Effettuazione di un TEST D IPOTESI. = stima del parametro di interesse calcolata sui dati campionari

Transcript

1 Effettuazione di un TEST D IPOTESI 1. Formulazione H 0 e H 1 2. Scelta del test statistico 3. Calcolo del test statistico ˆ 0 test ES[ˆ] dove ˆ = stima del parametro di interesse calcolata sui dati campionari 0 ES[ˆ] = valore del parametro di interesse sotto l ipotesi nulla H 0 = errore standard dello stimatore calcolato sotto H 0

2 Effettuazione di un TEST D IPOTESI-continua 4. Test P probabilità di ottenere un risultato come quello osservato o più estremo per motivi casuali 5. Rifiuto (se P è bassa,<0,05) o non rifiuto H 0 (se P non è bassa, >0,05)

3 Scelta del test N O T A variabile normale variabile non normale variabile non normale n qualunque n > 30 n < 30 distribuzione normale distribuzione normale STOP

4 Scelta del test N O N N O T A variabile normale n < 30 variabile normale n > 30 distribuzione t di Student distribuzione normale variabile non normale variabile non normale n > 100 n < 100 distribuzione normale STOP

5 TEST D IPOTESI- confronto media campionaria con media popolazione campione grande H 0 :m 0 =m H 1 :m 0 m Test statistico: x m0 x m e. s.( x) s n z 0

6 z x m e. s.( x) 4.33

7

8 TEST D IPOTESI- confronto media campionaria con media popolazione campione piccolo e ignota H 0 :m 0 =m H 1 :m 0 m Test statistico: x m0 x m e. s.( x) s n 0 t t con (n-1) gradi di libertà Assunzioni: 1- Il campione è stato selezionato casualmente dalla popolazione 2- La variabile è distribuita normalmente nella popolazione

9

10 22 24

11

12 TEST D IPOTESI- confronto tra medie campioni grandi H 0 :m 1 -m 2 0 H1:m 1 m 2 0 Test statistico: z ( x1 x2) 0 e. s.( x x ) 1 2 x 1 s n x 2 s n Assunzioni: 1- I campioni sono sufficientemente grandi: n 1 >30 e n 2 >30 2- I due campioni sono selezionati casualmente e indipendentemente dalla popolazione

13 TEST D IPOTESI- confronto tra medie piccoli campioni e ignota H 0 :m 1 -m 2 0 H1:m 1 m 2 0 Test statistico: 2 s pooled ( n 1 t con (n1+n2-2) g.l. Assunzioni: 2 1) s1 ( n n n ( x x ) 0 x t e. s.( x1 x2) s pooled 2 2 1) s2 1- Le popolazioni da cui sono selezionati i campioni hanno una distribuzione approssimativamente normale della variabile studiata. 2- I campioni sono selezionati casualmente e indipendentemente dalle due popolazioni 3- Le varianze delle due popolazioni sono uguali. x

14

15

16

17

18

19 TEST D IPOTESI- per dati appaiati H 0 :d=0 H 1 :d 0 Test statistico: t d 0 d 0 e. s.( d) sd n con (n-1) gradi di libertà Assunzioni: 1- I campioni appaiati sono selezionati casualmente dalla popolazione 2- La popolazione delle differenze è distribuita normalmente

20 ESEMPIO 2. Si vuole verificare se un conservante per alimentazione umana abbia effetti sui fattori di crescita. A questo scopo, un gruppo di 10 cavie adulte è stato sottoposto a un regime di alimentazione contenente la sostanza da testare. Ogni soggetto è stato pesato sia prima che dopo la nuova dieta, per misurarne le variazioni. Nella tabella sottostante sono riportati i pesi in grammi prima e dopo la dieta, per ognuna delle 10 cavie:

21 Si vuole sapere: 1 - Se la sostanza può essere la causa di variazioni significative di peso. 2 - Quale è la reale variazione (δ) di peso determinata dal conservante, alla probabilità α = Risposta 1. E un test bilaterale, in cui (come sempre) - l ipotesi nulla H0 afferma che la media reale (δ) delle differenze (d) è uguale a 0 H0: δ = 0 - mentre l ipotesi alternativa H1 afferma che è diverso da 0: H1: δ 0 Dalla colonna delle differenze (D) tra le 10 coppie di valori osservati si calcolano - la somma delle D che risulta uguale a +90 e - la somma delle (cioè la devianza) che risulta uguale a 676.

22 Per un test a due code, il valore critico della distribuzione t per 9 gdl e δ = 0.05 è uguale a 2,262. Il valore calcolato (3,28) è superiore: la probabilità P che la differenza riscontrata sia dovuta al caso è minore di Si rifiuta l'ipotesi nulla H0 e si accetta l'ipotesi alternativa H1: la nuova dieta determina nelle cavie una differenza ponderale che è significativa.

23

24 Un medico dietologo inventa un nuovo tipo di dieta (A) per facilitare la riduzione di peso. Decide di confrontarne l efficacia rispetto al tipo di dieta che prescriveva precedentemente (B). Dispone dei risultati di due gruppi di pazienti, 39 trattati con la vecchia dieta B, che hanno perso in media 2.9 kg (sd=1.2kg), e 34 trattati con la nuova dieta A, che hanno avuto una riduzione di peso media di 3.5 kg (sd=1.1kg). Ipotizzando la Normalità della perdita di peso e l uguaglianza delle varianze, effettuare un test di ipotesi al livello del 5% bilaterale. E corretto affermare che la dieta A è migliore della dieta B? Quali valutazioni sui due campioni bisognerebbe fare per essere maggiormente sicuri della conclusione?

25 Impostiamo il test fissando anzitutto le ipotesi di base e alternativa: H0: δ = μa- μb = 0 vs H1: δ = μa- μb 0 Questi due gruppi sono indipendenti in quanto i soggetti del gruppo A non sono gli stessi del gruppo B, e non condividono con essi fattori comuni. Il confronto fra questi due gruppi che hanno numerosità ampie e provengono da distribuzioni con la stessa varianza (come afferma il testo dell esercizio) può essere fatto applicando le formule del ttest:

26 Applicando il metodo della regione rifiuto, possiamo rigettare l ipotesi di base di assenza di differenza fra la media di A e la media di B al livello di significatività del 5% (il valore soglia per il test bilaterale è 1.96). Volendo valutare la significatività statistica calcolando il p-value, andiamo sulle tavole e in corrispondenza di 2.22 leggiamo 0.987; dunque l area in una delle due code esterne è =0.013, e la probabilità complessiva di andare in una delle due code esterne (il p- value del test bilaterale) è Dunque la differenza osservata fra le due medie risulta abbastanza significativa, i dati supportano l ipotesi che la dieta A sia più efficace in termini di riduzione di peso. Questa associazione statistica può indicare un nesso di causalità SE i due gruppi sono simili per composizione rispetto a tutte le caratteristiche potenzialmente influenti sulla riduzione del peso, sesso, età, attività fisica etc ovvero in assenza di fattori di confondimento, e se anche le metodiche della misurazione sono le stesse nel gruppo A e nel gruppo B (assenza di bias da osservazione o altra forma di distorsione).