IPOTESI SULLA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE CASO DI UN CAMPIONE

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1 IPOTESI SULLA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE CASO DI UN CAMPIONE Questo tipo di ipotesi non è fondata su un parametro

2 PROBLEMA (1) Si vuole verificare se in una certa fascia oraria, dalle 18:00 alle 19:00, alcuni tipi di programmi televisivi sono più graditi di altri. Si contatta un campione di telespettatori e si chiede di scegliere il programma preferito da un elenco che viene loro presentato. Per esempio: tipo A "culturale", tipo B"sportivo" e tipo C "cartoni animati".

3 PROBLEMA () La variabile "tipo di programma" è su scala nominale con k = 3 alternative di risposta (si tratta categorie) Otterremo una distribuzione di frequenza.

4 PROBLEMA (3) Supponiamo di aver svolto l'indagine su un campione di n=4 soggetti e di aver ottenuto i seguenti risultati: Tipo programma frequenza A - culturale 5 B - sportivo 15 C - cartoni tot 4

5 PROBLEMA (4) Ci si chiede, con riferimento alla popolazione dei telespettatori, se i soggetti scelgono indifferentemente fra le k categorie (cioè le preferenze sono equidistribuite), oppure se i programmi sono graditi in modo differenziato.

6 PROBLEMA (5) IPOTESI NULLA Nella popolazione di telespettatori da cui è estratto il campione, le frequenze nelle k categorie sono uguali (forma rettangolare della distribuzione) IPOTESI ALTERNATIVA Nella popolazione da cui è estratto il campione, le frequenze sono diverse.

7 CHI (1) Il test, che si basa sul confronto fra frequenze teoriche (o frequenze attese sulla base dell ipotesi nulla) e frequenze osservate (o frequenze empiriche), si chiama test del, chi, la cui formula è: dove: f t = frequenza teorica ( o attesa) f e = frequenza osservata o empirica k f t f ft 1 e

8 La distribuzione chi

9 E una distribuzione continua e asimmetrica. E una distribuzione di valori al quadrato. Viene definita solo sull asse positivo tra 0 e + 0 DISTRIBUZIONE NON NORMALE

10 La forma della curva varia al variare dei gradi di libertà GRADI DI LIBERTA (k-1) gdl

11 1. Formulazione ipotesi Tipo programma frequenza A - culturale 5 B - sportivo 15 C - cartoni tot 4 Formulazione delle ipotesi: H 0 : f A = f B = f C (nella popolazione le frequenze sono equidistribuite) H 1 : almeno una frequenza è diversa dalle altre (nella popolazione le frequenze sono diversificate) a= 0.05

12 . Calcolo frequenze teoriche Tipo programma f e f t A - culturale 5 B - sportivo 15 C - cartoni tot 4 calcolo delle FREQUENZE TEORICHE: se è vera l'ipotesi nulla, le frequenze che ci aspettiamo di trovare sono tutte uguali, cioè f t = n/k (numero di soggetti diviso per numero di categorie); nell'esempio 4/3= 14.

13 3. Scelta di a Scelta di a e individuazione di chi critico a= 0.05: Sulla Tavola, in corrispondenza di gdl (k-1) e 0.05 si trova chi critico = 5.99

14 4. Calcolo di chi k ft f ft 1 e chi 3 1 ft ft f e /14 1/14 64 / /

15 5. Decisione Poiché chi (10.43) > chi critico (5.99), cade nella zona di rifiuto. Pertanto si respinge H 0, e si conclude che le scelte non sono equidistribuite.

16 Due campioni indipendenti Verificare ipotesi sulla distribuzione nel caso di due campioni indipendenti: ipotizziamo ad es. che le casalinghe hanno una predisposizione maggiore alla depressione rispetto alle lavoratrici Ipotesi nulla: equidistribuzione delle frequenze tra i due campioni

17 TABELLA DI CONTINGENZA righe colonne campioni categorie f i : fr. di ciascun campione nelle singole categorie n i : n. dei soggetti di ciascun campione a i : n. dei soggetti di ciascuna categoria indipendentemente dall appartenenza all uno o all altro campione CAMPI ONI Lavora trici Casali nghe DEPRESSE Si No f 1 f n 1 f 3 f 4 n a 1 a N N: totale generale

18 Calcolo delle frequenze teoriche sarà dato da: a n f t N a n f 1 t N CAMPI ONI Lavora trici Casali nghe DEPRESSE Si No f 1 f n 1 f 3 f 4 n a 1 a N

19 Calcolo delle frequenze teoriche sarà dato da: a n f 1 3 t N a n f 4 t N CAMPI ONI Lavora trici Casali nghe DEPRESSE Si No f 1 f n 1 f 3 f 4 n a 1 a N

20 a n f t N Frequenze empiriche CAMPIO NI DEPRESS E Si No f t Lavoratri ci Casaling he

21 Frequenze empiriche CAMPIO NI a n f 1 t N DEPRESS E Si No 7580 f t Lavoratri ci Casaling he

22 Frequenze empiriche CAMPIO NI a n f 1 3 t N DEPRESS E Si No f 3t Lavoratri ci Casaling he

23 a n f 4 t N Frequenze empiriche CAMPIO NI DEPRESS E Si No f 4t Lavoratri ci Casaling he

24 Test chi Verifica della bontà di adattamento tra le due distribuzioni, quella delle frequenze empiriche e quella delle frequenze teoriche Ha distribuzione campionaria del tipo con (K-1)(r-1) gdl dove K e r sono rispettivamente il numero delle colonne e il numero delle righe della tabella di contingenza

25 k ( f t fe ) chi i 1 f t chi k 1 ( ) ft f ft e ( )

26 a=.05 k ( f t fe ) chi i 1 f t chi =65.83 Consultando la tavola dei valori critici di chi con gdl=1 e a=.05 troviamo un v.c.=3.84: possiamo respingere H 0 ed accettare H 1 in quanto il chi trovato è superiore al chi critico Cioè il n. di persone depresse è diverso tra le casalinghe e le lavoratrici in quanto il chi è significativamente diverso da zero

27 TAVOLE Le RIGHE corrispondono ai GDL e le COLONNE a diverse aree di probabilità cumulate (P) prefissate. All incrocio di RIGA x COLONNA viene riportato il valore di chi corrispondente. Fissato il valore di probabilità il valore del chi aumenta all aumentare dei gdl.

28 Se chiamiamo A,B,C,D rispettivamente le frequenze nelle quattro caselle il Chi sarà dato da: chi ( A N B)( A AD BC C)( B D)( C D) Con tale formula non bisogna calcolare le frequenze teoriche risparmiando molto tempo e calcoli

29 Frequenze empiriche CAMPIONI DEPRESSE Si No Lavoratrici 0 (A) 60 (B) 80 Casalinghe 85 (C) 15 (D) chi ) )( )( )( ( D C D B C A B A BC AD N chi