incompatibili compatibili complementari eventi composti probabilità composta

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2 Un evento si dice casuale, o aleatorio, se il suo verificarsi dipende esclusivamente dal caso. La probabilità matematica p di un evento aleatorio è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e il numero di tutti i casi ugualmente possibili n: p La probabilità matematica p (E) di un evento E qualsiasi è sempre: p( E) p 0 f n p( E) evento impossibile evento probabile evento certo

3 Due eventi casuali E ed E possono essere: incompatibili, quando il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro, ovvero se è impossibile che si verifichino entrambi contemporaneamente; può anche accadere che nessuno dei due si verifichi; compatibili, quando il verificarsi dell uno non esclude il verificarsi dell altro, ovvero se è possibile che si verificano entrambi contemporaneamente; complementari, se sono tale che il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro, ma uno dei due si verificherà certamente. A volte l evento può essere composto di due o più eventi, per esempio il lancio di due dadi, l estrazione di due o più numeri. Si parla allora di eventi composti e la relativa probabilità è detta probabilità composta.

4 Lancio di una moneta E: esce testa (T) E: esce croce (C) p( E ) T p ( E ) + p ( E) = Lancio di due monete C p( E) (T,T) (T,C) (C,T) (C,C) Nel lancio di due monete deduciamo che: i casi possibili sono ; Il caso favorevole E(T,T) è ; La probabilità dell evento E(T,T) è p(e) = ¼.

5 Consideriamo un sacchetto con palline rosse e verde, un altro sacchetto rosse e verdi, tutte uguali per forma e dimensione. Estraendo a caso una pallina da ogni sacchetto, qual è la probabilità dell evento E escono due palline rosse? Indichiamo l evento che vogliamo considerare E(, )

6 Rappresentiamo i casi che si possono verificare con un grafo ad albero. L osservazione del grafo ci dice che i casi possibili sono e i casi favorevoli sono, quindi avremo: Possiamo chiederci qual è l evento più probabile fra: E: escono due palline rosse E( ) E: escono due palline verdi E ( ) E: escono una pallina rossa e una verde indipendentemente dall ordine E ( ) L evento più probabile è l evento E. p( E) p( E) p( E ) 6 p( E ) 3 6 3

7 Negli esempi che abbiamo visto gli eventi di cui ci siamo interessati, cioè E(T,T) ed E(, ), vengono chiamati eventi composti, in quanto ciascuno di essi è il risultato di due eventi, detti eventi semplici, indipendenti fra loro. L evento composto E(T,T) è quindi il risultato dei due eventi semplici E(T), E(T) di cui sappiamo che: p E) e p( E ) ( Confrontiamo la probabilità di E, p( E), con queste due probabilità: constatiamo che p(e) è data dal prodotto p(e) x p(e) La probabilità di un evento E, composto da due eventi semplici indipendenti fra loro E ed E, è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi (regola della probabilità composta).

8 Consideriamo adesso la probabilità di un evento composto da due eventi semplici dipendenti tra loro. Per esempio, da un sacchetto contenente 5 biglie rosse e 0 biglie nere estraiamo successivamente due biglie, senza rimettere la prima nel sacchetto. Vogliamo calcolare la probabilità che le biglie estratte siano entrambe rosse. L evento che vogliamo considerare E(R,R) è un evento composto da due eventi semplici dipendenti: il verificarsi del primo modifica infatti la probabilità del secondo evento, perché nella seconda estrazione è variato il numero totale dei casi possibili e dei casi favorevoli.

9 Calcoliamo quindi la probabilità composta dei due eventi semplici dipendenti, considerando che: alla prima estrazione i casi possibili sono 5 e i casi favorevoli sono 5, per cui: 5 p( E ) 5 3 Alla seconda estrazione, supposto di avere estratto la biglia rossa alla prima estrazione, i casi possibili sono e i casi favorevoli sono, per cui: p( E ) 7 Per la legge della probabilità composta, avremo: p( E) p( E) p( E) 3 7 La probabilità di un evento E, composto da due eventi semplici dipendenti fra loro E ed E, è data dal prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo evento, supponendo che si sia verificato il primo.

10 lancio ª Moneta Lanciamo due monete e consideriamo la probabilità dei casi che si possono presentare: (T,T), (T,C), (C,T) e (C,C). lancio ª moneta T C T TT TC. Con una tabella a doppia entrata, dove in riga indicheremo le possibilità del lancio della prima moneta e in colonna le possibilità del lancio della seconda moneta. C CT CC. Completando gli incroci avremo i seguenti casi: p( T, T) p( T, C) p( C, T) p( C, C)

11 ª moneta (o lancio) ª moneta (o lancio). Rappresentiamo lo stesso esempio con un grafo ad albero: T C T C T C T T T C C T C C Anche con il grafo ad albero è immediata la valutazione dei vari casi possibili.

12 Secondo il concetto di probabilità classica, la probabilità matematica di un evento aleatorio, come abbiamo visto, è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero di tutti i casi ugualmente possibili. Per esempio, la probabilità di ottenere nel lancio di un dado è /6 perché è il caso favorevole e 6 sono tutti i casi ugualmente possibili.

13 Secondo il concetto di probabilità frequentista, la probabilità è la frequenza relativa dell evento quando il numero di prove è estremamente grande, infinito. L impossibilità di ripetere le prove all infinito, o di ripeterle sempre nelle stesse condizioni, ha messo in crisi anche questa definizione di probabilità.

14 Il tentativo di superare le critiche alla concezione classica e a quella frequentista della probabilità ha portato alla definizione di probabilità soggettivista o soggettiva. Secondo tale interpretazione la probabilità di un evento aleatorio è il grado di fiducia che una persona, in base alle sue conoscenze, ha nel verificarsi dell evento in questione. Una definizione ampiamente criticata perché, come puoi capire anche tu, non è per niente oggettiva ma dipende proprio da un intuizione di ciascuno di noi nel valutare in un certo modo e in un dato momento un evento. In conclusione possiamo affermare che, le tre definizioni concordano su un punto: la probabilità di un evento è la misura della sua incertezza, ed è 0 se l evento è impossibile, se è certo. E negli altri casi? Valuteremo l evento e applicheremo una delle tre probabilità, fidandoci anche del nostro intuito.

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