Cinematica Relativistica

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1 Caitolo 1 Cinematica Relativistica Avvertenza: negli esercizi seguenti si e usata talvolta la convenzione = c = 1. Per esemio, il momento di una articella viene esresso indifferentemente in GeV o GeV/c. 1.1 In fisica delle articelle sesso si usano delle unità di misura chiamate naturali o di Planck: Max Planck introdusse delle unità di massa, lunghezza e temo che ossono essere costruite usando le costanti fondamentali della natura, c, G. Calcolate queste costanti. Scriviamo il valore di,c ed G: c = ms 1 = Js G = m 3 kg 1 s 2 Usando uramente argomenti dimensionali si ottiene massa = ( c G )1/ kg lunghezza = ( G c 3 ) 1/ m temo = ( G c 5 ) 1/ s. Si noti che queste costanti, che sembrano trovare la loro ragione d essere in argomenti di tio cabalistico, hanno in realtà un significato rofondo nella scala degli eventi fisici. 17

2 1.2 Qual è l energia cinetica (in TeV) di una molletta er la carta (1 g) che si muove ad una velocità di 1 cm/s? L energia cinetica della molletta è data da: E kin = 1 2 mv2 = = J. Ricordando che 1 ev = J si ottiene: E = = =0.3 T ev 1.3 Usando il rinciio di indeterminazione stima quale sia la vita media della ρ (in secondi) La larghezza della ρ è Γ = 149 MeV er cui: E t 2 t = MeV s 298 MeV = s. 1.4 Sul PDG viene sesso riortata la vita media in unità di distanza, cτ o = d. Considerate il caso dei muoni: cτ = 658 m. A quale momento questa relazione è vera? La distanza d ercorsa da una articella con velocità β e vita media τ o è data da: d = βcγτ o. Ricordando che βγm = βγ = /m si ottiene: d = βγcτ o = m cτ o. Da ciò si vede che d = cτ o è valida er = m: un muone con = 105 MeV/c ercorre, in media, d = 658 m. 18

3 1.5 Nei calcoli di fisica delle articelle si ignora l interazione gravitazionale. Calcolate il raorto tra la forza gravitazionale ed elettrica tra due rotoni osti ad una distanza di 2 fm. La forza gravitazionale ed elettrica hanno le seguenti esressioni: Il loro raorto è quindi: F G = G m2 r 2 F E = 1 4πɛ o e 2 r 2. F G = Gm2 F E e 2 4πɛ o = Gm2 c 4πɛ o c e 2 = Gm2 c 1 α = = E quindi corretto non includere gli effetti gravitazionali. 1.6 Calcolare l imulso di una sonda necessario a risolvere la struttura di un nucleo d oro, di un nucleone e di un quark. Usate i seguenti valori: r nucleo = r o A 1/3 fm r o =1.2fm r quark < 10 4 fm La relazione di De Broglie, λ = h/, associa ad una articella di momento una certa lunghezza d onda λ. Questa lunghezza d onda è la distanza minima che la articella uò eslorare. Si ottiene quindi che, er un oggetto di raggio R, la sonda deve avere energia minima: c =2π c 197 MeV fm =2π. R R Si ottiene quindi: Nucleo d oro: Il raggio del nucleo d oro è r Au = r o A 1/3 Au = =6.98 fm, da cui 197 MeV fm c =2π = 177 MeV fm Nucleone: Il raggio del nucleone è circa di un fermi, er cui 197 MeV fm c =2π = 1.06 GeV. 1.2 fm 19

4 Quark: Non si conosce il raggio di un quark, si ha un limite sueriore di r q < 10 4 fm. 197 MeV fm c =2π 10 4 > 12.3 T ev. fm 1.7 Qual è la vita media di un π + con momento ari a 100 GeV/c nel SR LAB? In un dato sistema di riferimento, la vita media di una articella si dilata in funzione della sua energia in quel sistema di riferimento. La relazione che lega la vita media roria, τ o a quella che ha in un qualunque sistema di riferimento è: τ = γ τ o, dove γ è data dal raorto tra l energia nel sistema di riferimento in questione e la massa roria, γ = E/m. Nel nostro caso abbiamo: da cui τ = τ = E π m π τ o, 100 GeV GeV sec = sec 1.8 A che velocità l energia cinetica eguaglia l energia di rioso er una articella? Che velocità deve avere una alla di cannone da 1 kg er aver la stessa energia cinetica di un rotone con γ = Ricordando che l energia di una articella è la somma della sua energia cinetica e di massa, E = T + m o, e che l energia totale è esrimibile come E = γm o, si ha: T = E m o = γm o m o. Se si vuole saere a che energia questa esressione è uguale all energia a rioso si ottiene: γm o m o = m o γm o =2m o γ =2. Risolvendo er la velocità β: 1 1 β 2 =2 β =

5 Un rotone con γ = ha un energia ari a: γ = E m E = mγ 1020 ev. Eguagliando questo valore all energia cinetica di una alla in movimento: 1 2 mv2 = J ev = 16J v = 0.5 kg 5.6m/s. 1.9 Il temo di dimezzamento T del carbonio C6 14 è di 5700 anni. La concentrazione di C 14 nell atmosfera, rimasta inalterata er diversi secoli, è C14 C = Animali e iante 12 assumono comosti contenenti l isotoo C 14 ed C 12 in roorzione fissa fino alla morte: da questo momento la quantità di C 14 comincia a diminuire. A) Qualè il raorto C14 doo anni? C 12 B) Un ezzo di legno ha un emissione di C 14 ari al 61% di quella di un ezzo di legno vivo di uguale massa e qualità. Datate il ezzo di legno. La legge di decadimento del C 14 6 è data da: N 14 (t) =N 14 (t o )e t/τ, mentre assumiamo costante il numero di atomi di C 12, N 12 (t) =N 12 (t o ). A) Il raorto tra il numero di atomi di C 14 e C 12 al variare del temo è: N 12 (t) N 14 (t) = N 12(t o ) 1 N 14 (t o ) e t/τ = 1012 e t/τ. Il temo di dimezzamento è legato alla vita media dalla relazione: 1 2 = e T/τ τ = T/ln2 =

6 er cui doo un temo t = anni si ottiene un raorto tra i due isotoi ari a: N 12 (11400) N 14 (11400) = 1012 e 11400/8223 = B) Se l emissione di C 14 è ari al 61% di quella di un ezzo di legno vivo vuol dire che il numero di atomi di C 14 è ari al 61% del numero originario; si uò quindi scrivere la seguente relazione : N 14 (t) N 14 (t o ) = N 14(t o )e t/τ N 14 (t o ) =0.61 t = τ ln(0.61) = 4064 anni. Per calcolare l errore su questa misura consideriamo che l errore sia di natura uramente statistica e legato unicamente ad il numero di atomi di C 14 resenti nel ezzo di legno al momento della misura, N 14 (t). Questo numero è dato da: N 14 (t) = N 12 σ(n 14 (t)) = N Si roduce un fascio di mesoni π ositivi al secondo, di imulso 2 GeV/c. Qual è l intensità (in Amere) del fascio doo aver viaggiato er 120 metri nel vuoto? L intensità iniziale di corrente, definita come I π = Q t,è data da: I π = en π = C s 1 =0.16 µa, dove si è usato il fatto che il numero di ioni, N π,è definito come il numero di articelle in un secondo. La riduzione del numero di ioni segue la legge esonenziale di decadimento: N = N o e t/τ = N o e ct γ βcτo. Il valore di β è β = /E 1 e dato che π =2GeV si ha γ = E/m = Dal Particle Data Grou (PDG) booklet si ottiene cτ o = 7.8 m ed d = 120 m. Da ciò: e quindi N = e N o 120 m m =0.33 I(120 m) = 0.33 I(0) = 0.05 µa. 22

7 1.11 Suoniamo che un fiotto di µ + di momento 200 GeV/c sia iniettato in un anello di accumulazione di raggio R = 100 m. Quando il µ decade, i suoi rodotti di decadimento lasciano la macchina. Calcolare la corrente media che circola nella macchina nel rimo centesimo di secondo. Qual è il numero di rivoluzioni comiute dai µ rima che la loro intensità si sia ridotta di un fattore 10 6? Cominciamo con il calcolare la vita media dei muoni di energia 200 GeV: τ = γτ o = E m τ o = 200/ = sec. La corrente, definita come la quantità di carica che attraversa una data suerficie nell unità di temo, si deve quindi calcolare sul numero medio di µ nel rimo centesimo di secondo. Il numero di µ decresce nel temo secondo la relazione N(t) =N o e t/τ. Il temo medio è: tn(t)dt <t>= 0.01 = sec 0 N(t)dt da cui < N >= N(0.0032) = 0.47 N o. Il numero di rivoluzioni fatte dai µ in un centesimo di secondo è: n riv = c t 2πR = ms s = m dove si è assunto che la velocità dei µ sia c. Possiamo adesso calcolare la corrente: I µ = Q t = n riv < N > e t = C 0.01 s = A =0.36 ma dove e è la carica elettrica unitaria. Per calcolare quante rivoluzioni i µ riescono a fare rima che la loro intensità sia ridotta di un fattore 10 6 calcoliamo il temo necessario a questa riduzione: dove il temo iniziale t o viene messo a zero. N(t) N o = 10 6 = e (t to)/τ, ln( N(t) N o )=ln(10 6 )= (t t o )/τ t = τ =0.058 s. Usando questo intervallo di temo si ottengono il numero di rivoluzioni: n = ct 2πR = ms s = m 23

8 1.12 La articella J/Ψ uò essere rodotta sia in urti rotonerotone che in urti elettrone - ositrone. A) Suonendo un fascio di rotoni incidente su di un bersaglio fisso di idrogeno, calcolate l energia del fascio di rotoni nella reazione 1 2 J/Ψ. B) Suonendo due fasci di energia identica, calcolate l energia del fascio nella reazione e + e J/Ψ. Per risolvere questo esercizio si usa la rorietà degli invarianti relativistici di avere lo stesso valore numerico in sistemi di riferimento diversi. A) In questo caso l urto avviene tra due rotoni con imulsi 1 e 2. Se calcoliamo s nel sistema del laboratorio otteniamo: s =( ) 2 = = m 2 + m2 +2E 1 E =2m 2 +2E 1 m con E 2 = m 2 ed 2 = 0. Doo l urto è iù conveniente calcolare s nel sistema del centro di massa, dove le articelle rodotte sono a rioso: s =(m + m + m J/Ψ ) 2 =4m 2 + m 2 J/Ψ +4m m J/Ψ. Eguagliando adesso i due valori di s, Fig 1.1, si ottiene: 4m 2 + m 2 J/Ψ +4m m J/Ψ =2m 2 +2E 1 m E 1 = 2m2 + m2 J/Ψ +4m m J/Ψ 2m = GeV B) In questo caso il calcolo uò essere facilmente svolto nel sistema del laboratorio. I due elettroni di momento 1 = 2 si urtano er rodurre una articella J/Ψ a rioso: ( ) 2 = m 2 J/Ψ 2m2 e +2E2 e = m 2 J/Ψ, 24

9 Prima dell urto doo l urto J/! Sistema di riferimento del laboratorio Sistema di riferimento del centro di massa J/! Figura 1.1: La risoluzione del roblema è facilitata dall eguagliare s calcolata in due sistemi di riferimento diversi. da cui, considerando nulla la massa dell elettrone, si ha: E 2 e = m2 J/Ψ 4 E e = m J/Ψ 2 = 1.5 GeV Il Bevatrone di Berkeley è stato rogettato (1955) in modo da raggiungere un energia che ermetta la roduzione di antirotoni bombardando rotoni fermi con rotoni di alta energia. La reazione uò essere scritta nel modo seguente:. A) Qual è l energia di soglia (energia minima del rotone incidente) er questa reazione? B) In realtà l acceleratore fu esressamente disegnato er accelerare i rotoni soltanto fino a = 5.3 GeV/c. Considerando nei vostri calcoli il momento di Fermi del rotone colito ( F ) verificare che 5.3 GeV/c sono sufficienti er rodurre antirotoni ( F m /4. ) A) L energia di soglia er la roduzione di n articelle è definita come l energia minima er la quale la reazione avviene, quando quindi le articelle sono rodotte a rioso (nel SR del centro 25

10 di massa). Eguagliando, come nell esercizio 1.12, s er la reazione nel SR del laboratorio e del centro di massa si ha (usando numeri er le articelle iniziali e lettere er quelle finali): da cui ( ) 2 =( a + b + c + d ) 2 = (4 i ) 2, m 2 + m 2 +2E min 1 m 2 = 16m 2 E min 1 = 14m2 2m =7m =6.56 GeV 2 che è quindi sueriore all energia del Bevatrone. B) Vediamo adesso come mai anche ad un energia minore del fascio incidente la reazione uò avvenire lo stesso. Il bersaglio è comosto da nuclei nei quali i rotoni non sono a rioso ma hanno un momento intrinseco, il momento di Fermi. Se facciamo l assunzione cinematicamente iù favorevole che il momento del rotone incidente e quello del rotone bersaglio siano allineati uno contro l altro, si ha: ( ) 2 =2m 2 +2E 1E cosθ = (4 i ) 2 E 1 E =7m 2 Le variabili hanno i seguenti valori: E 1 = =5.38 GeV, 1 =5.3 GeV/c ed E 2 = (m /4) =0.97 GeV, 2 =0.235 GeV/c, da cui: 5.38 GeV 0.97 GeV +5.3 GeV GeV =6.46 GeV 2 > 7m 2 2 =6.16 GeV 1.14 Calcolare s er due rotoni di energia ari a 400 GeV che collidono ad un angolo di 90 gradi nel sistema del laboratorio. A che velocità si muove il centro di massa? Lo schema del roblema è mostrato in Fig Il quadrato della massa invariante del sistema, s, è dato da: s =( ) 2 = m m E 1 E cosθ =2m 2 +2E2 con θ = π/2, da cui s = GeV. La velocità del centro di massa, β, è definita come β = CM E CM. 26

11 L energia del centro di massa, E CM,è ottenuta sommando le energie delle articelle: E CM = E 1 + E 2 = 800 GeV mentre CM è ottenuta sommando i momenti. Protoni da 400 GeV hanno un momento ari a = E 2 m 2 = = GeV da cui il momento totale del CM e CM = con comonenti CM = ( , , 0). Il valore di β è quindi: β = = La variabile γ del centro di massa è invece data da: γ = E CM m CM = E CM s =1.41 (0, 400, 0) (400, 0, 0) CM Figura 1.2: Diagramma del moto del centro di massa nel caso di due articelle incidenti di egual energia Due articelle identiche, ognuna con massa m ed energia cinetica T collidono frontalmente. Qual è la loro energia cinetica relativa (cioè l energia cinetica di una articella nel sistema di rioso dell altra)? m, T m, T m, T m, 0 Figura 1.3: Energia cinetica nel sistema del centro di massa e del laboratorio 27