Parametri e statistiche. Parametri e statistiche. Distribuzioni campionarie. Popolazione Parametri Valori fissi, Statistiche o Stimatori.

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1 Parametri e statistiche Popolazione Parametri Valori fissi, spesso non noti Campione Statistiche o Stimatori Variabili casuali, le cui determinazioni dipendono dalle particolari osservazioni scelte Parametri e statistiche Distribuzioni campionarie Parametri: valori caratteristici Statistiche o v.c. campionarie o stimatori o statistiche test: funzioni delle osservazioni campionarie Statistica calcolata o stima: numero ottenuto applicando la statistica al campione osservato Distribuzione campionaria: valori che la statistica assume al variare del campione nell universo campionario Le conclusioni inferenziali, basate sull unico campione osservato, devono essere giudicate sulla base della distribuzione di probabilità dei possibili campioni che potevano essere generati e dei quali quello osservato costituisce una realizzazione particolare.

2 La stima La stima Si suppone che la popolazione, seppur incognita, si distribuisca secondo una legge di probabilità completamente caratterizzata sa un parametro θ o da un insieme di parametri. La stima puntuale Per stimare uno stesso parametro si possono usare più statistiche (più stimatori) ognuno delle quali fornisce valori potenziali per il parametro. Sulla base di un campione casuale X 1, X 2,, X n si vuole trovare un valore o un insieme di valori per θ che siano la migliore approssimazione possibile del valore incognito. Si cerca un intervallo che ha una particolare confidenza o probabilità di includere il parametro Livello di confidenza La stima puntuale Occorre definire delle regole in base alle quali si possa discriminare tra stimatori alternativi: La stima puntuale: la correttezza Uno stimatore t è uno stimatore corretto del parametro θ se: 1. Proporre stimatori naturali 2. Determinare la probabilità con cui uno stimatore tende a produrre stime diverse da θ è uno stimatore corretto di µ è uno stimatore distorto di σ 2 Proprietà degli stimatori è uno stimatore corretto di σ 2

3 La stima puntuale Anche se lo stimatore presenta proprietà ottimali, una volta ottenuto il campione le stime difficilmente coincideranno con il parametro incognito A parità di stimatore, campioni diversi conducono a stime diverse Il valore numerico della singola stima non fornisce informazioni sul probabile campo di variazione delle stime del parametro µ t 1 t 2 Stima per intervalli 0 -Z α/2 Z α/2 Una macchina produce bulloni il cui peso ha distribuzione Normale con media µ=63 grammi e varianza σ 2 =0,8. Scegliendo a caso 8 bulloni, qual è l intervallo che con probabilità 0,95 comprenderà la loro media? Una macchina produce bulloni il cui peso ha distribuzione Normale con media µ=incognita e varianza σ 2 =0,8. Scelti a caso 8 bulloni, il loro peso medio è risultato pari a 62,6 grammi. Qual è l intervallo che, con probabilità 0,95, contiene il parametro incognito µ?

4 Quando il parametro µ è incognito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la media campionaria. Quando la numerosità campionaria n è sufficientemente elevata si ha: Per 1-α = 68% E quindi possibile dire che, con probabilità 1-α, l intervallo: Per 1-α = 95% Per 1-α = 99% contiene il parametro incognito µ.

5 L altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a 10,66. Per stimare l altezza media si estrae un campione casuale di 58 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 175,4 cm. Si definisca l intervallo che, ad un livello di fiducia del 90, del 95 e del 99 per cento contenga il parametro incognito. L altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a 10,66. Per stimare l altezza media si estrae un campione casuale di 58 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 175,4 cm. Si definisca l intervallo che, ad un livello di fiducia del 90, del 95 e del 99 per cento contenga il parametro incognito. n > 30? NO X N? NO? La stima della media con distribuzione nota e varianza incognita SI SI σ noto? SI NO La distribuzione t di Student La funzione di densità della v.c. di Student è sempre simmetrica, convaloremedio pari a 0, ed assumeuna forma molto simile a quello della Normale standardizzata alla quale tende assai velocemente al crescere dei gradi di libertà. Pervaloridinpiccoliomoderati,lav.c.diStudent si caratterizza per una curtosi leggermente più elevata e per code più pesanti della v.c. Normale.

6 La stima della media con distribuzione nota e varianza incognita Esempio L altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione Normale, con media e varianza incognite. Per stimare l altezza media si estrae un campione casuale di 18 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 175,4 cm, con sqm campionario corretto pari a 4,4 cm. Si definisca l intervallo che, ad un livello di fiducia del 95% contenga il parametro incognito. Un'azienda che imbottiglia una bibita gassata vuole indagare sulla forza della pressione interna della bibita presente in una lattina. Supponendo che la forza della pressione sia una v.c. con s.q.m. 28psi, si consideri un campione casuale di 20 lattine con pressione media pari a 235psi. Si determini un intervallo di confidenza al 95% per la pressione media delle lattine prodotte dall'azienda nel caso in cui il valore della pressione possa essere considerato distribuito normalmente. 173,2 177,6 X~ N(?; 28) σ=28 n=20 1-α=0,95 Si cerca un intervallo che ha una particolare confidenza o probabilità di includere il parametro Livello di confidenza ldf=90% ldf=95% ldf=99% z=1,64 z=1,96 z=2,33

7 V.C. Proporzione campionaria : numero di successi in n prove La proporzione di successi nella popolazione : proporzione di successi in n prove π proporzione di successi nella popolazione p proporzione di successi in un campione di ampiezza n P: v.c proporzione campionaria La proporzione di successi nella popolazione La proporzione di successi nella popolazione Quando il parametro π è incognito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la proporzione campionaria. Quando la numerosità campionaria n è sufficientemente elevata si ha: E quindi possibile dire che, con probabilità 1-α, l intervallo: contiene il parametro incognito π.

8 La stima di una proporzione Da un indagine condotta su un campione casuale di 280 matricole universitarie è risultato che il 36% si dichiara insoddisfatto della nuova Riforma. Qual è l intervallo che, ad un livello di fiducia del 95%, comprende il parametro incognito? La stima di una proporzione Da un indagine condotta su un campione casuale di 280 matricole universitarie è risultato che il 36% si dichiara insoddisfatto della nuova Riforma. Qual è l intervallo che, ad un livello di fiducia del 95%, comprende il parametro incognito? Parametro: π (Proporzione nella popolazione) ; Stimatore: p (Proporzione campionaria) Per campioni grandi n=280 p=0,36 1-α= 0,95 Un rivenditore di automobili vorrebbe stimare la proporzione di clienti che posseggono ancora l'automobile acquistata cinque anni prima. Dai registri del rivenditore si seleziona un campione casuale di 200 clienti, di cui 82 posseggono ancora l'automobile acquistata cinque anni prima. Si definisca una stima per intervalli per la proporzione nella popolazione ad un livello di confidenza del 95%. n=200 1-α=0,95

9 Dove e come studiare S. Borra, A. Di Ciaccio (2004) Statistica Metodologie per le scienze economiche e sociali McGraw-Hill. Cap. 11 (escluso paragrafi 11.4, 11.5, 11.9), Cap. 12 (escluso paragrafo 12.6). D. Piccolo (2004) Statistica per le decisioni Il Mulino. Cap. 13 (escluso paragrafi 13.3, 13.4,13.5, 13.6, 13.7, 13.8), Cap. 15 (escluso paragrafi 15.4, 15.5, 15.6). F. Parpinel, C. Provasi (2004) Elementi di probabilità e statistica per le Scienze Economiche Giappichelli editore. Cap. 6 (escluso paragrafi 6.1.1, 6.1.2, 6.2.4). Riepilogo Popolazione e campione La stima La stima puntuale Le proprietà degli stimatori Intervallo di confidenza per la media Intervallo di confidenza per la proporzione File esercizi intervalli di confidenza.pdf