Verifica delle ipotesi

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1 Statistica inferenziale Stima dei parametri Verifica delle ipotesi

2 Concetti fondamentali POPOLAZIONE o UNIVERSO Insieme degli elementi cui si rivolge il ricercatore per la sua indagine CAMPIONE Un sottoinsieme di n elementi dell insieme dato

3 CAMPIONE CAMPIONE RAPPRESENTATIVO Un campione che abbia tutte le più importanti caratteristiche della popolazione da cui proviene. CAMPIONE CASUALE L estrazione del campione sarà casuale quando tutti gli elementi della popolazione hanno la stessa probabilità di essere estratti.

4 La tecnica che permette di estrapolare dalla popolazione una serie di n elementi è chiamata campionamento Campionamento probabilistico e non probabilistico

5 Nel campionamento probabilistico tutti gli elementi della popolazione hanno uguale probabilità di essere estratti per far parte del campione, in maniera casuale. Vi sono diversi tipi di campionamento probabilistico

6 CAMPIONE CASUALE SEMPLICE (CCS) In questo tipo di campionamento tutti i membri della popolazione hanno uguale probabilità di essere estratti per essere inclusi nel campione.

7 CAMPIONE CASUALE STRATIFICATO In questo tipo di campionamento la popolazione si divide in categorie o strati e, successivamente, si estraggono casualmente le unità che saranno incluse nel campione

8 PARAMETRI E INDICATORI PARAMETRO Caratteristica studiata riferita alla popolazione (quantità) INDICATORE Caratteristica studiata riferita al campione

9 MEDIA DELLA POPOLAZIONE: m Parametro fisso ed è incognito quando si utilizza un campione per fare inferenza. MEDIA DEL CAMPIONE: X Media aritmetica delle osservazioni campionarie

10 STIMA DEI PARAMETRI STIMA DEI PARAMETRI della popolazione (es. media e deviazione standard) attraverso i campioni. IMPORTANTE: Individuare LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

11 Esistono distribuzioni campionarie note di vari indicatori. Una distribuzione campionaria è una distribuzione teorica di frequenza relativa ad una statistica (risultato di un calcolo statistico).

12 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIA Indicatore : MEDIA

13 Es: numero di errori ad un test per la patente Popolazione di riferimento: donne italiane Immaginiamo che la popolazione di riferimento sia composta da 3 elementi: 2, 4, 6

14 Sappiamo, ad esempio, che il numero degli errori al test della popolazione femminile italiana si distribuisce in modo approssimativamente normale intorno ad una media di 4, con una deviazione standard (s) di 1.63 e una varianza (s 2 ) di 2.66

15 Immaginiamo di estrarre 9 campioni diversi di donne italiane, tutti della stessa dimensione o ampiezza n = 2, e di calcolare il numero di errori medio in ciascun campione

16 LA MEDIA DELLA DCM: m x N i 1 dove: N X i = media del campione i-esimo della distribuzione x i N i 1 = sommatoria di tutti i dati dal primo(i=1) a n N = numerosità totale dei campioni

17 Questa media è uguale a quella della popolazione x

18 1. Proprietà della DCM _ m x = m LA MEDIA delle medie dei campioni coincide con la MEDIA della popolazione dalla quale i campioni sono stati estratti LA FORMA DELLE DUE DISTRIBUZIONI DIPENDE DALL AMPIEZZA N DEI CAMPIONI

19 2. Proprietà della DCM ESSA SI DISTRIBUISCE NORMALMENTE quando: a. La popolazione di provenienza del campione è distribuita in modo normale; b. Indipendentemente dalla forma della distribuzione della popolazione, il campione è costituito da più di 30 elementi (n>30).

20 La varianza della DCM La variabilità della DCM s noto _ s X = s 2 2 n All aumentare di n la variabilità della DCM diminuisce fino a tendere a 0. dove: 2 s = varianza della popolazione n = numero di elementi che costituiscono i campioni

21 Sappiamo che il numero di errori della popolazione femminile italiana si distribuisce in modo approssimativamente normale intorno ad una media di circa 4, con una deviazione standard (s) di 1.63.

22 dove: s = deviazione standard della popolazione n = numero di elementi che costituiscono i campioni La deviazione standard della DCM La deviazione standard della DCM prende il nome di ERRORE STANDARD s noto _ s x = s n Misura standardizzata della distanza nella stima della media della popolazione a fra la media campionaria e la media partire dalla media campionaria. della popolazione di riferimento. Misura della quantità di errore che è presente

23 Sappiamo che il numero di errori della popolazione femminile italiana si distribuisce in modo approssimativamente normale intorno ad una media di circa 4, con una deviazione standard (s) di 1.63.

24 [( ] 133= 1.15

25 Errore standard stimato Spesso la varianza (s 2 ) e l errore standard (s) della popolazione non sono noti s e s 2 non noto La varianza della DCM può essere stimata dai dati del campione nel modo seguente: 2 s ˆ 2 ˆ x s _ n - 1 x s = = s (n - 1)

26 Uso delle distribuzioni campionarie (1) La DCM può essere utilizzata per stimare la probabilità associata alla media di un campione estratto da una popolazione la cui media e dev.standard sono note.

27 Uso delle distribuzioni campionarie (2) Per esempio: un ricercatore è interessato a conoscere qual è la probabilità che un campione di 9 individui riporti ad un test un punteggio medio x>41. Sa che nella popolazione il punteggio del test è distribuito normalmente con m= 40 e s =6.

28 Uso delle distribuzioni campionarie (3) Si utilizza come modello teorico di riferimento la distribuzione normale standard Z x = (X - m x )/s x _ s x = s n

29 Uso delle distribuzioni campionarie (4) (m _ x = m) _ Z x = (41-40)/ _ Z x = 0.5 _ s x = ? 0.5

30 Uso delle distribuzioni campionarie (5) E necessario procedere per sottrazione: = (30.85%) Quindi la probabilità che da una popolazione normale con media =40 e ds=6 sia possibile estrarre un campione casuale di 9 individui con un punteggio medio > 41 è del 30% circa.

31 Uso delle distribuzioni campionarie (6) Un altro utilizzo della DCM è relativo alla possibilità di STIMARE i parametri di una popolazione sulla base delle informazioni rilevabili al livello di un campione da esso derivato. STIMA DELLA MEDIA a partire dalla conoscenza della MEDIA di un campione di elementi estratti da essa in modo casuale STIMA DI TIPO PROBABILISTICO

32 Uso delle distribuzioni campionarie (7) Il principio generale è quello di conoscere con un certo grado di probabilità (es il 95%) un INTERVALLO NUMERICO (di fiducia) che possa ragionevolmente includere la media stimata nella popolazione.

33 Livello di confidenza Valore critico di z 90% 95% 99% % 2.33

34 s (deviazione standard) NON nota

35 Uso delle distribuzioni campionarie (8) Esempio: vogliamo sapere quale potrebbe essere il numero medio di parole riconosciute da bambini di 4 elementare, su un campione di 160 bambini di quell età, avendo riscontrato una media = 66.5 e s 2 (varianza) = (95%) Z x = (X - m x )/s x 2 s ˆ 2 ˆ x s _ n - 1 x s = = s (n - 1)

36 Uso delle distribuzioni campionarie (9) Z x = (X - m x )/s x ˆ s _ x s = (n - 1) = =0.393 Fissata una probabilità pari all area =.95, individuiamo z uguale a

37 *.393 < m < *.393 Concludiamo che l intervallo (66) (67) conterrà, con una probabilità del 95%, la media della popolazione dei bambini di 4 elementare

38 s (deviazione standard) nota - X -z*s < m < X + z*s x s x = s n - x

39 STIMA DEI PARAMETRI: INTERVALLO DI FIDUCIA - X -z*s < m < X + z*s x X -z*s < m < X + z* ˆ _ ˆ x - Con s noto - Con s ignoto e N>=30 x s x ˆ X -t*s < m < X + t* x ˆ _ - s x Con s ignoto e N<30 ˆ s _ x = s (n - 1)

40 Distribuzione t (1) La distribuzione t di student è particolarmente utile per campioni di ampiezza < a 30 unità (n<30). Ha forma simile alla distribuzione normale. Quando n è abbastanza grande, la forma della distribuzione t si approssima a quella della distribuzione normale.

41 Distribuzione t (3) Per ciascun valore di t esiste un area di probabilità ad esso associata e il valore totale di probabilità corrispondente all area sottesa alla curva è uguale a 1. Gdl=n-1: gradi di libertà Definiti come gli elementi che sono liberi di variare.

42 Rispetto alla curva normale è più bassa È simmetrica Quando i Gdl tendono all infinito la curva si approssima a quella normale Vi è una maggiore area sotto alle code della distribuzione. Rispetto alla distribuzione normale, i valori estremi sono un po più probabili.

43 Distribuzione t (4) GDL TAVOLE Ipotesi monodirezionale Ipotesi bidirezionale Intervallo di fiducia

44 ESEMPIO: tra i giovani di leva è stato estratto un campione casuale di 26 soggetti, ai quali è stato somministrato un test per la misura dell emotività (punteggio da 10 a 50). I risultati ottenuti sono: x = 30 e s=6. Trovare un intervallo di fiducia al 99% per la media di emotività della popolazione di giovani di leva, sapendo che tale variabile si distribuisce normalmente.

45 t = (X - m x )/ ˆ s _ x Con s ignoto e N<=30 ˆ s _ x = s (n - 1) 1. Cerchiamo sulla tavola il t critico per a=0.01 su due code con n-1 gdl (26-1=25): t critico = +/ ˆ s _ x s = s x (n - 1) ˆ _ = 6 25) = 1.2

46 3. - X -t*s < m < X + t*s x ˆ x *1.2 < m < * < m < Con una fiducia del 99% possiamo affermare che l intervallo contiene il valore medio di emotività della popolazione dei giovani di leva