Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale. Corso di Laurea in Sociologia. Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli

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1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Corso di Laurea in Sociologia Insegnamento di Statistica (a.a ) dott.ssa Gaia Bertarelli Esercitazione n Utilizzando le tavole della distribuzione normale standardizzata si calcolino i seguenti valori, essendo Z una v.c. normale standardizzata: (a) P (Z < 1, 35) (b) P (Z > 0, 96) (c) P (Z < 1, 35) (d) P (Z > 0, 96) (e) P (0, 34 < Z < 2, 45) (f) P ( 2, 64 < Z < 1, 14) (g) P (X > 1, 5) con X v.c. normale con media 1 e varianza 4 (h) P (2 < X < 7) con X v.c. normale con media 3 e varianza 16 (i) Il 90-esimo centile per una v.c. normale con media 4 e varianza 9 (a) P (Z < 1, 35) = Φ(1, 35) = 0, 9115 (b) P (Z > 0, 96) = 1 Φ(0, 96) = 1 0, 8315 = 0, 1685 (c) P (Z < 1, 35) = P (Z > 1, 35) = 1 Φ(1, 35) = 1 0, 9115 = 0, 0885 (d) P (Z > 0, 96) = P (Z < 0, 96) = Φ(0, 96) = 0, 8315 (e) P (0, 34 < Z < 2, 45) = Φ(2, 45) Φ(0, 34) = 0, , 6331 = 0, 3598 (f) P ( 2, 64 < Z < 1, 14) = P (Z < 1, 14) P (Z < 2, 64) = Φ(1, 14) Φ( 2, 64) = Φ(1, 14) [1 Φ(2, 64)] = 0, , 9959 = 0, 8688 ( (g) P (X > 1, 5) = P Z > 1, 5 1 ) = P (Z > 1, ) = P (Z < 1, ) = Φ(1, ) = 0, ( 2 3 (h) P (2 < X < 7) = P < Z < 7 3 ) = P ( 0, < Z < 1) = Φ(1) Φ( 0, ) = 4 4 Φ(1) [1 Φ(0, )] = 0, , 5987 = 0, 4400 ( (i) 0, 90 = P (X < x) = P Z < x 4 ) x 4 = 1, 28 x = 1, = 7,

2 2. Il ritardo del treno Como - Milano delle ore 8:30 si distribuisce normalmente con media 5 e deviazione standard 3.2 (in minuti). Si determini: (a) la probabilità che il ritardo superi i minuti; (b) la probabilità che in una settimana un ritardo superiore a minuti si verifichi al massimo 3 volte. (a) Sia X N(5; ) la variabile che descrive il ritardo del treno, pertanto: P (X > ) = P ( Z > 5 ) = P (Z > 1, 56) = 1 Φ (1, 56) = 1 0, 9406 = 0, , 2 (b) Si indichi con Y la v.c. che descrive il numero di ritardi superiori a minuti in 7 giorni. Y ha una distribuzione di tipo binomiale con parametri n = 7 e p = 0, 0594 (probabilità di osservare un ritardo superiore a minuti in un giorno qualsiasi, calcolata al punto precedente). Pertanto, la probabilità richiesta è data da: P (Y 3) = 3 x=0 ( ) 7 0, 0594 x (1 0, 0594) 7 x = x = (1 0, 0594) , 0594 (1 0, 0594) 6 + ( ) ( ) 7 + 0, (1 0, 0594) , (1 0, 0594) 4 = 2 3 = 0, , , , 0057 = 0,

3 3. Lo spessore dei tubi prodotti da una certa azienda ha distribuzione normale con media 8 cm e varianza 16. Si estragga un campione casuale di tubi di ampiezza 20 e si determini la probabilità che la media campionaria sia compresa nell intervallo (7, 8; 8, 1). Se X è una v.c. normale, allora si dimostra che la media campionaria, X, è anch essa una v.c. normale con media la stessa media di X e con varianza uguale a σ 2 /n: X N(8; 16/20) Quindi, per calcolare la probabilità richiesta si può ricorrere alle tavole della v.c. normale standard: P ( 7, 8 < X < 8, 1 ) ( ) 7, 8 8 = P < Z X < 8, 1 8 = P ( 0, 22 < Z X < 0, 11) = 16/20 16/20 = Φ(0, 11) [1 Φ(0, 22)] = 0, , 5871 = 0,

4 4. Un gioco consiste nel lanciare una moneta non truccata due volte. La vincita è 2 se esce due volte testa e -1 altrimenti. Il gioco è favorevole? Lo spazio degli eventi, quindi le possibili combinazioni che possono uscire dal lancio di due monete, è i seguente: Ω = {T T, T C, CT, CC}. Sappiamo che quando si verifica la coppia T T allora x = 2, altrimenti x = 1. Quindi P (x = 2) = 1 4 e P (x = 1) = 3 4. Il valore atteso risulta dunque E(X) = i x i P (X = x i ) = ( 1) 3 4 = 1 4 Il gioco risulta dunque sfavorevole. 4

5 5. Al termine di una campagna promozionale, un azienda produttrice di prodotti cosmetici svolge un indagine sulle sue clienti, dalla quale risulta che, su 267 donne intervistate, 173 sono soddisfatte dei prodotti di bellezza acquistati. Si determini l intervallo di confidenza al 95% per la proporzione delle clienti soddisfatte. Intervallo di confidenza per la proporzione: L intervallo di confidenza per una proporzione p di livello 1 α è caratterizzato dai seguenti limiti inferiore e superiore l 1 e l 2 : l 1 =ˆp z 1 α/2 ˆp (1 ˆp)/n l 2 =ˆp + z 1 α/2 ˆp (1 ˆp)/n, che, per 1 α = 0, 95 e ˆp = 0, 6479, risultano pari a: l 1 =0, , 96 0, 6479 (1 0, 6479)/267 = 0, , 96 0, 029 = 0, 591 l 2 =0, , 96 0, 6479 (1 0, 6479)/267 = 0, , 96 0, 029 = 0, 705. Quindi, confidiamo che il valore vero della proporzione di clienti soddisfatte sia compreso tra 59,1% e 70,5%, ad un livello di confidenza (o di fiducia) del 95%. 5

6 6. La distribuzione dei pesi dei pesi pacchetti per confezionare per confezionare le caramelle, in grammi, prodotti da un azienda, ha una distribuzione Normale con scarto quadratico medio pari a 7. Per stimare il peso medio si estrae un campione di pacchetti ottenendo i pesi seguenti: 170, 180, 172, 171, 183, 181, 175, 178, 185, 184 (a) Si vuole costruire un intervallo di confidenza al 90%, al 95% e al 99%. La stima puntuale della media è µ = 177, 9. (b) Si supponga poi che dalla stessa popolazione di pesi di sacchetti per confezionare caramelle, si estraggono campioni di numerosità diversa, ad esempio: n =, n =, n = 60. Si assuma per semplicità che la stima puntuale della media sia sempre la stessa. Si calcoli l intervallo al 95%. Cosa succede al crescere della dimensione campionaria? (a) Nel primo punto viene richiesta la costruzione di tre intervalli di confidenza al variare di α: Intervallo di confidenza al 90%. Dunque α = %, e quindi α 2 = Il valore sulle tavole da considerare è dunque z 0.05 = Sostituendo il valore osservato della media campionaria nella formula dello stimatore per l intervallo di ottiene l intervallo di confidenza: l 1 = = l 2 = = Per analogia, intervallo di confidenza al 95%. Dunque α = 5%, e quindi α 2 = 0.0. Il valore sulle tavole da considerare è dunque z 0.0 = Sostituendo il valore osservato della media campionaria nella formula dello stimatore per l intrevallo di ottiene l intervallo di confidenza: l 1 = = l 2 = = Per analogia, intervallo di confidenza al 99%. Dunque α = 1%, e quindi α 2 = Il valore sulle tavole da considerare è dunque z = Sostituendo il valore osservato della media campionaria nella formula dello stimatore per l intervallo di ottiene l intervallo di confidenza: l 1 = =

7 l 2 = = Si osserva dunque come all aumentare del livello di confidenza aumenta l ampiezza degli intervalli. (b) Viene ora richiesto di calcolare tre intervalli di confidenza tenendo fisso il livello di confidenza al 95% e aumentando l ampiezza campionaria, supponendo per semplicità lo stesso valore di media campionaria x = n = l 1 = = l 2 = = n = 60 l 1 = = l 2 = = Si osserva che all aumentare della numerosità campionaria, a parità dello stesso livello di confidenza, si riduce la lunghezza degli intervalli in quanto vi è un minor grado di incertezza. Aumentando la numerosità campionaria n infatti si raccoglie una maggiore quantità di informazione e ciò consente una stima più precisa. 7

8 7. In un certo tratto di autostrada con limite di velocità di 120 km/h la polizia stradale ha rilevato la velocità di un campione casuale di 20 auto. La velocità media del campione è stata di 132 km/h con una deviazione standard di 20. (a) Determinare l intervallo di confidenza al 95% per la velocità media delle auto. Si può affermare che in quel tratto di autostrada le automobili superano mediamente il limite di velocità? (b) Ulteriori rilevazioni portano ad assegnare una deviazione standard di km/h alla velocità della popolazione di auto che percorrono quotidianamente l autostrada. Determinare nuovamente l intervallo di confidenza al 95% per la velocità media delle auto e confrontarlo con quello ottenuto al punto precedente. (c) Utilizzando l informazione sulla deviazione standard di cui al punto precedente, stabilire quale dovrebbe essere la numerosità campionaria per ottenere un intervallo di ampiezza non superiore alla metà di quello ottenuto al punto precedente. (d) Assumendo di sapere che la velocità media della popolazione di auto che percorrono quotidianamente l autostrada sia di 128 km/h, determinare, per un nuovo campione di ampiezza 36, la probabilità che la media campionaria sia inferiore a 120. Siano n = 20 l ampiezza campionaria, x = 132 la media campionaria e s = 20 la deviazione standard campionaria (non distorta). Si assuma la normalità della distribuzione. (a) Intervallo di confidenza per la media µ di una popolazione normale con varianza σ 2 incognita. L intervallo di confidenza richiesto viene individuato ricorrendo alla t di Student e discende dalla proposizione probabilistica seguente: ( 1 α = P X t 1 α/2 S n < µ < X + t 1 α/2 ) S, n dove t 1 α/2 è il quantile inferiore di una t con n 1 gradi di libertà. Posto il livello di confidenza 1 α = 0, 95 e X = x si ottiene l intervallo di confidenza delimitato dai seguenti limiti inferiore e superiore: l 1 = x t 0,975 l 2 = x + t 0,975 S 20 = 132 t 0,975 = 132 2, , 47 = 122, 64 n 20 S 20 = t 0,975 = , , 47 = 141, 36. n 20 8

9 Siccome l intervallo trovato è uniformemente superiore al limite di velocità di 120 km/h, allora possiamo affermare che il limite di velocità è stato mediamente superato, ad un livello di confidenza del 95%. (b) Intervallo di confidenza per la media µ di una popolazione normale con varianza σ 2 nota. Supponendo adesso di conoscere il valore vero della deviazione standard della popolazione, l intervallo di confidenza per la media viene individuato ricorrendo alla normale standard e discende dalla proposizione probabilistica seguente: ( 1 α = P X z 1 α/2 σ n < µ < X + z 1 α/2 ) σ. n Pertanto, ponendo σ = si ottengono i seguenti limiti inferiore e superiore: l 1 =132 z 0,975 l 2 =20 + z 0, = 132 1, 96 5, 59 = 121, = , 96 5, 59 = 142, 96. (c) L ampiezza dell intervallo di confidenza di cui al punto precedente è pari a: A = l 2 l 1 = 142, , 04 = 21, 91 Siccome in termini generali abbiamo che A = 2 z 1 α/2 σ n, allora si determina n in modo che: 2 z 1 α/2 σ n 21, 91/2 Pertanto: 2 1, 96 n, 96 => 2 1, 96, 96 ( n => n 2 1, 96 ) 2 => n 80, 96 (d) Sia µ = 128, σ = e n = 36, allora la v.c. media campionaria X ha una distribuzione N (128, 2 /36). Quindi: P ( X < 120) = P (Z X < ) = P (Z X < 1, 92) = 1 Φ(1, 92) = 1 0, 9726 = 0, /6 9

10 8. Al termine di una campagna promozionale, un azienda produttrice di prodotti cosmetici svolge un indagine sulle sue clienti, dalla quale risulta che, su 267 donne intervistate, 173 sono soddisfatte dei prodotti di bellezza acquistati. Si determini l intervallo di confidenza al 95% per la proporzione delle clienti soddisfatte. Intervallo di confidenza per la proporzione: L intervallo di confidenza per una proporzione p di livello 1 α è caratterizzato dai seguenti limiti inferiore e superiore l 1 e l 2 : l 1 =ˆp z 1 α/2 ˆp (1 ˆp)/n l 2 =ˆp + z 1 α/2 ˆp (1 ˆp)/n, che, per 1 α = 0, 95 e ˆp = 0, 6479, risultano pari a: l 1 =0, , 96 0, 6479 (1 0, 6479)/267 = 0, , 96 0, 029 = 0, 591 l 2 =0, , 96 0, 6479 (1 0, 6479)/267 = 0, , 96 0, 029 = 0, 705. Quindi, confidiamo che il valore vero della proporzione di clienti soddisfatte sia compreso tra 59,1% e 70,5%, ad un livello di confidenza (o di fiducia) del 95%.