CALCOLO DELLE PROBABILITÀ. 1. La probabilità che una candela accesa si spenga è p = 1, perché è assolutamente certo che si esaurirà.

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1 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ -Definizione di robabilità -Legge additiva (eventi disgiunti) -Probabilità totale -Eventi comosti -Eventi indiendenti -Legge moltilicativa -Probabilità comoste - -Definizione di variabile aleatoria Definizione di robabilità: esemi La robabilità che una candela accesa si senga è =, erché è assolutamente certo che si esaurirà La robabilità che si senga nella rossima mezzora è un numero comreso nell'intervallo 0-3 La robabilità che una candela accesa rimanga accesa er semre è =0 4 La robabilità che lanciando un dado non truccato si ottenga uno qualunque dei numeri tra e 6 è =, erché un dado ha solo sei faccie ciascuna delle quali mostra un numero comreso tra e 6 e certamente il risultato dovrà essere uno di questi numeri Definizione di robabilità: esemi Definizione di robabilità: esemi 5 La robabilità di ottenere un numero maggiore di lanciando un dado non truccato è = 4/6 = /3, erché vi sono sei ossibili modi in cui il dado uò cadere e di questi, quattro sono favorevoli all'evento indicato In una lotteria che abbia distribuito 90 biglietti e che reveda di remiare 0 numeri e di non remiare gli altri 80 numeri, la robabilità che un individuo ossessore di un biglietto ha di vincere un remio è =0/90, erché 90 sono tutti i numeri ossibili e solo 0 di questi sono associati ad un remio 7 Da un'urna contenente 6 biglie bianche e 4 biglie nere, la robabilità di estrarre una biglia nera è = 4/0

2 Legge additiva e robabilità totale la robabilità che si resenti uno qualsiasi di n eventi che si escludono vicendevolmente è uguale alla somma delle robabilità che si verifichino n eventi searati e cioè: robabilità che si resenti P uno qualunque tra n eventi = n che si escludono a vicenda ESEMPIO La robabilità che un dado mostri oure 6 é data dalla uguaglianza = /6 + /6 = /6 = /3 Legge additiva e robabilità totale: esemi Suoniamo di avere 5 carte segnate con i rimi 5 numeri Quando una di queste carte viene estratta a caso, qual'è la robabilità di avere un numero multilo di o di 9? Tra i rimi quindici numeri non ve ne è nessuno che sia allo stesso temo multilo di e di 9, er cui i due eventi si escludono a vicenda e la risosta è: + 9 = = 8 5 Legge additiva e robabilità totale: esemi Suoniamo di avere 5 carte segnate con i rimi 5 numeri Quando una di queste carte viene estratta a caso quale è la robabilità di ottenere un numero che sia multilo di o di 3, 6 e sono multili sia di che di 3 Quindi i due eventi non si escludono a vicenda Per trovare la risosta giusta dobbiamo includere 6 e in una sola delle due frequenze favorevoli e non in entrambe La robabilità di avere un multilo di è 7/5 e quella di avere un multilo di 3 è 5/5 La risosta non è: 7/5 + 5/5 = /5 = 4/5, bensì: Eventi comosti e indiendenti Quando due o iù eventi si verificano in connessione l'uno con gli altri, il verificarsi congiunto è chiamato evento comosto Parecchi eventi ossono verificarsi simultaneamente o in successione Ma essi ossono essere sia indiendenti l'uno dall'altro, sia diendenti tra loro Gli eventi si dicono indiendenti se il verificarsi dell'uno non influisce sul verificarsi degli altri In altre arole, due eventi si dicono mutualmente indiendenti quando la robabilità che si verifichi uno di essi è la stessa sia che l'altro si resenti sia che non si resenti 7/5 + 5/5 - /5 = 0/5 = /3

3 Eventi comosti e indiendenti: esemi La robabilità d'ottenere due nel lancio di una coia di dadi non truccati è: =/6 * /6 = /36 I due eventi sono indiendenti Infatti, il unteggio che mostra il rimo dado non influisce sul risultato ottenuto dal secondo dado Il numero totale delle associazioni ossibili è ari a 6*6=36 Poiché vogliamo avere come risultato due, questo uò verificarsi solo in un modo e quindi il numero dei modi favorevoli all'evento "uscita di due con il lancio di due dadi non truccati" è ari ad Quindi la robabilità ricercata è uguale a /36, che è uguale al rodotto delle robabilità di ottenere searatamente da ogni dado, cioè: =/6 * /6 = /36 Eventi comosti e indiendenti: esemi Se si estrae una biglia da un'urna che ne contiene 6 bianche e 8 rosse e si esegue oi una seconda estrazione, doo aver rimesso nell'urna la biglia estratta la rima volta, qual'è la robabilità che la rima estrazione dia come risultato una biglie bianche e la seconda una biglia rossa? Poiché la biglia estratta la rima volta è rimessa nell'urna rima di effettuare la seconda estrazione, il risultato della rima estrazione non avrà alcuna influenza su quello della seconda Quindi i due eventi sono indiendenti Si ha : =3/7 * 4/7 = /7 LEGGE MOLTIPLICATIVA Si abbiano due eventi indiendenti Con le caratteristiche seguenti: modi favorevoli al verificarsi dell' evento Modi ossibili di verificarsi (S) Probabilità che si verifichi l'evento Saiamo che: I EVENTO = Limite N + = II EVENTO f f N N P P Limite N + f N ; f N Qual'è la robabilità dell'evento comosto (E E)? Modi favorevoli al verificarsi di ambedue gli eventi E ed E: f*f Modi ossibili di resentarsi dell'evento comosto (S): N*N Si ha: ( E E) = Limite f f N + N + N Per il teorema concernente il limite di un rodotto si uò scrivere: f f Limite N N N + N + f = Limite N + f Limite N + ; =

4 TEOREMA DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA "La robabilità del verificarsi di un evento comosto che consiste di due eventi indiendenti è uguale al rodotto delle robabilità di verificarsi relative a ciascuno degli eventi singoli" Questo teorema uò essere generalizzato al caso in cui gli eventi indiendenti siano iù di due, er il quale otremo scrivere: E E E3 En) = ( 3 n Consideriamo due eventi x ed y diendenti l'uno dall'altro, cioè la robabilità del verificarsi dell'evento y diende dal verificarsi o meno dell'evento x La robabilità che l'evento y si verifichi è detta robabilità condizionata ed è di solito indicata con la notazione: (y/x) In questo caso la legge moltilicativa della robabilità si scriverà come segue: ( x y) ( x) ( y x), = /, L'esressione che fornisce la robabilità condizionata è: ( y x) / = ( x, y) () x Esemio Suoniamo di estrarre una carta da un mazzo di 5 carte Senza rimettere la carta estratta nel mazzo, rietiamo l'oerazione con una seconda carta Qal'è la robabilità che tutte e due le carte siano dello stesso colore? Prima della rima estrazione, il mazzo contiene carte di due colori nello stesso numero, ma oiché la carta estratta er rima non viene riosta nel mazzo, la seconda estrazione dienderà dal risultato della rima Quindi i due eventi sono tra loro diendenti In questo caso ossiamo usare la formula della robabilità condizionata Esemio Indichiamo con (x) la robabilità di estrarre una carta del colore desiderato nella rima estrazione Allora (y/x) raresenterà la robabilità condizionata, cioè la robabilità di estrarre una carta dello stesso colore nella seconda estrazione: x ()= ; ( y x) / = 5 5 e quindi la robabilità cercata è ari a: x,y ( )= x ( ) x y ()= 5 5 = 5 0

5 Seranza matematica Se una ersona ha la robabilità di ottenere una somma x e di ottenere la somma x e così via, la sua seranza matematica è data dalla formula: i =n i= x i i = x + x ++x n n