Statistica. Capitolo 13. Test sulla Bontà di Adattamento e Tabelle di Contingenza. Cap. 16-1

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1 Statistica Capitolo 13 Test sulla Bontà di Adattamento e Tabelle di Contingenza Cap. 16-1

2 Obiettivi del Capitolo Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di: Usare il test sulla bontà di adattamento per determinare se i dati sono generati da una specifica distribuzione Effettuare test di normalità Costruire una tabella per l analisi della contingenza ed effettuare un test chi-quadrato di associazione Cap. 16-

3 Test sulla Bontà di Adattamento I dati campionari si adattano ad una distribuzione ipotizzata? Esempi: I risultati campionari si adattano a specifiche probabilità attese? Il numero di chiamate al supporto tecnico è lo stesso per tutti i giorni della settimana? (i.e., le chiamate hanno una distribuzione uniforme?) Le misurazioni relative ad un processo di produzione seguono una distribuzione normale? Cap. 16-3

4 Test sulla Bontà di Adattamento (continuazione) Il numero di chiamate al supporto tecnico è lo stesso per tutti i giorni della settimana? (i.e., le chiamate hanno una distribuzione uniforme?) Per ciascun giorno della settimana, raccogliamo i dati campionari relativi a 10 giorni: Somma delle chiamate per giorno della settimanai: Lunedi 90 Martedi 50 Mercoledi 38 Giovedi 57 Venerdi 65 Sabato 30 Domenica 19 Σ = 17 Cap. 16-4

5 Logica del Test sulla Bontà di Adattamento Se le chiamate sono distribuite uniformemente, le 17 chiamate dovrebbero essere equamente divise fra i 7 giorni: 17 = 7 46 chiamate attese per giorno se distribuite uniformemente Test chi-quadrato sulla bontà di adattamento: test per vedere se i risultati campionari sono consistenti con i risultati attesi Cap. 16-5

6 Frequenze Osservate vs. Attese Osservate O i Attese E i Lunedi Martedi Mercoledi Giovedi Venerdi Sabato Domenica TOTALE Cap. 16-6

7 Statistica Test Chi-Quadrato H 0 : La distribuzione delle chiamate è uniforme rispetto ai giorni della settimana H 1 : La distribuzione delle chiamate non è uniforme La statistica test è χ dove: K = i= 1 (O i E E i i ) (dove g.d.l. K = numero di categorie O i = frequenza osservata per la categoria i E i = frequenza attesa per la categoria i = K 1) Cap. 16-7

8 Regione di Rifiuto H 0 : La distribuzione delle chiamate è uniforme rispetto ai giorni della settimana H 1 : La distribuzione delle chiamate non è uniforme Rifiutare H 0 se χ χ = K i= 1 > χ (O α i E E i i ) (con K 1 gradi di libertà) 0 Non rifiutare H 0 χ α α Rifiutare H 0 χ Cap. 16-8

9 Statistica Test Chi-Quadrato H 0 : La distribuzione delle chiamate è uniforme rispetto ai giorni della settimana H 1 : La distribuzione delle chiamate non è uniforme χ = (90 46) 46 + (50 46) (19 46) 46 = 3.05 K 1 = 6 (7 giorni della settimana quindi usiamo 6 gradi di libertà): χ.05 = 1.59 Conclusione: χ = 3.05 > χ α = 1.59 quindi rifiutiamo H 0 e concludiamo che la distribuzione non è uniforme 0 α =.05 χ Non Rifiutare H 0 rifiutare H 0 χ.05 = 1.59 Cap. 16-9

10 Test sulla Bontà di Adattamento, Parametri della Popolazione non Noti Idea: Verificare se i dati hanno una specifica distribuzione (per esempio binomiale, Poisson, o normale) senza assumere che i parametri della popolazione siano noti Usiamo i dati campionari per stimare i parametri della popolazione che non sono noti Cap

11 Test sulla Bontà di Adattamento, Parametri della Popolazione non Noti (continuazione) Supponiamo che l ipotesi nulla specifichi la probabilità per le categorie che dipendono dalla stima (dai dati) di m parametri non noti della popolazione Il test sulla bontà di adattamento appropriato coincide con quello fornito precendentemente... i= 1 E i) E... tranne che nel numero di gradi di libertà per la variabile Chi-quadrato che è Gradi χ di Dove K è il numero di categorie = K (O Libertà i i = (K m 1) Cap

12 Test di Normalità In statistica è comune l assunzione che i dati abbiano una distribuzione normale La normalità è stata verificata precedentemente Normal probability plot (Capitolo 6) Qui sviluppiamo un test chi-quadrato Cap. 16-1

13 Test di Normalità Con i dati campionari si possono stimare due parametri della popolazione: Indice di Asimmetria = Indice di Curtosi = Per una distribuzione normale, Indice di Asimmetria = 0 Indice di Curtosi = 3 n i 1 n i 1 (x i ns (x i ns 4 x) 3 x) 4 3 (continuazione) Cap

14 Test di Normalità di Jarque-Bera Consideriamo l ipotesi nulla che la distribuzione della popolazione sia normale Il Test di Normalità di Jarque-Bera è basato sulla vicinanza dell asimmetria campionaria a 0 e della curtosi campionaria a 3 La statistica test è B = (Asimmetri n 6 a) + (Curtosi 4 3) Quando il numero di osservazioni campionarie cresce, questa statistica assume una distribuzione Chi-quadrato con gradi di libertà L ipotesi nulla viene rifiutata per valori grandi della statistica test Cap

15 Test di Normalità di Jarque-Bera (continuazione) L approssimazione alla Chi-quadrato è molto buona solo per campioni veramente grandi Se il campione non è grande, la statistica test di Jarque-Bera è confrontata con i valori significativi della tabella 13.7 del libro Ampiezza campionaria n Livello di significatività 10% Livello di significatività 5% Ampiezza campionaria n Livello di significativit à10% Livello di significatività 5% Cap

16 Esempio: Test di Normalità di Jarque-Bera È stata registrata, per 00 giorni selezionati a caso, la temperatura media giornaliera. L asimmetria campionaria è risultata 0.3 e la curtosi campionaria Verificare l ipotesi nulla che la vera distribuzione sia normale B = (Asimmetri n 6 a) + (Curtosi 4 3) = (0.3) ( ) 4 =.64 Dalla tabella 13.7 il valore critico al 10% per n = 00 è 3.48, quindi non ci sono sufficienti evidenze per rifiutare l ipotesi che la popolazione sia normale Cap

17 Tabelle di Contingenza Tabelle di Contingenza Usate per classificare le osservazioni campionarie secondo due caratteristiche Anche chiamate tabelle cross-classification o cross-tabulation Assumiamo ci siano r categorie per la caratteristica A e c categorie per la caratteristica B Allora ci sono (r x c) possibili classificazioni Cap

18 Tabella di Contingenza r x c Caratteristica B Caratteristica A 1... C Totali 1... r Totali O 11 O 1... O r1 C 1 O 1 O... O r C O 1c O c... O rc C c R 1 R... R r n Cap

19 Test di Associazione Considera n osservazioni tabulate in una tabella di contingenza r x c Denotiamo con O ij il numero di osservazioni nella cella che corrisponde alla i ma riga e j ma colonna L ipotesi nulla è H 0 : Assenzadi associazione fra le due caratteristiche nella popolazione L appropriato test è un test chi-quadrato con (r-1)(c-1) gradi di libertà Cap

20 Test di Associazione Siano R i e C j i totali per riga e per colonna Il numero atteso di osservazioni nella cella che corrisponde alla riga i e alla colonna j, se H 0 è vera, è E ij = R C i n Un test di associazione a livello di significatività α è basato sulla distribuzione Chi-quadrato e sulla seguente regola di decisione j (continuazione) Rifiutare H 0 se χ r c = i= 1 j= 1 (O ij E E ij ij ) > χ (r 1)c 1), α Cap. 16-0

21 Esempio: Tabella di Contingenza Essere mancini vs. Sesso Mano Dominante: Sinistra vs. Destra Sesso: Maschio vs. Femmina H 0 : Assenza di associazione tra mano dominante e sesso H 1 : La mano dominante non è independente dal sesso Cap. 16-1

22 Esempio: Tabella di Contingenza (continuazione) Risultati campionari organizzati in una tabella di contingenza: Dimensione campione n = 300: 10 Femmine, 1 erano mancine 180 Maschi, 4 erano mancini Mano dominante Sesso Sinistra Destra Femmina Maschio Cap. 16-

23 Logica del Test H 0 : Assenza di associazione tra mano dominante e sesso H 1 : La mano dominante non è independente dal sesso Se H 0 è vera, allora la proporzione di donne mancine dovrebbe coincidere con la proporzione di uomini mancini Le due proporzioni precedenti dovrebbero coincidere con la proporzione generale di persone mancine Cap. 16-3

24 Calcolo delle Frequenze Attese 10 Femmine, 1 erano mancine 180 Maschi, 4 erano mancine In generale: P(mancino) = 36/300 =.1 Se non c è associazione, allora P(Mancino Femmina) = P(Mancino Maschio) =.1 Quindi ci aspetteremmo che il 1% delle 10 femmine e il 1% dei 180 maschi siano mancini i.e., ci aspetteremmo (10)(.1) = 14.4 femmine mancine (180)(.1) = 1.6 maschi mancini Cap. 16-4

25 Calcolo delle Frequenze Attese Frequenza attesa delle celle: (continuazione) E R C i j ij = = n ma ma (totale i Riga )(totale j Colonna) Dimensione Totale del campione Esempio: (10)(36) E 11 = = Cap. 16-5

26 Frequenze Osservate vs. Attese Frequenze osservate vs. frequenze attese: Sesso Femmina Mano dominante Sinistra Destra Osservate = 1 Osservate = 108 Attese = 14.4 Attese = Maschio Osservate = 4 Attese = 1.6 Osservate = 156 Attese = Cap. 16-6

27 Statistica Test Chi-Quadrato La statistica test chi-quadrato è: χ = r c i= 1 j= 1 (O ij E E ij ij ) con g. d. l. = ( r 1)( c 1) dove: O ij = frequenza osservata nella cella (i, j) E ij = frequenza attesa nella cella (i, j) r = numero di righe c = numero di colonne Cap. 16-7

28 Sesso Femmina Maschio Frequenze Osservate vs. Attese Sinistra Osservate = 1 Attese = 14.4 Osservate = 4 Attese = 1.6 Mano dominante Destra Osservate = 108 Attese = Osservate = 156 Attese = χ = (1 14.4) ( ) (4 1.6) ( ) = Cap. 16-8

29 Test di Associazione χ = con g.d.l. = ( r -1)( c -1) = (1)(1) = 1 Regola di Decisione: Rifiutare H 0 se χ > 3.84 χ.05 = 3.84 α = 0.05 Non rifiutare H 0 Rifiutare H 0 χ Poiché χ = < 3.84 non rifiutiamo H 0 e concludiamo che sesso e mano dominante non sono associati Cap. 16-9

30 Riepilogo del Capitolo Usato il test chi-quadrato sulla bontà di adattamento per determinare se i dati campionari si adattano a specifiche distribuzioni di probabilità Effettuati test sulla bontà di adattamento quando i parametri della popolazione non sono noti Verificata la normalità usando il test di Jarque-Bera Usate tabelle di contingenza per effettuare un test chiquadrato di associazione Per ogni cella confrontate le frequenze osservate con frequenze attese le Cap