Un esempio. Ipotesi statistica: supposizione riguardante: un parametro della popolazione. la forma della distribuzione della popolazione

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1 La verifica delle ipotesi In molte circostanze il ricercatore si trova a dover decidere quale, tra le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche. Ipotesi statistica: supposizione riguardante: un parametro della popolazione la forma della distribuzione della popolazione Un ipotesi è un affermazione che viene considerata vera a meno che l evidenza empirica porti ad avere seri dubbi sulla sua validità e suggerisca che essa è falsa La verifica delle ipotesi Verifica delle ipotesi: processo utilizzato per stabilire, sulla base delle osservazioni campionarie, se l ipotesi formulata si può considerare esatta o meno Test statistico: regola che consente di discriminare tra i risultati campionari che portano ad accettare l ipotesi e quelli che portano a rifiutarla La durata delle lampadine prodotte da una certa azienda ha media pari a 2000 ore e deviazione standard pari a 250 ore. La produzione dell ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di materiale sulla cui qualità il responsabile della produzione avanza seri dubbi. Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera, dunque, indagare sulla qualità del materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa avere influito sulla durata delle lampadine. Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione settimanale e se ne misura la durata media, che risulta pari a 1955 ore. E possibile affermare, con significatività α=0,05, che tale riduzione sia imputabile alla scarsa qualità del materiale utilizzato? Le ipotesi (Nulla, H 0, e Alternativa, H 1 ) Il livello di significatività (α) La statistica di riferimento La regola di decisione

2 Le ipotesi Popolazione: Ipotesi statistica semplice: si riferisce ad un valore specifico del parametro Per esempio Ipotesi statistica composta: si riferisce ad un insieme di possibili valori che il parametro della popolazione può assumere Per esempio Le ipotesi Ipotesi nulla (H 0 ): ipotesi sottoposta a verifica E l ipotesi preesistente rispetto all esperimento campionario, quella che viene considerata valida fino a prova contraria, e comprende il sottoinsieme dei valori dello spazio parametrico Θ che si vuole sottoporre a test. Tipicamente, l ipotesi nulla è un ipotesi di tipo semplice: H 0 : θ = θ 0 Ipotesi alternativa (H 1 ): affermazione fatta in antitesi all ipotesi nulla E costituita da un singolo valore o da un insieme di valori possibili per θ e considerati alternativi a θ 0 : H 1 : θ = θ 1 ; H 1 : θ < θ 0 ; H 1 : θ > θ 0 ; H 1 : θ θ 0 Le ipotesi Ipotesi nulla (H 0 ): ipotesi sottoposta a verifica Ipotesi alternativa (H 1 ): affermazione fatta in antitesi all ipotesi nulla E bene sottolineare che l ipotesi nulla e l ipotesi alternativa non sonoequivalentiaifinidelladecisione, nel senso che il test non è mai conclusivo circa H 1, ma concerne solo la possibilità che dal campione si possa pervenire al rifiuto o al non rifiuto di H 0. Le ipotesi H 0 e H 1 sono esaustive e disgiunte: o vale l una o vale l altra. Test e regola di decisione Una volta formulate le ipotesi, occorre decidere se, sulla base dell evidenza empirica campionaria, l ipotesi nulla H 0 debba essere rifiutata o meno. E perciò necessario mettere a punto una regola che permetta di discriminare tra i risultati campionari che portano ad accettare l ipotesi nulla e quelli che portano a rifiutarla. Questa regola costituisce il Il test è dunque una regola che permette di stabilire se le osservazioni campionarie debbano ritenersi coerenti con l ipotesi nulla oppure no. Poiché il valore campionario di un test statistico varia da campione a campione, il test statistico costituisce una variabile casuale che può assumere valori compresi in un insieme che costituisce lo spazio campionario del test secondo una particolare distribuzione di probabilità che è la distribuzione campionaria Da un punto di vista operativo, un test è una statistica che fa del test corrispondere ad ogni campione casuale (X 1,, X n )un valore numerico che può essere classificato secondo due diverse possibilità:

3 Test e regola di decisione Un test statistico da quindi luogo alla ripartizione dello spazio campionario in due sottoinsiemi complementari: un insieme A costituito dai valori del test che sono compatibili con l ipotesi nulla H 0, e un insieme C che raggruppa i valori del test considerati incompatibili con H 0. La regola di decisione e gli errori A-priori sono possibili quattro eventi incompatibili legati all ipotesi vera sulla popolazione ed alla decisione che si prende, a ciascuno di essi è associata una probabilità a-priori di verificarsi Quest ultimo insieme è costituito dai valori del test che portano al rifiuto di H 0 e viene definito la regione critica del test Quando il valore campionario di t cade nella regione critica, l evidenza empirica del fenomeno studiato porta a ritenere che l ipotesi H 0 non possa essere considerata valida, e quindi che non possa essere accettata come vera. Situazione vera H 0 H 1 Accetto H 0 falsa Ipotizzando vera H 0, la regione critica associata (cioè la probabilità di rifiutare H 0 ) viene definita livello di significatività del test e indicata con α. accettazione di H 0 rifiuto di H 0 accettazione di H 0 rifiuto di H 0 rifiuto di H 0 t t Regione critica per un test statistico con ipotesi alternativa unidirezionale: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ 0 Regione critica per un test statistico con ipotesi alternativa bidirezionale: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 Decisione H 0 Rifiuto H 0 vera H 1 Errore I tipo Errore II tipo Accettare o rifiutare H 0 non può e non deve essere inteso come una dimostrazione della verità o meno di H 0 (altre ipotesi, diverse da H 0, avrebbero potuto essere accettate o rifiutate sulla base dello stesso campione) ma solo come una conclusione che l evidenza empirica è favorevole o meno all ipotesi nulla. La regola di decisione e gli errori

4 La durata delle lampadine prodotte da una certa azienda ha media pari a 2000 ore e deviazione standard pari a 250 ore. La produzione dell ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di materiale sulla cui qualità il responsabile della produzione avanza seri dubbi. Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera, dunque, indagare sulla qualità del materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa avere influito sulla durata delle lampadine. La produzione dell ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di materiale sulla cui qualità il responsabile della produzione avanza seri dubbi. Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera, dunque, indagare sulla qualità del materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa avere influito sulla durata delle lampadine. Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione settimanale e se ne misura la durata media, che risulta pari a 1955 ore. E possibile affermare, con significatività α=0,05, che tale riduzione sia imputabile alla scarsa qualità del materiale utilizzato? µ =2000 σ =250 n =100 α =0,05 Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione settimanale e se ne misura la durata media, che risulta pari a 1955 ore. E possibile affermare, con significatività α=0,05, che tale riduzione sia imputabile alla scarsa qualità del materiale utilizzato? H 0 : µ = 2000 H 1 : µ < 2000 α = 0,05 Rifiuto H 0 se: z α = -1,645 ; Le ipotesi (Nulla, H 0, e Alternativa, H 1 ) Il livello di significatività (α) Z c ,8 < -1,645 Rifiuto H 0 La statistica di riferimento La regola di decisione 5% Z c -1 0 Valore critico non standardizzato: 1955 < 1958,9 Rifiuto H 0

5 2,5% 2,5% La durata delle lampadine prodotte da una certa azienda ha media pari a 2000 ore e deviazione standard pari a 250 ore. La produzione dell ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di materiale di cui si ignorano le performance. Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera, dunque, indagare sulla qualità del materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa influire sulla durata delle lampadine. Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione settimanale e se ne misura la durata media, che risulta pari a 2010 ore. E possibile affermare, con significatività α=0,05, che tale variazione sia imputabile al nuovo materiale utilizzato? H 0 : µ = 2000 H 1 : µ 2000 α = 0,05 µ =2000 σ =250 n =100 α =0, ,5% 2,5% ; Rifiuto H 0 se: 0,4 < 1,96 Non rifiuto H 0 Valori critici non standardizzati: L'azienda Package utilizza un procedimento tecnologico per l'inscatolamento di uno dei suoi prodotti tarato per ottenere scatole con peso medio di 10Kg e uno s.q.m. pari a 0,3Kg. Durante il controllo periodico del funzionamento del meccanismo di inscatolamento risulta che il peso medio del prodotto inscatolato in un campione di 10 scatole estratte a caso dalla catena di montaggio è pari a 10,19 Kg. a) Sulla base dei risultati campionari, il responsabile della produzione sospetta che il meccanismo sia guasto e produca scatole con peso medio diverso da quello previsto. Supponendo che il peso del prodotto inscatolato dall'azienda si distribuisca normalmente, sulla base dei risultati campionari, si può ritenere che ci sia effettivamente un guasto nel sistema di inscatolamento? Effettuare il test sia ad un livello di significatività del 5% che dell'1%. 0 Non rifiuto H 0 Riepilogo sulla v.c. media campionaria b) Sulla base dei risultati campionari, il responsabile della produzione sospetta che il meccanismo sia guasto e produca scatole con peso medio maggiore di quello previsto. Supponendo che il peso del prodotto inscatolato dall'azienda si distribuisca normalmente, sulla base dei risultati campionari si può ritenere che ci sia effettivamente un guasto nel sistema di inscatolamento? Effettuare il test sia ad un livello di significatività del 5% che dell'1%. n >30? SI NO X N? SI NO? c) Risolvere i punti a) e b) nel caso in cui lo s.q.m. del peso delle scatole prodotte dall azienda non sia noto ma si conosca lo s.q.m. del peso delle scatole presenti nel campione di 10 scatole estratte (s=0.35kg). σ noto? NO SI

6 Le fasi della verifica delle ipotesi 1 Definire l ipotesi H 0 2 Definire l ipotesi H 1 La verifica delle ipotesi su una proporzione In una scommessa con un amico, lanciando 100 volte una moneta si sono ottenute 54 teste. Abbiamo il sospetto che l amico ci abbia ingannati utilizzando una moneta truccata. Si verifichi questa ipotesi ad un livello di significatività α=0, 3 Specificare il livello di significatività α 4 Determinare la dimensione n del campione 5 Determinare la statistica test 6 Fissare il valore (test unidirezionale) o i valori critici (test bidirezionale) che dividono le regioni di rifiuto e di accettazione H 0 : π = 0,5 H 1 : π > 0,5 n=100 p=0,54 α = 0,10 10% Rifiuto H 0 se: 7 Calcolare il valore campionario della statistica 8 Confrontare il valore campionario della statistica con il/i valori critici 0,50 0,80 < 1,28 Non rifiuto H 0 9 Prendere una decisione 10% 0 Dove e come studiare S. Borra, A. Di Ciaccio (2004) Statistica Metodologie per le scienze economiche e sociali McGraw-HillCap. 13 (escluso paragrafi 13.7, 13.8), Cap. 14 (escluso paragrafi 14.4, 14.5, 14.6). D. Piccolo (2004) Statistica per le decisioni Il Mulino. Cap. 14 (escluso paragrafi 14.5, 14.8, 14.9, 14.10,14.11, 14.12). F. Parpinel, C. Provasi (2004) Elementi di probabilità e statistica per le Scienze Economiche Giappichelli editore. Cap. 7 (escluso pagine , escluso paragrafi 7.3, 7.5, 7.6). Riepilogo La verifica delle ipotesi Le ipotesi Le regioni di accettazione e di rifiuto La regola di decisione e gli errori Le fasi di una verifica delle ipotesi Le verifica delle ipotesi sulla media della popolazione La verifica delle ipotesi sulla proporzione File esercizi verifica delle ipotesi.pdf