Fisica 1 Anno Accademico 2011/2012

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Laura Donati
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1 Matteo Luca Ruggiero di Torino Anno Accademico 2011/2012 (4 Giugno - 8 Giugno 2012)

2 Sintesi Abbiamo formulato il primo principio della termodinamica che regola gli scambi di calore, la variazione di energia interna, e il lavoro nelle trasformazioni fra stati di equilibrio di un sistema termodinamico. Abbiamo quindi introdotto le trasformazioni cicliche fatte da un sistema termodinamico, e studiato il ciclo di Carnot. In generale, abbiamo introdotto il concetto di rendimento di una macchina termica e di efficienza di una macchina frigorifera. 1 Esercizi svolti ad Esercitazione Esercizio 11.1 (da S. Rosati, R. Casali, Problemi di Fisica Generale ) Una mole di un gas perfetto monoatomico, inizialmente alla pressione atmosferica e alla temperatura T A = 500 K effettua le seguenti trasformazioni: (1) isoterma reversibile dallo stato iniziale A allo stato B, in cui V B = 2V A ; (2) adiabatica irreversibile dallo stato B allo stato C, tale che V C = 3V B e T C = T A /2; (3) isoterma reversibile fino a un certo stato D; (4) isobara reversibile fino a tornare nello stato iniziale A. (1) Calcolare lo stato termodinamico del sistema in A,B,C,D; (2) calcolare lavoro eseguito e calore scambiato in ciascuna delle trasformazioni effettuate; (3) calcolare il rendimento del ciclo. Traccia di Soluzione. L equazione di stato pv = nrt (1) permette di calcolare lo stato del gas in tutti gli stati di equilibrio, a partire dalla conoscenza del valore delle variabili termodinamiche nello stato iniziale A. Dal primo principio, ricaviamo nella trasformazione A B Nella trasformazione B C Q AB = L AB = nrt A ln V B V A. (2) Q BC = 0, L BC = nc V (T C T B ) (3) m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 2

3 Nella trasformazione C D Nella trasformazione D A Q CD = L CD = nrt C ln V D V C. (4) L DA = 0, Q DA = nc p (T A T D ). (5) Notiamo che, essendo Q AB > 0, Q DA > 0, mentre Q CD < 0, possiamo scrivere per il rendimento η = L Q ass = L AB + L BC + L CD Q AB + Q DA. (6) Esercizio 11.2 (da S. Rosati, R. Casali, Problemi di Fisica Generale ) Un recipiente contenente del gas perfetto biatomico è diviso da un setto fisso in due parti A e B, aventi volume V A = 22.4 litri e V B = 44.8 litri. Inizialmente, p A = 6atm, T A = 273 K, p B = 3 atm, T B = 546 K. Il recipiente è isolato adiabaticamente dall esterno, mentre il setto separatore è diatermico. (1) Calcolare la temperatura del gas quando l equilibrio termico è stato raggiunto. (2) Calcolare le pressioni del gas in A e B all equilibrio. Traccia di Soluzione. Il sistema effettua una trasformazione adiabatica, per cui indicando con Q A, Q B la quantità di calore scambiata rispettivamente dal gas A e B, deve risultare Q A + Q B = 0. Dato che non c e variazione di volume, i gas non compiono lavoro per qui Q A = U A, Q B = U B (dal primo principio). Si ottiene quindi la temperatura finale T f = n AT A + n B T B n A + n B (7) dalla quale, poi, utilizzando l equazione di stato è possibile determinare le pressioni finali dei due gas. Esercizio 11.3 (da S. Longhi, M. Nisoli, R. Osellame, S. Stagira Fisica Sperimentale ) Un gas perfetto monoatomico compie un ciclo motore reversibile formato da due adiabatiche e da due isobare, a pressione p 1 e p 2 > p 1. (1) Calcolare il rendimento del ciclo in funzione del rapporto p 2 /p 1. Traccia di Soluzione. Nelle due trasformazioni isobare possiamo scrivere Q AB = nc p (T B T A ) = c p R p A (V B V A ) (8) m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 3

4 Q CD = nc p (T D T C ) = c p R p C (V D V C ) (9) dove si è usata l equazione di stato per introdurre la variazione di volume. Sia p 2 = p A, p 1 = p C. Essendo Q ass = Q AB, Q ced = Q CD i calori assorbito e ceduto, rispettivamente, possimo scrivere il rendimento η = 1 Q ced Q ass = 1 p 1 p 2 V C V D V B V A (10) Usando la relazione di Poission pv γ = cost per una adiabatica reversibile, otteniamo Quesiti Proposti η = 1 ( p1 p 2 ) γ 1 γ (11) 11.1 Un gas perfetto compie una trasformazione fra due stati di equilibrio, A e B. 1. Se la temperatura iniziale è uguale a quella finale, il calore scambiato è necessariamente nullo 2. Se la temperatura iniziale è maggiore di quella finale, il calore scambiato è necessariamente positivo 3. Se la trasformazione è adiabatica e reversibile, ad un aumento di pressione corrisponde una diminuzione di volume 4. Se la trasformazione è adiabatica e reversibile il lavoro è necessariamente nullo Si consideri il rendimento di una macchina termica, operante fra due termostati a temperatura T 1, T 2, con T 2 > T Se si tratta di una macchina di Carnot, il rendimento risulta essere η = 1 T1/T2 solo se il fluido con cui opera è un gas perfetto 2. Se la macchina compie un ciclo reversibile con un gas perfetto, il rendimento risulta essere η = 1 T1/T2 in ogni caso 3. Se la macchina compie un ciclo irreversibile con un gas perfetto, il rendimento risulta essere η 1 T1/T2 4. Se si tratta di una macchina di Carnot, il rendimento dipende dal tipo di gas perfetto utilizzato m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 4

5 Soluzioni dei Quesiti Proposti 10.1 Un gas perfetto monoatomico compie un ciclo. 1. Alla fine del ciclo, la temperatura non è variata solo se le trasformazioni effettuate sono tutte reversibili 2. Nel ciclo il gas assorbe calore solo se il ciclo contiene almeno una trasformazione irreversibile 3. Nel ciclo il gas cede calore solo se il ciclo contiene tutte trasformazioni reversibili 4. Il prodotto fa il calore scambiato ed il lavoro fatto dal gas è sempre una quantità positiva Un gas perfetto monoatomico è contenuto in un recipiente A, il quale è collegato tramite una valvola ad un altro recipiente B, contenente gas perfetto biatomico. La valvola viene aperta. L intero sistema è isolato adiabaticamente. 1. Il gas contenuto inizialmente in A effettua una trasformazione adiabatica. 2. Il gas contenuto inizialmente in B effettua una trasformazione adiabatica. 3. Il calore ceduto/assorbito dal gas inizialmente in A è uguale a quello assorbito/ceduto dal gas inizialmente in B 4. Il calore ceduto/assorbito dal gas inizialmente in A è maggiore a quello assorbito/ceduto dal gas inizialmente B m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 5

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