ESERCITAZIONE N. 7 corso di statistica

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1 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 1/15 ESERCITAZIONE N. 7 corso di statistica Marco Picone Università Roma Tre

2 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 2/15 Introduzione Variabili aleatorie continue Test d ipotesi per le medie con varianza nota Test d ipotesi per le medie con varianza incognita Test d ipotesi per l indipendenza (Chi-quadrato)

3 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 3/15 Test d ipotesi per medie con varianza nota Dato un fenomeno casuale con σ noto. Confrontiamo l ipotesi nulla X N(µ,σ) H 0 : µ = µ 0 con le ipotesi alternative H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 H 1 : µ µ 0. Calcoliamo il p-value a partire da un campione casuale semplice di n osservazioni (x 1,...,x n ), la sua media campionaria x e un livello di significatività α noto.

4 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 4/15 Test d ipotesi per medie con varianza nota ipotesi alternativa statistica test p-value µ > µ 0 z = x µ 0 P(Z > z) σ 2 µ < µ 0 z = x µ 0 σ 2 µ µ 0 z = x µ 0 σ 2 n n n P(Z < z) 2P(Z > z)

5 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 5/15 Test d ipotesi per medie con varianza incognita Dato un fenomeno casuale X N(µ,σ). Confrontiamo l ipotesi nulla H 0 : µ = µ 0 con le ipotesi alternative H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 H 1 : µ µ 0. Calcoliamo il p-value a partire da un campione casuale semplice di n osservazioni (x 1,...,x n ), la sua media campionaria x, la sua varianza campionarias 2 e un livello di significatività α noto.

6 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 6/15 Test d ipotesi per medie con varianza incognita ipotesi alternativa statistica test p-value µ > µ 0 t = x µ 0 P(t s n 1 > t) 2 n µ < µ 0 t = x µ 0 P(t s n 1 < t) 2 n µ µ 0 t = x µ 0 2P(t s n 1 > t) 2 n

7 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 7/15 Esercizio Un macchinario produce carta igienica in rotoli. La ditta produttrice dichiara una lunghezza media 25 m e una varianzaσ 2 pari a 1 m 2 Viene prelevato un campione di 25 rotoli e calcolata la lunghezza media, pari a 24.8 m. Verificare se il produttore afferma il vero, oppure se la lunghezza è inferiore, al livello di significatività del 10%.

8 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 8/15 Esercizio Da una popolazione normale sono stati estratti i seguenti valori Per testare l ipotesi nulla H 0 : µ = 3 contro l ipotesi alternativa H 1 : µ 3, 1. calcolare la statistica test e il p-value assumendo una varianza della popolazione nota pari a σ 2 = 1 2. Indicare se l ipotesi nulla può essere rifiutata al livello di significatività del 5% 3. calcolare la statistica test e il p-value con varianza della popolazione non nota 4. Indicare se l ipotesi nulla può essere rifiutata al livello di significatività del 5%

9 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 9/15 Esercizio A seguito di uno sforamento di polveri sottili nell aria superiore a 40µg/m 3, l amministrazione comunale decide di applicare un provvedimento di limitazione del traffico. Selezionato un campione di 36 centraline, si osserva un valore medio uguale a 46 ed una varianza campionaria pari a 108, ci si chiede se ci sia stato un aumento delle polveri sottili nell aria tale da determinare il blocco del traffico. 1. Identificare ipotesi nulla e ipotesi alternativa per verificare l affermazione degli esperti 2. Calcolare la statistica test e il p-value per verificare l ipotesi nulla 3. Indicare se l ipotesi nulla può essere rifiutata al livello di significatività del 5%

10 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 10/15 Esercizio Una pubblicazione scientifica dichiara che in caso di interventi chirurgici all addome, il 60% dei medici preferisce l anestesia locale, mentre il 40% l anestesia totale. Dato un campione casuale composto da 120 medici, 82 dicono di preferire l anestesia locale. Stabilire se il risultato dello studio scientifico pubblicato è giustificato con un livello di confidenza del 5%.

11 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 11/15 Test d ipotesi per l indipendenza di variabili Data la distribuzione di frequenze di variabili X e Y y 1... y k... y K x 1 n n 1k... n 1K n x h n h1... n hk... n hk n h..... x H n H1... n Hk... n HK n H n 1... n k... n K n Le due variabili sono indipendenti (non connesse) se per ogni h e k n hk = n h n k n hanno massima connessione se per ogni h e k 0 n hk = min{n h,n k }

12 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 12/15 Test d ipotesi per l indipendenza di variabili Sotto l ipotesi nulla H 0 : X,Y indipendenti dato un livello di significatività α si calcola il valore χ 2 della statistica test Chi-quadrato χ 2 = n ( H K h=1k=1 n 2 hk n h n k 1 si distribuisce come una variabile casuale Chi Quadrato con (H 1)x(K 1) gradi di libertà si calcola il p-value corrispondente χ 2 χ 2 (H 1)(K 1) ) P(χ 2 (H 1)(K 1) > χ2 ) se il p-value è inferiore ad α, si rifiuta H0 ; altrimenti non si può rifiutare H 0

13 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 13/15 Esercizio Sia χ 2 n una variabile aleatoria che si distribuisce come una variabile Chi Quadrato con n gradi di libertà. Si determini: 1. P(χ 2 2 > 4.61) 2. P(χ 2 12 > 26.22) 3. P(χ 2 6 < 12.59) 4. il 90mo percentile di χ il 99mo percentile di χ 2 20

14 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 14/15 Esercizio Data la seguente distribuzione delle variabili X e Y X, Y y 1 y 2 y 3 y 4 x x x verificare l ipotesi di indipendenza con un livello di confidenza del 5%

15 ESERCITAZIONE N. 7corso di statistica p. 15/15 Esercizio Data la seguente distribuzione delle variabili X e Y X, Y y 1 y 2 y 3 x x x verificare l ipotesi di indipendenza con un livello di confidenza del 5%