Il test (o i test) del Chi-quadrato ( 2 )

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1 Il test (o i test) del Chi-quadrato ( ) I dati: numerosità di osservazioni che cadono all interno di determinate categorie Prima di tutto, è un test per confrontare proporzioni Esempio: confronto tra numero semi lisci e rugosi osservati in nella discendenza di una pianta eterozigote autofecondata DATI: 59 semi lisci e 14 semi rugosi o p = 59/73 = Ci si chiede di verificare l ipotesi nulla che la proporzione di semi lisci, 0, sia 0.75 Ci ricorda qualcosa?

2 Sappiamo già affrontare questo problema con un semplice test z! H 0 : = 0 H 1 : 0 z calc p n Però questa analisi si può affrontare anche con il test del chi-quadrato, calcolando sulle numerosità (non sulle proporzioni) la statistica Osservati sono le numerosità osservate ( Osservati Attesi ) Attesi ( O A A ) calc Attesi sono le numerosità attese se fosse vera l ipotesi nulla La sommatoria è per tutte le categorie ( in questo caso, semi lisci e semi rugosi) Come per il test z, questo test è valido se le numerosità attese nelle categorie sono maggiori o uguali a 5

3 Nell esempio o Valori attesi di semi lisci, su un totale di 73 semi, è pari a 0.75*73 = o Valori attesi di semi rugosi, su un totale di 73 semi, è pari a 0.5*73 = 18.5 o I valori attesi possono avere numeri decimali: sono medie di tante repliche ipotetiche di un esperimento sotto H 0 o Il totale dei valori attesi deve essere pari al numero totale di osservazioni! Per le verifica della significatività, ci servono i valori critici di una distribuzione teorica nuova, quella del. Infatti si può dimostrare che se è vera l ipotesi nulla (= 0 ), allora la distribuzione della statistica ( calc) segue una distribuzione teorica nota, quella del appunto, con un numero di gradi di libertà pari al numero di categorie indipendenti gdl: numero di pezzettini di informazione indipendente oppure numero di pezzettini di informazione meno il numero di parametri stimati dai dati per calcolare gli attesi In questo caso, c'è soltanto 1 gdl, e lo posso dimostrare in due modi: o esiste solo una classe indipendente (la numerosità nell'altra la posso calcolare per differenza dal totale) o se alle due classi di partenza tolgo una singola quantità che proviene dai dati e che mi serve per calcolare i valori attesi (il totale di osservazioni) ottengo 1.

4 La distribuzione del Tante curve a seconda dei gradi di libertà Il valore medio è uguale a il numero di gradi di libertà Il è sempre positivo (si calcola con un quadrato al numeratore) Varia tra 0 e +infinito

5 Estratto da tabella del Chi-quadrato I valori interni alla tabella corrispondono ai valori critici riferiti alla coda di destra, ovvero ai valori alla cui destra cade la frazione della curva riportata nella prima riga. Per esempio, con gradi di libertà, il 5% della distribuzione ha valori superiori a Si tratta quindi di una tabella delle aree a una coda. df

6 Riprendiamo l esempio dei semi lisci e rugosi calc A parità di gdl, valori grandi del entrambe le direzioni calc sono indice di allontanamento dall ipotesi nulla, in Tutte e due le deviazioni dall ipotesi nulla ( > 0 e < 0 ) determineranno una deviazione verso valori grandi,ossia verso la coda destra della distribuzione attesa quando è vera l'ipotesi nulla. Le ipotesi sono definite in maniera bidirezionale, ma se utilizziamo la statistica del dobbiamo usarla ad una coda!

7 Quindi il valore di Chi quadrato calcolato calc non è significativo per α = 0.05, visto che è inferiore al valore critico di La conclusione è ovviamente identica a quella ottenuta con il test z Ma quindi a cosa serve questo test se avevamo già z?

8 La generalizzazione del test del Chi-quadrato come test goodness of fit Il test che abbiamo visto per i piselli di Mendel si può considerare il caso più semplice di una categoria di test definiti test di bontà dell adattamento di una distribuzione empirica ad una distribuzione teorica, o più semplicemente goodness of fit tests Le proporzioni osservate si confrontano con quelle previste da un modello teorico Il modello teorico è da considerarsi l ipotesi nulla Nel caso dei piselli lisci e rugosi, esistevano solo due categorie e solo una proporzione prevista (l altra era determinata automaticamente). Questa situazione si può però estendere ad un numero maggiore di categorie. Per esempio, nella verifica della trasmissione di due geni indipendenti durante la trasmissione mendeliana in un incrocio di un doppio eterozigote Assunzione del test (generalizzazione quando ci sono più di categorie) Non più del 0% delle classi deve avere una numerosità attesa <5 (e nessuna classe deve avere numerosità attesa <1) Se cio non si verifica, una soluzione è quella di raggruppare alcune classi

9 Esempio La proporzione di semi che possiedono le caratteristiche CS, Cs, cs e cs dopo l'autofecondazione di piante eterozigoti a due geni è prevista, nel caso di geni indipendenti, nel rapporto 9:3:3:1. Verificare questa distribuzione teorica attesa su un campione di 1000 semi che hanno dato la seguente distribuzione osservata CS Cs cs cs Calcolo le numerosità ( = frequenze assolute) attese CS Cs cs cs 56,5 187,5 187,5 6,5 Calcolo il valore dei 4 elementi che devono essere sommati per ottenere il calc La somma porta a calc 44,1 144,3 149,6 487,

10 Il calore critico della distribuzione teorica del chi-quadrato con 3 gradi di libertà è 7.81 (con = 0.05) Quindi, la deviazione è altamente significativa ed è possibile respingere l'ipotesi nulla di adeguamento alla distribuzione teorica prevista (le proporzioni osservate si discostano significativamente da quelle attese Probabilmente i due geni sono localizzati in posizioni vicine sullo stesso cromosoma

11 Un esempio Verificare con il test appropriato se la distribuzione osservata si adatta a quella attesa.

12 Altri esempi Dispersione di semi con legge quadratica inversa Efficacia trappole per la cattura di uccelli Verifica se i dati osservati in un campione seguono una distribuzione teorica normale Vediamo quest ultimo esempio

13 La distribuzione di frequenza del peso in chilogrammi di frutta prodotta da 81 piante è riportato nella seguente tabella: Intervalli n i Vogliamo testare l'ipotesi nulla che questi dati siano estratti da una popolazione in cui la variabile "peso di frutta prodotta da un albero" ha una distribuzione gaussiana. Si deve cioè verificare se i dati osservati sono compatibili con un modello distributivo normale. L'ipotesi nulla è che lo siano, l'ipotesi alternativa è che non lo siano. Come sempre, se l'ipotesi nulla non verrà rifiutata, non potremmo dire con certezza che i dati provengono da una popolazione con distribuzione gaussiana della variabile, ma solo sono compatibili con questa ipotesi.

14 Per testare questa ipotesi, dobbiamo utilizzare (dopo aver calcolato media e varianza dei dati osservati) la distribuzione normale per calcolare le numerosità attese in ciascuna classe. Poi il test del chi-quadrato verrà utilizzato per confrontare le numerosità osservate con quelle attese Le numerosità attese vengono calcolate sulla base della distribuzione teorica gaussiana che ha la stessa media e la stessa deviazione standard calcolati a partire dai dati osservati Per il calcolo delle numerosità attese, avrò ovviamente bisogno della normale standardizzata, e quindi dovrò standardizzare i limiti delle classi Attenzione alle classi estreme e alla determinazione dei gradi di libertà da utilizzare per definire la distribuzione nulla appropriata Nel caso riportato, possiamo calcolare che media = 5.5 varianza = 5.6 dev. St. =.9

15 A questo punto procedo con la standardizzazione dei limiti superori, il calcolo delle aree a sinistra di questi limiti, il calcolo delle aree relative a ciascun intervallo, e quindi al calcolo delle numerosità attese Limite superiore Limite superiore stadardizz. Area a sinistra del limite sup. Area corrispondente all'intervallo Numerosità attese Totali

16 Ora calcolo la statistica test del chi-quadrato OSSERVATI ATTESI (O-A)^/A calc.4 critico, 7gdl, CONCLUSIONE: Non ci sono forti evidenze per rifiutare il modello teorico gaussiano. La distribuzione di frequenza empirica (dei dati osservati) è compatibile con una distribuzione teorica gaussiana