Distribuzioni campionarie

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1 Le distribuzioni campionarie sono quelle che derivano dalla presenza di campioni i.i.d. a distribuzione normale. Definizione. Se X è una v.a. avente distribuzione N(0, ), allora Y = X ha distribuzione chi quadro con un grado di libertà (Y χ ) (ossia: la χ è la distribuzione del quadrato di una normale standard) Definizione. Se Y,..., Y n è un campione di variabili indipendenti aventi distribuzione χ, allora K = Y + + Y n ha distribuzione chi quadro con n gradi di libertà (K χ n) (ossia: la χ n è la distribuzione della somma di n χ indipendenti)

2 Definizione. Se X N(0, ) e K χ n sono fra loro indipendenti, allora T = X K n ha distribuzione t di student con n gradi di libertà (T t n ). (Ossia: la t n è la distribuzione del rapporto fra una normale standard e la radice di una χ n divisa per i propri gradi di libertà, fra loro indipendenti) Definizione. Se K χ n e K χ m sono fra loro indipendenti, allora il rapporto F = K /n K /m ha distribuzione F di Fisher con n, m gradi di libertà (F F n,m ) (ossia: la F di Fisher è la distribuzione del rapporto fra due χ indpendenti divise per i propri gradi di libertà)

3 Alcuni risultati su campioni normali Sia X,..., X n un campione i.i.d. per una v.a. X N(µ, σ ). Consideriamo la varianza campionaria Sn = n n i= (X i X n ). Si dimostrano i seguenti teoremi: Teorema (distribuzione di Sn per campioni normali) La statistica (n )S n σ ha distribuzione χ n Teorema (indipendenza di X n e Sn per campioni normali) Le due statistiche X n e Sn sono indipendenti.

4 Siano X,..., X n un campione i.i.d. per X N(µ, σ ) Y,..., Y m un campione i.i.d. per Y N(µ, σ ) e i due campioni siano fra loro indipendenti. Vogliamo verificare l ipotesi H 0 : σ = σ contro H : σ > σ

5 Notiamo che, poichè le varianze campionarie sono sempre positive, le due ipotesi precedenti sono equivalenti alle seguenti: contro H 0 : σ σ H : σ σ = > Dato che Sn è un buono stimatore della varianza, un criterio di scelta fra le due ipotesi ragionevole sarà rigetto H 0 se F : = S > c, con P( S S > c H S 0 vera) = α dove S è la varianza campionaria calcolata sulle X i e S è la varianza campionaria calcolata sulle Y i ( S = n n i= (X i X n ), S = m m i= (Y i Ȳ m ) )

6 Per il Teorema sulla distribuzione di Sn per campioni normali, (n )S σ χ n e (m )S χ σ m e sono fra loro indipendenti, dato che dipendono da campioni diversi e indipendenti fra loro. Dunque, se H 0 è vera, ossia σ = σ =: σ (n )S σ (n ) (m )S σ (m ) = S S = F F n,m

7 e il valore critico c in P(F > c H 0 vera) = α si determina invertendo la c.d.f. F F della F n,m, ossia F F (c) = α e c = F ( α). F e rigetteremo H 0 se F > c.

8 p-value I software spesso invece del valore critico forniscono il p-value relativo a una statistica. Sia f il valore assunto da F sui nostri dati, e sia F una variabile aleatoria avente distribuzione F n,m (ossia la distribuzione che ha F sotto H 0 ). Il p-value relativo a F è p value = P(F > f )

9 Quindi il criterio rigetto H 0 se F > c, con P(F > c H 0 vera) = α è equivalente al criterio rigetto H 0 se p value < α. Definizione. In un test di ipotesi di livello di significatività α, il p-value è il più piccolo valore di α che consente di rigettare H 0.

10 Se, sempre nelle stesse condizioni, vogliamo verificare le ipotesi H 0 : σ = σ o equivalentemente, H : σ < σ H 0 : σ σ = H : σ σ < possiamo ripetere il ragionamento precedente, con le disuguaglianze invertite e otterremo

11 Criterio: rigetto H 0 se F < c, con P(F < c H 0 vera) = α e il valore critico c è tale che F F (c) = α e c = F F (α). e rigetteremo H 0 se F < c.

12 Oppure, usando il p-value, che questa volta è dato da rigetto H 0 se p value < α p value = P(F < f )

13 ATTENZIONE: in qualunque test di ipotesi, per come e definito il p-value, il criterio di scelta è SEMPRE rigetto H 0 se p value < α Per questo spesso i software statistici forniscono il p-value invece del valore critico, poichè il criterio di confronto non cambia a seconda del tipo di test o del valore di α scelto dall utente. Excel fornisce sia il valore critico che il p-value.

14 ESERCIZIO Consideriamo il file il nostro dataset.xls. Ordiniamo i dati per valori di squadra crescenti. Confrontiamo le varianze della variabile larghezza della mano destra (ricordiamoci che questa variabile era normale!) fra il gruppo A-L e il gruppo M-Z, ossia verifichiamo contro H 0 : σ A L = σ M Z H : σ A L??σ M Z che disuguaglianza metto al posto di??? Utilizzare analisi dati test F a due campioni per varianze

15 Confronto di medie fra campioni indipendenti X,..., X n Y,...,Y m campione ~ N( μ, σ ) campione ~ N( μ, σ ) indipendenti Vogliamo verificare H 0 : μ = μ o 0 : μ μ H : μ > μ H : 0 μ μ > H = 0 Caso : σ = σ Si dim. che la statistica T = X X ( n ) S + ( m ) S n + m ha distribuzione tn+m sotto l ipotesi H 0 ( n + ) m

16 Sotto l ipotesi, Caso : σ σ 0 H p, la statistica ha distribuzione, con S S X X T = 0 t r ) ( m S n S + + = m S n S r + m S m n S n Criterio: rigetto se >c con P( >c vera)= 0 H 0 H α T T T T Test a una coda Test a una coda

17 Se invece vogliamo verificare H 0 : μ = μ o H 0 : μ μ H : μ < μ H : μ < μ useremo le statistiche di prima, ma il criterio di scelta sara T Criterio: rigetto 0 se <c T T con P( <c H vera)= T H 0 α Test a una coda

18 H : μ = μ 0 Se vogliamo verificare H : μ μ useremo le statistiche di prima ma il criterio di scelta sara T T Criterio: rigetto H 0 se >cc con P( >c H 0 vera)= T T α Test a due code

19 Se n e m>30 si puo applicare il Teorema del Limite Centrale e dimostrare che, QUALUNQUE SIA LA DISTRIBUZIONE DEI DUE CAMPIONI CONSIDERATI (ANCHE NON NORMALI) sia T che T sotto H 0 hanno distribuzione approssimativamente N(0,). Il procedimento di ricerca dei valori critici sara quindi lo stesso di prima, ma si utilizzera la N(0,) al posto della t-student.

20 Anche per questi test e possibile utilizzare il p-value e confrontarlo o o con α : Rigetto H 0 se p-value< α H : μ > μ H : μ < μ H : μ μ p-value t= valore di T o T

21 ESERCIZIO Consideriamo ancora il nostro dataset.xls Confrontiamo le medie della variabile larghezza della mano destra fra la squadra A-L e la squadra M-Z. Usare ancora analisi dati Test t: due campioni assumendo uguale varianza Test t: due campioni assumendo varianze diverse Quale test devo usare per confrontare le medie? ATTENZIONE: in un qualsiasi test di ipotesi, l ipotesi nulla si assume vera a meno che non sia molto evidente che sia falsa. Quindi accettare H 0 non significa che H 0 sia vera, ma solo che NON E EVIDENTE CHE SIA FALSA!

22 ESERCIZIO B Consideriamo il file genomi_am.xlsx (si trova linkato alla scritta istogrammi delle distribuzioni e ricerca di outliers su genomi.xls sulla mia pagina web) Confrontare Uomo e Topo: La lunghezza media dei geni e significativamente diversa fra le due specie? i? Il numero medio di esoni e significativamente diverso fra le due specie? Quali test devo effettuare? Usare ancora analisi dati