NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI VERIFICA DI IPOTESI PER IL CONFRONTO TRA DUE PROPORZIONI

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1 NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI VERIFICA DI IPOTESI PER IL CONFRONTO TRA DUE PROPORZIONI

2 IL PROBLEMA Si vuole verificare se un nuovo trattamento per la cura dell otite è più efficace di quello tradizionalmente utilizzato. A tal fine sono stati selezionati 00 pazienti di cui 00 trattati con il nuovo farmaco e 00 trattati con quello tradizionale. Sono stati valutati i pazienti guariti con il trattamento tradizionale n =78 e quelli guariti con il nuovo trattamento n =90. I due trattamenti producono lo stesso effetto oppure no?

3 π π p p DATI Si dispone del numero di pazienti trattati con due diverse terapie per una certa malattia. n = 00 p = proporzione di guariti nel primo gruppo = 78 /00 = 0,78 n = 00 p = proporzione di guariti nel secondo gruppo = 90 /00 = 0,90

4 ASSUNZIONI Campioni indipendenti. La variabile in studio che conta il numero di guarigioni ( successo ) sul totale delle prove (numerosità del campione): segue una distribuzione binomiale approssimabile ad una distribuzione di Gauss standard se n e p 0,5. IPOTESI H 0 : p = p oppure p p = 0 H : p p

5 STATISTICA TEST STATISTICA TEST ( ) ( ) = = = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( n n p p p p n n p p p p n X n X Z Dove p = (X X ) / (n n ) q = - p p = X / n p = X / n

6 CALCOLATE LA STATISTICA TEST E POI VERIFICATE IL RISULTATO

7 CALCOLO DELLA STATISTICA TEST p = (7890) / 00 = 68 /00 =0,84 q = -0,84 = 0,6 z = = 78 / 90 / ,84 0,6 00 0, =,3 0, =

8 DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA Con l ipotesi nulla vera, applicando il teorema del limite centrale, la statistica test segue una distribuzione di Gauss standard N (0,). 0,0045 0,004 0,0035 0,003 0,005 0,00 0,005 0,00 0,

9 REGOLA DI DECISIONE Fisso α, la probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando è vera, accettabilmente bassa: 0,05. Si individuano in questo modo i limiti della zona di rifiuto (code); Sapendo che la distribuzione della statistica è di Gauss standard i limiti si ricercheranno nelle apposite tavole e saranno uguali ed opposti. 0,0045 0,004 0,0035 0,003 0,005 0,00 0,005 0,00 Zona di rifiuto Zona Zona di di accettazione Zona di rifiuto 0, ,96,96

10 Nel caso dell esempio DECISIONE STATISTICA Z cal = -,3<Z tab = -,96 pertanto rifiuto H 0 DECISIONE DEL RICERCATORE La differenza tra i due trattamenti non è casuale, il trattamento a cui è stato sottoposto il secondo gruppo è più efficace.

11 Quando non è possibile approssimare la distribuzione binomiale ad una Gauss Il confronto di proporzioni si effettua con il test Χ

12 I DATI si inseriscono in una tabella x Criterio Criterio Totale a b ab c d cd Totale ac bd N

13 IPOTESI H 0 : p = p H: p p STATISTICA TEST ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (,5 0 ) ( ) ( ) ( ) ( d b c a d c b a N bc ad N d b c a d c b a bc ad N = Χ = Χ Nella seconda formula c è la correzione per la continuità di Yates

14 UTILIZZATE I DATI DELL ESERCIZIO PRECEDENTE, COSTRUITE LA TABELLA x E QUINDI EFFETTUATE IL CONFRONTO

15 Nel caso del precedente esempio Criterio Criterio nuovo vecchio Totale Guariti Non guariti 0 3 Totale Χ = ( 78 0) = 5,357

16 DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST La distribuzione della statistica test è una X ed è caratterizzata dai gradi di libertà. Zona di accettazione Zona di rifiuto Χ tab

17 REGOLA DI DECISIONE Fissato α accettabilmente piccolo (0,05), troverò sulle tavole X un valore in corrispondenza di α prescelto e dei gradi di libertà della statistica che nelle tabelle x sono sempre pari a (X tabulato è 3,84). Se il valore calcolato della statistica è maggiore del valore tabulato rifiuterò l ipotesi nulla, se invece il valore calcolato è minore del tabulato accetterò l ipotesi nulla.

18 Nel nostro esempio REGOLA DI DECISIONE Con α = 0,05 e grado di libertà il valore X tabulato è 3,84. Rifiuto l ipotesi nulla poiché X calc=5.37 >X tab=3,84 I due trattamenti producono un effetto differente