La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistica

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1 La Probabilità Classica e la Probabilità Quantistica

2 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Johann Carl Friederick Gauss Germania Andrey Nikolaevich Kolmogorov Russia J. C. F. Gauss fu tra i maggiori matematici della sua eoca. Tra molti altri brillanti risultati, introdusse il rimo Sistema di Unità di Misura comleto e introdusse l analisi statistica nella Fisica serimentale. A. N. Kolmogorov ha dato un contributo molto significatico alla moderna teoria delle robabilità e allo studio dei fenomeni stocastici.

3 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Proosizione logica o enunciato Una Proosizione Logica A è un affermazione che descrive un fatto, al quale sia ossibile attribuire un valore di verità: Vero o Falso Esemio: A In questa stanza c è un gatto Un evento E raresenta il realizzarsi di una delle due alternative. E E Vero che in questa stanza ci sia un gatto (-E) E Falso che in questa stanza ci sia un gatto Probabilità A una roosizione ossiamo associare un numero (E) che indichi il grado di confidenza che abbiamo riguardo all evento E. (E) robabilità dell evento E.

4 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Prorietà formali della robabilità Consideriamo eventi E, E, E che ossano manifestarsi in molti modi (casi favorevoli). Secondo A. N. Kolmogorov, le risettive robabilità devono soddisfare queste rorietà formali: Positività: E, 0 ( E) Certezza: Unione: Ω Insieme di tutti i casi ossibili (Ω) Insieme vuoto, nessun caso favorevole ( ) 0 ( E E ) ( E ) + ( E ) E φ E Le robabilità si sommano solo se gli insiemi sono disgiunti Insieme vuoto Ω Universo Insieme di tutti i casi ossibili E E

5 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Classica Il modo iù semlice di definire la robabilità di un evento in modo da risettare le rorietà formali è dato dalla regola della Probabilità Classica (o matematica, o a riori). Suoniamo che l insieme Ω contenga N eventi semlici, che er qualche ragione di simmetria aaiano equivalenti. Diremo che si tratta di eventi elementari. Per definizione, la robabilità di ciascun evento è N Gli eventi sono, dunque, equirobabili. Esemio Per il lancio di un dado: Ω { E, E, E 3, E 4, E 5, E 6 } Ω E E 3 E E 4 E 5 E 6 E esce il numero, ecc. ( E ) ( E )... 6

6 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Classica Se un evento E si uò realizzare in diverse modalità elementari: ( E) Numero dei casi favorevoli Numero dei casi ossibili Esemio Casi favorevoli in A: { E, E, E 3, E 4, E 5, E 6 } Casi favorevoli in B: { E 5, E 6,E 7, E 8, E 9 } Casi ossibili in Ω: { E, E, E 3, E 4, E 5, E 6, E 7, E 8, E 9 } A E E 3 E E 4 E 5 E6 B E 9 E 7 E8 Contando gli eventi: ( A) ( B) ( A B) ( A B)

7 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Classica Eventi mutuamente esclusivi A B φ ( A B) ( A) + ( B) B { E 5, E 6, E 7 } Aut-aut: o accade A, oure B A { E, E, E 3, E 4 } Eventi statisticamente indiendenti ( A) N( B) N( A) N ( A B) ( A) ( B) N B B { E 4, E 5,E 6, E 7 } L accadimento dell uno non influenza l altro: calcolare la robabilità di B, nell iotesi in cui sia accaduto A, o invece nella totalità dei casi, dà lo stesso risultato. A Oggi iove B Ho vinto a oker A { E, E, E 3, E 4, E 5 }

8 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica La Meccanica Statistica (MS) Nella definizione classica c è il roblema di come individuare gli eventi semlici (cioè, i casi) cui assegnare ari robabilità. In molte situazioni ratiche si tratta di un comito arduo: er esemio, come stabilire a riori che i dadi non sono truccati? Nello studio della Fisica dei Materiali, erò, la situazione è iù semlice. La Natura non ha dadi truccati: tutte le articelle elementari sono identiche (elettroni, rotoni atomi dello stesso elemento molecole dello stesso comosto, ecc.). La Meccanica Statistica è la discilina Fisica che studia le rorietà della Materia analizzando la realtà fisica e riconoscendo i casi favorevoli e i casi ossibili er definire la robabilità degli eventi. Esemio Per analizzare le rorietà di un gas, si conta sul fatto che le molecole sono tutte identiche, che le cellette in cui dividiamo il volume sono tutte identiche (simmetria er traslazione), che le rorietà all equilibrio termodinamico non cambiano nel temo (simmetria er traslazione temorale). Come conseguenza, una molecola di gas deve avere la stessa robabilità di trovarsi in una qualunque celletta del volume a disosizione, e all equilibrio questa robabilità non cambia nel temo.

9 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta {,, N } variabile aleatoria discreta Evento: assume un valore n {,, N } Probabilità dell evento: n n n ( n ) distribuzione di robabilità n n n n Grafico a unti Grafico a barre La distribuzione di robabilità è la funzione che a ciascun valore ossibile di associa la robabilità che questo valore venga realmente osservato.

10 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta Normalizzazione Gli eventi ; ; sono sicuramente disgiunti. Ω {,, N } è l evento certo N n n n N () La normalizzazione di () imlica che l area tratteggiata sia ari a Grafico a barre Tutte le funzioni di distribuzione di robabilità devono essere normalizzate. Questa rorietà rende il nome di unitarietà.

11 Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta Le distribuzioni di robabilità sono caratterizzate dai momenti di ordine,, Momento di ordine : Valore atteso µ N n n n Momento di ordine : Valore quadratico atteso µ N n n n Attenzione: come regola generale,.a La robabilità classica e la robabilità quantistica

12 Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta Definizioni Scarto n-mo n n Scarto quadratico n-mo ( ) ( ) n n Varianza ( ) n n N n σ Relazione tra Varianza e Momenti σ Scarto quadratico medio σ.a La robabilità classica e la robabilità quantistica

13 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta () Semilarghezza a mezza altezza σ altezza mezza altezza σ µ N n n n Se il grafico () ha una forma a camana il valore atteso µ corrisonde alla osizione del centro del grafico lo scarto quadratico medio σ è circa ari alla semilarghezza a mezza altezza

14 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta La distribuzione cumulativa n {,,..., N } ( ) n n distribuzione di robabilità n ( n ) P distribuzione cumulativa di robabilità n i i () P( n ) è ari l area tratteggiata in rosso n P( n ) Area della distribuzione, dal minimo valore fino al valore n

15 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile discreta Mediana e Percentili Mediana Me Valore di tale che P ( Me ) 50% N-mo Percentile Valore di tale che P ( N mo Percentile) N % La Mediana è uguale al 50% Percentile

16 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile continua [a, b] variabile aleatoria continua Evento: assume un valore comreso nell intervallo [, + ] Probabilità dell evento: () () distribuzione (continua) di robabilità ( ) d d ( o ) La distribuzione di robabilità () è la robabilità che il valore della variabile aleatoria cada in un intervallo di dimensioni unitarie intorno a ( o ) a o o + b Attenzione: la funzione di distribuzione discreta è adimensionale; quella continua ha invece unità di misura inversa risetto a

17 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile continua Limiti fittizi L intervallo di definizione di una distribuzione continua uò essere esteso convenzionalmente a tutta la retta: 0 ( ) [ a, b ] [ a, b ] Normalizzazione Dalla condizione ( ' ) d' segue, assando al limite in cui si considera una artizione di [a, b] semre iù fitta: La condizione di normalizzazione imlica che l area racchiusa dal grafico di () sia ari a. Tutte le funzioni di distribuzione di robabilità devono essere normalizzate. Questa rorietà rende il nome di unitarietà.

18 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile continua Definizioni Momento di ordine : Valore atteso µ ( ) d Momento di ordine : Valore quadratico atteso µ ( ) d Varianza σ ( ) ( ) n d Relazione tra Varianza e Momenti σ Scarto quadratico medio σ

19 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile continua Semilarghezza a mezza altezza σ altezza mezza altezza ( ) µ d σ Se il grafico P() ha una forma a camana il valore atteso µ corrisonde alla osizione del centro del grafico lo scarto quadratico medio σ è circa ari alla larghezza a mezza altezza

20 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Le distribuzioni di robabilità di una variabile continua La distribuzione cumulativa P ( ) ( ' ) d' lim P ( ) 0 lim P ( ) P La distribuzione cumulativa è la funzione integrale della distribuzione di robabilità. Geometricamente, P(a) raresenta l area sottesa al grafico di nell intervallo ] -, a ]

21 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Un eserimento di Meccanica Classica MC Il rivelatore R uò essere traslato N S N S N D N D S D SD La doia fenditura: MC P robabilità che R faccia clic Consideriamo tre eserimenti di MC, cioè condotti con articelle macroscoiche di cui ossa essere seguita la traiettoria: configurazione S la articella assa a sinistra ; configurazione D la articella assa a destra ; configurazione SD la articella assa a sinistra oure a destra. In MC gli eventi S, D sono mutuamente esclusivi e le robabilità si sommano: (S D) (S) + (D)

22 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Un eserimento di Meccanica Quantistica N S 0 N D N S D SD La doia fenditura: MQ Rietiamo l eserimento con articelle microscoiche: er esemio, elettroni). Otterremo un risultato diverso: la maa corrisondente a SD non è la somma delle mae corrisondenti a S e a D! Si manifesta invece il fenomeno dell interferenza e aaiono frange chiare e scure alternate

23 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Quantistica La doia fenditura: MQ S D SD Le regole della Probabilità Quantistica sono diverse dalle regole della Probabilità Classica Amiezza di robabilità ψ ψ Distribuzione di robabilità Per ciascun evento, si introduce un numero comlesso ψ, detto amiezza di robabilità. La robabilità è ari al modulo quadro di ψ.

24 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Quantistica La doia fenditura: MQ S D SD Princiio di sovraosizione Le amiezze di robabilità si sommano Evento Evento Evento "S" "D" "S D" ψ ψ ψ s d sd ψ s + ψ d

25 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Quantistica La doia fenditura: MQ S D SD Il modulo quadro della somma è diverso dalla somma dei moduli quadri: le robabilità non si sommano. Evento "S D" ψ sd ψ s + ψ d Termine di interferenza * * ( S D) ψ + ψ ψ + ψ + ψ ψ + ψ ψ s d s d s d s d Tutti i fenomeni ondulatori (onde meccaniche, elettromagnetiche, di materia ) resentano il fenomeno dell interferenza.

26 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Quantistica Particelle macroscoiche Onde in una vasca A differenza delle articelle macroscoiche, er le onde non c è aut aut: le onde assano contemoraneamente attraverso le due fenditure La doia fenditura: MC e MQ a confronto MC (S D) (S) + (D) S e D sono mutuamente esclusivi MQ (S D) (S) + (D) S e D non sono mutuamente esclusivi

27 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica Probabilità Quantistica Quando assa attraverso le fenditure, un elettrone sembra un onda che invade tutto lo sazio. Ma nel rivelatore o c è un clic, o niente: non si uò mai rivelare mezzo elettrone. Negli eserimenti di interferenza, il comortamento delle articelle quantistiche è identico a quello delle onde; nei fenomeni di assorbimento e di emissione, il comortamento è identico a quello delle articelle classiche, erché questi sono fenomeni locali. Bohr chiamò questa evidenza serimentale Princiio di comlementarietà. A livello fondamentale, la articella quantistica non è né onda, né articella classica. Piuttosto si uò affermare che abbiamo due modelli fisici ( onda e articella classica ), ciascuno dei quali va bene in alcune situazioni e non in altre. Ha senso in Fisica chiedere qual è la natura fondamentale della articella quantistica? No: la Fisica descrive ciò che noi osserviamo, non la natura fondamentale delle cose!

28 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. Esemio di distribuzione di robabilità e distribuzione cumulativa N somma dei unteggi nel lancio di 3 dadi N P

29 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. Esemio di distribuzione di robabilità e distribuzione cumulativa N somma dei unteggi nel lancio di 3 dadi

30 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione uniforme ( ) 0 o [ a, a ] [ a, a ] a -a a Normalizzazione ( ' ) d' a a o d' a o o a Valore atteso a µ a a d 0 Valore quadratico atteso µ d a a 3 Varianza e Scarto quadratico medio a σ µ µ ; 3 σ a 3

31 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione uniforme: Probabilità cumulativa ( ) 0 o [ a, a ] [ a, a ] P ( ) a a d' + a a P -a a -a a

32 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. Valore atteso di una funzione Il valore atteso della funzione f() con distribuzione di robabilità () è dato da: f f ( ) ( ) d Esercizio Determinare il valore atteso dell area di un cerchio, se il raggio ha distribuzione di robabilità uniforme nell intervallo di valori [ a, b ]. Il valore atteso cercato, tenendo conto dei limiti fittizi comatibili con r, è dato da: A 0 π r ( r) dr La distribuzione di robabilità è uniforme nell intervallo [ a, b ] e, tenendo conto della normalizzazione, è data da: ( r) b a 0 r r [ a, b ] [ a, b ] Si ha, quindi: A b π b a a r dr 3 π r 3 b b a ( b a) 3 b a a π 3 3

33 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. Esercizio Il Princiio di indeterminazione di Heisenberg mette in relazione lo scarto quadratico medio delle distribuzioni della osizione e della quantità di moto P di una articella: P h ; h J s Suoniamo che un elettrone sia limitato a una regione di sazio di lunghezza a 0 nm, e che sia ragionevole assumere che la distribuzione di robabilità della osizione sia uniforme. Determinare P e stimare la minima energia cinetica che l elettrone uò avere. Alicando il risultato valido er la distribuzione uniforme, si trova: a 3 L energia cinetica è data da: D altronde P K h m v 3 P m ( P) P P P ( P) + P ( P) K ( P) m h m a J h a 0.3 mev Il risultato corretto differisce er un fattore moltilicativo ari a circa, dovuto all iotesi inesatta di distribuzione uniforme. h a 0 6 N s K P m

34 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione Gaussiana di robabilità ( ) A e ( µ ) σ ; A π σ La funzione () così definita ha le seguenti rorietà: () è normalizzata: ( ) d Il valore atteso di è ari a µ: ( ) d µ La varianza di è ari a σ : ( ) ( ) d σ n La semilarghezza a metà altezza vale ln σ.8 σ

35 La funzione cumulativa della sistribuzione Gaussiana ( ) ( ) ( ) σ µ + π σ σ µ erf A ; e A P P µ.a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi.

36 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione di robabilità dell oscillatore quantistico Un oscillatore armonico classico è caratterizzato dalla massa m e dalla costante elastica della molla k. D altronde, non ci sono molle in un oscillatore quantistico, sicché conviene descriverlo in termini della massa e della ulsazione ω o. La ulsazione dell oscillatore è data da: ω o k m k m ω o L energia elastica si scrive erciò: U m ω o ( ) k U ( ) L oscillatore quantistico non uò avere qualunque valore di energia meccanica. Sono ossibili solo valori discreti E n : En h ω o n + n 0,,... Comare è la costante di Planck: h J s Esemio Nella molecola H Cl, il nucleo dell Idrogeno si muove come un oscillatore armonico di massa m kg e ulsazione ω o s -. Le energie dei rimi livelli sono: E o 0.7 ev E 0.5 ev

37 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione di robabilità dell oscillatore quantistico Lo stato di minima energia si dice stato fondamentale. Nello stato fondamentale, la distribuzione di robabilità dell oscillatore armonico è una gaussiana: ( ) π σ e ( µ ) σ H r o caratterizzata dalla varianza σ ari a: σ h m ω o Cl Esemio Nella molecola H Cl, la distanza media di legame (la lunghezza della molla a rioso) è r o 0.3 nm. La semilarghezza a mezza altezza della distribuzione di robabilità è stimata dallo scarto quadratico medio r σ h r σ m r m 6% m ω r o o Fenomenologicamente, r uò essere assimilato all amiezza delle oscillazioni di un oscillatore classico. In questo modo di descrivere le cose, diremmo che l amiezza di oscillazione dello ione Idrogeno non è del tutto trascurabile nemmeno al minimo ossibile di energia.

38 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione di robabilità di Poisson La distribuzione di robabilità di Poisson riguarda una variabile aleatoria discreta che uò assumere qualsiasi valore intero non-negativo. n e µ n µ n! La distribuzione n così definita ha le seguenti rorietà: n è normalizzata: n 0 n µ Il valore atteso di n è ari a µ: 0 n n n µ La varianza di n è ari a µ: n 0 ( n µ ) n µ Seguono la statistica di Poisson i conteggi degli eventi che hanno uguale robabilità di avvenire er unità di temo. Esemi: Piove in modo uniforme: n Numero di gocce cadute er metro quadro nel temo t Probabilità di decadimento uniforme: n Numero di nuclei radioattivi decaduti nel temo t Probabilità di emissione uniforme: n Numero di fotoni emessi nel temo t

39 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione di robabilità del numero di nuclei radioattivi decaduti al temo t Un oggetto di radioattivo contiene N o nuclei. Nel temo t, il numero N(t) di nuclei interi diminuisce erché alcuni nuclei decadono. La variazione (negativa) N segue la legge: N N( t) τ t La costante t rende il nome di temo di vita media. Esercizio Determinare la funzione N(t) N No e L equazione che descrive il decadimento uò essere riscritta come equazione differenziale: N( t) dn N N t τ dt τ La soluzione dell equazione è: t N ( t) N τ o e 0 τ t In figura è mostrato il grafico N(t), con: N o 00 ; τ s

40 .a La robabilità classica e la robabilità quantistica. Esercizi e comlementi. La distribuzione di robabilità del numero di nuclei radioattivi decaduti al temo t Un oggetto di radioattivo contiene N o nuclei. Nel temo t, il numero N(t) di nuclei interi diminuisce erché alcuni nuclei decadono. La variazione (negativa) N segue la legge: N N( t) τ t La costante t rende il nome di temo di vita media. Esercizio Determinare la distribuzione statistica del numero di ioni decaduti M(t) N o - N(t) P τ τ 3τ 4τ Il numero atteso di ioni decaduti è dato da: M ( t) N τ o e t M(t) è il uguale al valore atteso della distribuzione di Poisson calcolata all istante t: M ( t) e µ M ( t) µ ( t) M! M In figura è mostrata l evoluzione nel temo della funzione di distribuzione di robabilità.