FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali

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1 PROBABILITÀ 94

2 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95

3 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ PROBABILITÀ CLASSICA o A PRIORI È calcolata con ragionamento astratto, non sperimentalmente. La probabilità p(e) di un evento casuale E è data da: p ( E ) = m N = n casi n casi favorevoli possibili I casi possibili sono mutuamente esclusivi, equiprobabili e numerabili. Esempio Qual è la probabilità di ottenere 5 lanciando un dado? m 1 p( E) = = = = 16.7% N 6 96

4 PROBABILITÀ A POSTERIORI o FREQUENZA RELATIVA È calcolata a posteriori dopo aver ripetuto più volte lo stesso esperimento. Esempio Lanciamo una moneta N volte e calcoliamo quante volte (m) si verifica l evento Testa. La frequenza relativa di T è P(T) = m/n. Se N=100 e m=43 p m 43 ( T ) = = = N Prima dell esperimento ci si aspettava che P(T) = P(C) =

5 PROBABILITÀ CLASSICA E PROBABILITÀ FREQUENTISTA Per N tendente a infinito P(T) = P(C) = La probabilità p(e) di un evento casuale E è il valore limite cui tende la sua frequenza relativa all aumentare del numero di osservazioni. p ( E ) = lim N m N 98

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7 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ 100

8 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Dagli archivi del reparto di ostetricia di un piccolo ospedale di provincia risulta che la probabilità che si verifichino 0, 1, 2, 3, 4 o più nascite in una settimana è rispettivamente uguale a 0.72, 0.14, 0.07, 0.06 e È possibile sintetizzare la situazione come segue: Numero di nascite (X=) Probabilità (X=) La tabella è un esempio di distribuzione di probabilità. 101

9 La distribuzione di probabilità di una variabile casuale (X) è un elenco di tutti i possibili valori che la variabile può assumere e delle relative probabilità. La somma di queste probabilità è uguale a 1, poiché i possibili esiti (1 nascita, 2 nascite, ) sono mutuamente esclusivi ed esaustivi. Una distribuzione di probabilità può essere illustrata anche da un grafico. 0,8 0,7 0,6 0,5 P(X) 0,4 0,3 0,2 0, N di nati / settimana (X) 102

10 Un altro esempio Lanciando un dado qual è la probabilità che esca 1, che esca 2,., che esca 6? N uscito (X) P(X) 1 1/6= /6= /6= /6= /6= /6=0.17 0,20 0,15 P(X) 0,10 0,05 0, N uscito (X) 103

11 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICHE IPOTETICHE (o teoretiche) Descrivono set di dati realmente osservati (primo esempio). N.B.: una distribuzione di frequenza diventa distribuzione di probabilità per un numero di esperimenti tendente ad infinito. Descrivono dati che si può prevedere di osservare, sotto date condizioni (secondo esempio). 104

12 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI VARIABILI CONTINUE LA DISTRIBUZIONE NORMALE 105

13 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI VARIABILI CONTINUE VARIABILI DISCRETE VARIABILI CONTINUE Possono assumere solo particolari valori entro un dato intervallo. Grafico: diagramma a colonne distanziate tante colonne quanti i valori assunti Possono assumere qualsiasi valore entro un dato intervallo. Grafico: istogramma o poligono di frequenza tante colonne quanti i valori assunti infiniti valori infinite colonne all aumentare del n di osservazioni il profilo del poligono di frequenza tende a diventare liscio f f() 106

14 L AREA SOTTESA ALLA CURVA f() La probabilità che la variabile assuma un ben determinato valore puntuale è nulla: n eventi favorevoli 1 Pr (X=) = = = 0 n totale eventi Tuttavia è possibile chiedersi: qual è la probabilità che una osservazione sia minore (o maggiore) di un certo valore, o sia compresa tra due valori? 107

15 1. Pr(X< 0 ) Dato un valore 0, la probabilità che la variabile X assuma un valore minore di 0 è la parte di area che sta prima di 0. f() 0 2. Pr(X> 0 ) Dato un valore 0, la probabilità che la variabile X assuma un valore maggiore di 0 è la parte di area che sta dopo 0. f() 0 108

16 3. Pr( 0 <X< 1 ) Dati due valori 0 e 1, la probabilità che la variabile X assuma un valore compreso tra 0 e 1 è la parte di area compresa tra 0 e 1. f()

17 LA DISTRIBUZIONE NORMALE È una particolare distribuzione di probabilità continua. f() Area = 1 σ σ µ= moda = mediana Asse di simmetria = µ Ha forma a campana; è simmetrica rispetto ad un asse centrale = µ; media µ, moda e mediana coincidono; la deviazione standard σ della variabile è una misura di dispersione della campana; la distribuzione normale è completamente determinata dai parametri µ e σ; area sottesa alla curva = 1. Molte variabili biomediche (PAS/PAD, Altezza. Peso, Livelli ematici) seguono una distribuzione approssimativamente normale. 110

18 µ e σ Parametri della Distribuzione Normale N(0,1.8) N(-5,1.8) N(5,1.8) 0,25 0,2 0,15 0,1 0, µ variabile σ costante N(0,2) N(0,1) N(0,0.5) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, µ costante σ variabile 111

19 SUDDIVISIONE DELL AREA SOTTO LA CURVA NORMALE µ ± σ 68% 0.68 σ σ µ - σ µ µ + σ µ ± 2σ 95% σ 2σ µ - 2σ µ µ + 2σ µ ± 3σ 99.7% σ 3σ µ - 3σ µ µ + 3σ 112

20 DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA Una distribuzione normale si dice standard se se µ = 0 e σ = 1 0,4 0,3 0,2 0, µ = Moda = Mediana = 0 Punti di inflessione alle ascisse + 1 Area sottesa alla curva = 1 Asse di simmetria = 0 113

21 DALLA DISTRIBUZIONE NORMALE ALLA NORMALE STANDARDIZZATA È possibile standardizzare una variabile casuale normale X mediante la trasformazione: µ Z = X σ Molti testi contengono le cosiddette Tavole della distribuzione normale, dove, per una griglia discreta di valori z, sono riportate le probabilità P(Z < z) sotto la normale standard. 114

22 APPLICAZIONI DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE OD Quando si sa (o si può assumere) che variabili casuali sono, almeno approssimativamente, distribuite in modo normale è possibile rispondere a domande di tipo probabilistico su di esse. Esempio 1 Pr(X< 0 ) (Daniel pag.102) Da uno studio condotto sulla malattia di Alzheimer, Dusheiko ha riportato i dati che sono compatibili con l ipotesi che il peso del cervello delle vittime della malattia si distribuisca normalmente. Dai dati possiamo calcolare una media di grammi e una deviazione standard di grammi. Se assumiamo che questi risultati siano applicabili a tutte le vittime della malattia di Alzheimer, trova la probabilità che una vittima della malattia, scelta a caso, abbia un cervello che pesa meno di 800 grammi. 115

23 Soluzione In primo luogo è utile rappresentare graficamente la distribuzione, tratteggiando l area che corrisponde alla probabilità richiesta. f () 800 µ= Peso cervello(g) Se la distribuzione fosse normale standard, potremmo facilmente determinare la probabilità richiesta, usando le tavole apposite. Trasformiamo i valori di nei corrispondenti valori di z usando la seguente formula: z µ = = σ =

24 Rappresentiamo graficamente: f () 800 µ= Peso cervello(g) z -2,62 0 Dalle tavole risulta che l area a sinistra di z=-2.62 è P(<800) = P(z<-2.62) = La probabilità che un paziente scelto a caso abbia un peso del cervello minore di 800 grammi è uguale a (0.44%). 117

25 Esempio 2 Pr( 0 <X< 1 ) (Daniel pag.104) Supponiamo di conoscere che la statura di una certa popolazione di individui sia approssimativamente distribuita come una normale con media di 70 pollici e deviazione standard di 3 pollici. Qual è la probabilità che una persona estratta a caso da questo gruppo sia alta fra 65 e 74 pollici? Calcoliamo gli opportuni valori di z e rappresentiamo graficamente: 1 µ µ z 1 = = = 1,67 z = = 1, 33 σ 3 2 σ 3 = OD f () Pr(65<<74) =? , ,33 Statura (pollici) z 118

26 Dalle tavole risulta che l area tra - e 1.33 è l area tra - e 1.67 è L area richiesta è la loro differenza: P(65<<74) = P(-1,67<z<1,33) = = P(z<1,33) - P(z<-1,67) = = 0,9082-0,0475=0,8607=86.07%. 119

27 Esempio 3 Pr(X> 0 ) (Daniel pag.105) Determinare la probabilità che una persona scelta a caso dalla popolazione sia alta 77 pollici o più. Calcoliamo il valore di z e rappresentiamo graficamente: z = µ σ = = 2,33 OD f () Pr(>77) =1 Pr(<77) =? 0 Poiché le tavole riportano le aree comprese tra - e un dato valore (cioè la probabilità che z sia minore di un dato valore), possiamo calcolare la probabilità richiesta nel modo seguente: P(>77) ,33 = 1 - P(<77) = 1 - P(z<2,33) = 1-0,9901 = 0,0099 = 0.99% Statura (pollici) z 120