la temperatura, e l altra parte compie il lavoro L aumentando il volume V. Confrontiamo ora il calore da fornire a una certa quantità di gas per far aumentare la sua temperatura di 1 K rispettivamente per mezzo di una trasformazione a volume costante e per mezzo di una trasformazione a pressione costante. se la trasformazione avviene a volume costante, tutto il calore fornito al gas serve per variare l energia interna e quindi la temperatura; nella trasformazione a pressione costante per ottenere lo stesso innalzamento di temperatura del caso precedente occorre fornire più calore, perché una parte di questo si trasforma in lavoro. Il gas, pertanto, ha due calori specifici: il calore specifico per le trasformazioni a volume costante e indicato con il simbolo c v il calore specifico per le trasformazioni a pressione costante e indicato con il simbolo c p dove il calore specifico a pressione costante c p risulta maggiore del calore specifico a volume costante c v : c p > c v Osserviamo quindi come nei gas, a differenza che nei liquidi e nei solidi, il calore specifico dipende dalla trasformazione seguita. Tabella 1 Calori specifici di alcuni gas Gas

3 3 c p c p kg K cv mol K c v kg K mol K Anidride carbonica , ,46 Aria Elio , ,47 Idrogeno , ,42 Ossigeno , ,76 Il calcolo dell energia interna Poiché in una trasformazione isovolumica la variazione di energia interna è uguale al calore assorbito e dipende solamente dalla temperatura, in qualunque trasformazione possiamo calcolare la sua variazione mediante la formula U = v c m T, dove: v c è il calore specifico a volume costante espresso in, m è la massa del gas e T è la variazione di temperatura; oppure kg K U = c v n T, dove: c v è il calore specifico a volume costante espresso in, n è il numero mol K di moli e T è la variazione di temperatura. Trasformazione isotermica (a temperatura costante) Nella trasformazione isotermica la temperatura rimane costante per cui la variazione U di energia interna è nulla. Il primo principio della termodinamica si scrive in questo caso: 0 = Q L da cui Q =L Questa equazione significa che il calore che il gas riceve (o cede) si trasforma interamente in lavoro compiuto sull ambiente esterno (o ricevuto dall ambiente esterno). Trasformazione adiabatica Una trasformazione è adiabatica se avviene senza scambio di calore con l esterno; questo si può verificare per esempio in un contenitore a pareti adiabatiche, cioè tali da impedire il passaggio di calore, come per esempio nei thermos; oppure sono trasformazioni adiabatiche quelle che avvengono in modo così rapido da non lasciare il tempo al calore di propagarsi (come le esplosioni). L equazione del primo principio della termodinamica diventa: U = L e significa: il lavoro compiuto dal sistema sull ambiente esterno avviene a spese dell energia interna con la conseguente diminuzione di temperatura il lavoro compiuto dall ambiente esterno sul sistema determina un aumento dell energia interna e quindi della temperatura. Trasformazione ciclica In una trasformazione ciclica il gas attraversa diversi stati di equilibrio ritornando allo stato iniziale. Per esempio il pistone di un cilindro può espandersi per il calore ricevuto e poi ritornare agli stessi valori di pressione, volume e temperatura che aveva all inizio. Poiché la temperatura non è cambiata, si ha che la variazione di energia interna è nulla: U = 0. Pertanto dal primo principio della termodinamica abbiamo: Q = L. In altre parole in una trasformazione ciclica il lavoro compiuto dal gas è uguale al calore totale che esso scambia con l ambiente esterno. Riassumiamo nella seguente tabella i risultati ottenuti dalle analisi precedenti. Trasformazione termodinamica Caratteristiche Primo principio Isobara o a pressione costante p = costante; L = p V U = Q L Isovolumica o a volume costante L = 0 U = Q Isoterma o a temperatura costante T = costante; U = 0 Q = L Adiabatica (senza scambio di calore) Q = 0 U = L

4 4 Anche se in questa lezione abbiamo analizzato solo il caso dei gas, il primo principio della termodinamica ha comunque valore generale e può essere applicato a qualunque altro sistema, sia solido che liquido. In questi casi occorrerà tener presente che le variazioni di volume sono trascurabili e quindi il lavoro L dovuto alla deformazione del sistema è nullo; il primo principio della termodinamica si riduce allora all espressione U = Q. Il lavoro che eventualmente può essere considerato è quello generato da forze che non cambiano il volume, come la forza d attrito; in questo caso l espressione del primo principio risulta completa: U = Q L. Il primo principio della termodinamica nel quotidiano In un motore diesel l accensione del gasolio nei cilindri avviene attraverso un trasformazione adiabatica e non per mezzo di una scintilla. Il pistone posto in un cilindro comprime rapidamente la miscela di gasolio e di aria, la temperatura aumenta prima che il calore abbia il tempo di uscire dal sistema, perciò la trasformazione è adiabatica e la temperatura stessa raggiunge valori sufficienti da incendiare la miscela. Una manifestazione in ambiente naturale della trasformazione adiabatica si ha quando, nei pressi della superficie terrestre, una corrente d aria calda e umida sale verso l alto. Mentre sale la pressione atmosferica diminuisce e di conseguenza l aria si espande in modo adiabatico, raffreddandosi. Le goccioline di vapore si condensano formando nuvole ed eventualmente precipitazioni. Il primo principio della termodinamica ci permette di capire perché un elastico si riscalda mentre viene allungato. Il rapido allungamento di un elastico è un processo adiabatico durante il quale non avviene alcuno scambio di calore con l aria circostante per cui il primo principio della termodinamica diventa: U = L. Il lavoro compiuto dalla forza che allunga l elastico è negativo perché compiuto sull elastico stesso, quindi il secondo membro dell equazione risulta positivo e l energia interna aumenta, aumentando di conseguenza anche la temperatura dell elastico.

5 5 Verifiche di comprensione 1. Enuncia il primo principio della termodinamica 2. Scrivi l equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica 3. Sostituisci al posto dei puntini i vocaboli adeguati: a. L è positivo quando il sistema lavoro l ambiente esterno b. è negativo quando il sistema cede calore all ambiente esterno c. L è negativo quando il sistema dall ambiente esterno d. Q è positivo quando il sistema calore dall ambiente esterno (lavoro, calore, dal, sul, positivo, negativo, compie, cede, subisce, assorbe, L, Q) 4. Completa le seguenti affermazioni: rispetto al primo principio della termodinamica a. se Q è positivo e L negativo, U b. se Q è negativo e L positivo, U 5. Spiega in che cosa può trasformarsi il calore fornito a un sistema termodinamico 6. Spiega in che cosa consiste il moto perpetuo di prima specie 7. Illustra perché il primo principio della termodinamica sancisce l impossibilità di realizzare il moto perpetuo di prima specie 8. Scrivi l equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una trasformazione isovolumica 9. Quali conseguenze si hanno se si fornisce calore a una sistema mediante una trasformazione a volume costante? 10. Scrivi l equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una trasformazione isobarica 11. Spiega perché i gas hanno due calori specifici e quale dei due è il maggiore 12. Scrivi l equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una trasformazione isotermica 13. Quali conseguenze si hanno se si fornisce calore a una sistema mediante una trasformazione a temperatura costante? 14. Scrivi l equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una trasformazione adiabatica 15. Qual è la relazione tra il lavoro scambiato da un gas con l ambiente esterno e la variazione di temperatura in una trasformazione adiabatica? 16. Qual è la caratteristica in termini energetici di una trasformazione ciclica? 17. A che cosa è uguale il lavoro scambiato da un sistema termodinamico mediante una trasformazione ciclica? 18. Come avviene l accensione del carburante nel motore diesel? 19. Che cosa avviene alle molecole di vapore di una corrente calda ascensionale e perché? 20. Perché un elastico si riscalda mentre viene allungato? Verifiche di conoscenza 1. Quale delle seguenti equazioni rappresenta il primo principio della termodinamica: a. Q = L + U b. L = Q U c. L = Q + U d. U = Q L 2. In quale delle seguenti trasformazioni il lavoro compiuto da un gas contenuto in un cilindro dotato di un pistone mobile è nullo: a. isoterma b. isobara c. isovolumica 3. In quale delle seguenti situazioni il lavoro compiuto da un gas è positivo? a. la temperatura finale è maggiore della temperatura iniziale

6 6 b. il volume finale è maggiore del volume iniziale c. la pressione finale è maggiore della pressione iniziale 4. Vero/Falso V F a. Il primo principio della termodinamica riguarda trasformazioni di energia meccanica in energia termica b. Una trasformazione termodinamica è ciclica quando lo stato finale coincide con lo stato iniziale c. La variazione di temperatura di un gas perfetto in una trasformazione termodinamica è sempre inversamente proporzionale alla variazione di energia interna d. Una trasformazione ciclica è espressa dall equazione: Q + L = costante 5. Se in una trasformazione isotermica il volume finale diventa il triplo del volume iniziale, il primo principio della termodinamica assume la forma: a. U = Q 2 L b. L = 0 c. Q =L d. U = 2L 6. Quale delle seguenti frasi è errata: a. Se comprimiamo un gas in un cilindro mediante una trasformazione adiabatica, l energia interna del gas aumenta b. Si può sempre realizzare una compressione adiabatica di un gas a temperatura costante c. Un gas, pur cedendo calore, si riscalda solo se subisce un lavoro maggiore del calore ceduto 7. I gas hanno due calori specifici, quello a pressione costante e quello a volume costante: a. per distinguere i gas reali da quelli ideali b. perché il calore specifico dei gas dipende dal tipo di trasformazione utilizzata c. per distinguere i gas monoatomici da quelli le cui molecole sono formate da più atomi 8. In un gas perfetto il confronto tra i calori specifici porta a: a. c p < c v b. c p > c v c. c p = c v Problema svolto Calcolo del calore assorbito da un gas per variare la temperatura rispettivamente a volume costante e a pressione costante Vogliamo determinare quanto calore occorre fornire a 3,75 moli di ossigeno, la cui massa molare è pari a 32 g mol 1, per aumentare la sua temperatura da 20 C a 140 C rispettivamente: a. a volume costante (c v = 20,76 ) b. a pressione costante (c p = 29,09 ). In questo secondo caso vogliamo calcolare il lavoro compiuto dal gas. Scriviamo i dati del problema Massa di ossigeno: m = 3,75 moli Temperatura iniziale dell ossigeno: t 0 = 20 C; temperatura finale dell ossigenot f = 140 C Incognite a. calore Q v fornito a volume costante b. calore Q p fornito a pressione costante Analisi e soluzione Calcoliamo il calore fornito utilizzando la formula Q = c m t per ognuno dei due casi. La differenza di temperatura è la stessa sia calcolata in gradi kelvin che calcolata in gradi celsius. a. Trasformazione a volume costante Q v = 20,76 3,75 moli 120 C = 9,3 10 3

7 7 b. Trasformazione a pressione costante Q p = 29,09 3,75 moli 120 C = 13, Calcoliamo ora il lavoro compiuto dal gas; dal primo principio della termodinamica abbiamo: L = Q U. La variazione di energia interna è U = c v n T = 20,76 3,75 moli 120 C = 9, Abbiamo visto che il calore scambiato è pari a 13,1 10 3, quindi per il lavoro avremo: L = 13, , = 3, Problemi 1. Calcola la variazione di energia interna nei seguenti casi: a. il gas assorbe 7, di calore dall ambiente esterno e compie contemporaneamente 4, di lavoro sull ambiente esterno b. il gas assorbe 7, di calore dall ambiente esterno e subisce contemporaneamente un lavoro di 4, dall ambiente esterno c. il gas cede 7, di calore dall ambiente esterno e compie contemporaneamente un lavoro di 4, sull ambiente esterno 2. Un gas contenuto in un cilindro dotato di un pistone scorrevole durante una trasformazione termodinamica assorbe una quantità di calore Q = e si espande da 20 dm 3 a 50 dm 3 alla pressione costante p = 1, Pa. Calcola il lavoro compiuto dal gas e la sua variazione di energia interna. 3. Un gas contenuto in un cilindro dotato di pistone scorrevole assorbe una certa quantità di calore Q e il suo volume aumenta di 30 cm 3 alla pressione costante p = 2, Pa. Sapendo che la variazione di energia interna del gas è di 250, determina il lavoro compiuto dal gas e il calore assorbito. 4. Una massa di 100 g di elio contenuta in un certo recipiente, viene riscaldata da 15 C a 160 C mantenendo costante il volume. Di quanto aumenta l energia interna del gas? 5. Una massa di anidride carbonica passa da 30 C a 120 C attraverso una trasformazione isovolumica durante la quale la sua energia interna aumenta di 6, Calcola la massa del gas. 6. Una massa di 100 g di aria passa da 20 C a 160 C mediante una trasformazione isobarica. Calcola la variazione di energia interna e il calore assorbito dalla massa d aria. (Suggerimento: ricorda che l energia interna si calcola come calore scambiato in una isovolumica tra due stati aventi le temperature dello stato iniziale e finale ) 7. Durante una trasformazione isobarica una massa di 20 moli di elio viene riscaldata di 70,0 C. Calcola quanto lavoro compie il gas. Si espande o viene compresso? (Vedi suggerimento problema 6) 8. Una certa quantità di anidride carbonica durante una trasformazione termodinamica cede all ambiente esterno la quantità di calore Q = 2, e contemporaneamente la sua energia interna aumenta di 5, Calcola il lavoro compiuto dal gas. Si espande o viene compresso? 9. Una massa di 100 g di idrogeno durante una trasformazione termodinamica viene compressa subendo un lavoro di 1, La sua energia interna diminuisce di 2, Calcola la variazione di temperatura del gas sia in gradi kelvin che in gradi celsius. 10. Il grafico p/v disegnato in figura rappresenta la trasformazione ciclica ABCDC compiuta da un gas perfetto. Facendo riferimento ai dati presentati sul grafico: a. calcola la variazione di energia interna del gas b. calcola il lavoro compiuto dal gas in un ciclo c. calcola il calore scambiato dal gas in un ciclo