Modellistica dei Manipolatori Industriali 01BTT Esame del 18/02/2002 Soluzione

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1 Modellistica dei Manipolatori Industriali BTT Esame del 8/2/22 Soluzione Sistemi di riferimento e cinematica di posizione In Figura a) il manipolatore è stato ridisegnato per mettere in evidenza variabili q i positive. La Figura riporta le etichette degli assi dei riferimenti e le grandezze q i con il loro verso positivo. La cinematica diretta risulta facilmente calcolabile osservando il disegno: l angolo di assetto α si ricava considerando la seguente identità: α = π + β ma a sua volta da cui risulta β = q + q 2 α = π + q + q 2 x risulta somma delle proiezioni dei bracci sull orizzontale; pertanto: x = l l 2 c 2 l 3 c 23 z risulta somma delle proiezioni dei bracci sulla verticale; pertanto z = q l 2 s 2 l 3 c 23 Riassumendo x = l l 2 c 2 l 3 c 23 () z = q l 2 s 2 l 3 c 23 (2) α = q + q 2 + π (3). Calcolo di T 2 3 Come al solito, per calcolare T 2 3 decomponiamo il problema nel calcolo della rotazione R 2 3 e della traslazione d 2 3. Il risultato dipende dalla scelta del versore non indicato sul riferimento R 3 : in particolare scegliendo come versore j 3, vediamo che la rotazione è una rotazione elementare intorno al versore k 2 di un angolo q 3, ossia c 3 s 3 R 2 3 = s 3 c 3

2 mentre scegliendo come versore k 3, otteniamo c 3 s 3 R 2 3 = s 3 c 3 mentre d 2 3 risulta in entrambi i casi pari a: 2 Cinematica di velocità 2. Calcolo dello Jacobiano l 3 c 3 d 2 3 = l 3 s 3 Lo Jacobiano J del manipolatore risulta l 2 s 2 + l 3 s 23 l 3 s 23 J = l 2 c 2 l 3 c 23 l 3 c 23 R Calcolo del determinante e condizioni di singolarità Sviluppando il determinante secondo la prima colonna, risulta: det(j) = (l 2 s 2 + l 3 s 23 l 3 s 23 ) = l 2 s 2 Essendo l 2, la configurazione singolare si ha quando s 2 =, ovvero per q 2 = oppure q 2 = ±π. 2.3 Calcolo delle coordinate relative alla configurazione A Osservando la configurazione schematizzata in Figura b), le coordinate giunto q A relative a tale configurazione sono facilmente ricavabili, come q A = q A2 = π/4 = 45 q A3 = 7π/4 = 35 = 45 mentre le coordinate cartesiane p A risultano essere: p A = x A = 3 p A2 = z A = p A3 = α = ±π = ±8 2

3 2.4 Calcolo della velocità istantanea della punta in configurazione A La velocità istantanea della punta, per q = ( ) T, si ottiene applicando la formula ṗ = J q, ovvero ẋ A ṗ A = J A q A = ż A = 2 = (4) α A Allo stesso risultato si può giungere osservando che la velocità della punta è la somma di tre contributi di velocità lineare v dovuto alla traslazione del giunto v 2 dovuto alla rotazione del giunto 2 v 3 dovuto alla rotazione del giunto 3 In particolare, ricordando che stiamo rappresentando i vettori nel riferimento R, che ha il versore k al posto del consueto j : v = q k = da cui 2 v 2 = ω 2 r 2 = q 2 k r 2 = r 2 = = 2 v 3 = ω 3 r 3 = q 3 k 2 r 3 = r 3 = = R v = v + v 2 + v 3 = La prima e la terza componente di v sono uguali alle prime due componenti di (4). La seconda componente di v è nulla in quanto il moto avviene sul piano (i k ), mentre la terza componente di (4) rappresenta modulo e segno della velocità angolare intorno a j. R R R 3 Statica Trattandosi di ricavare le coppie equivalenti ai giunti, la formula da utilizzare è τ = J T A F. Tuttavia occorre ricordare che il riferimento R rispetto a cui è descritta la forza F non è il solito riferimento xy sul piano del disegno, per cui si può procedere in tre modi. 3

4 3. Modo A Si fissa sul disegno un nuovo riferimento R u, legato a R dalla trasformazione R u = quindi si rappresenta la forza F in R u, come F u = ( ) T ( ) T, f u N u = 5 dove f u = (R u) T f = = e N u = (R u) T N = 5 = 5 quindi, dopo aver compattato F u trascurando la terza, quarta e quinta componente, si procede calcolando τ = J T F u 2 = (5) Modo B Si calcolano i contributi delle tre componenti di F, che chiameremo F = ( f x f z ) T, N y sui tre giunti: giunto giunto 2 giunto 3 τ (f x ) = τ (f z ) = () τ (N y ) = τ 2 (f x ) = τ 2 (f z ) = 2 (7) τ 2 (N y ) = 5 τ 3 (f x ) = τ 3 (f z ) = (8) τ 3 (N y ) = 5 4

5 quindi, sommando: τ = τ 2 = (9) τ 3 = 3.3 Modo C Si scrive lo Jacobiano completo ( ), ricordando che la variabile angolare che abbiamo chiamato α è la rotazione antioraria per chi guarda il disegno; poiché questo significa che la rotazione avviene intorno all asse j, dobbiamo cambiare segno all angolo, ovvero agli elementi dello Jacobiano. In definitiva avremo J A = 2 e quindi J T A F sarà 2 = 5 4 Elasticità Poiché si chiede di calcolare i valori assoluti degli spostamenti virtuali q i non importa se si usano le coppie equilibranti o quelle equivalenti; noi useremo le τ i equivalenti. Perciò: e da cui q elastiche = K q τ equivalenti =.5 9 = p elastiche = J A q elastiche = = q elastiche = 3 9 p elastiche = 9 3 5

6 5 Dinamica 5. Equazione di Newton Ricordiamo l equazione di Newton f 23 + f 43 + m(γ a c ) = dove f 43 = f =, e calcoliamo il termine a c nella configurazione di Figura b). Poichè la rotazione a cui è soggetta la punta avviene a velocità costante ω = ( 2 ) R intorno all asse del giunto 2, l unica accelerazione a cui è sottoposta la punta risulta essere l accelerazione centripeta, diretta da P all origine di R 2, nel punto B. A conferma di questo fatto, consideriamo la formula generale che fornisce l accelerazione di un punto in movimento in un sistema di riferimento in movimento rispetto ad un riferimento fisso: ω r + ω (ω r) + 2ω (Rẋ) + Rẍ + d ω r = perché ω =. ω (ω r) = perché r = Rx, ma x è il centro di massa che coincide con l origine del riferimento mobile, quindi x =. 2ω (Rẋ) =, perché ẋ =, in quanto il centro di massa non ha velocità relativa al riferimento mobile (è fisso con questo). Rẍ =, in quanto il centro di massa non ha accelerazione relativa al riferimento mobile. d è l unico termine e rappresenta l accelerazione centripeta. Calcoliamo d, prima ricavando d, quindi ḋ e alla fine d. d coincide con il segmento orientato BP e quindi si rappresenta come 2 d =. R Successivamente calcoliamo ḋ come ḋ = ω d = = 2 4 che fornisce la velocità (tangenziale) nel punto P. Poi calcoliamo d come d = ω ḋ = = R R

7 la cui norma vale d = 4 5, ovvero ω 2 r, ed è diretto da P a B. Alla fine risulta: f 23 = f 43 mγ + ma c.8 = = Equazione di Eulero Consideriamo l equazione N 23 + N 43 + r c,2 f 23 + r c,3 f Γ ω ω Γ ω = dove N 43 = N = 5, e calcoliamo i vari termini nella configurazione di Figura. In primo luogo ricaviamo r c,2 e r c,3, ricordando che vanno rappresentati nel riferimento R, come tutti gli altri vettori. r c,2 = r c,3 = essendo l origine di R 3 coincidente con la massa puntiforme, che è anche il centro di massa nel punto P. Il tensore d inerzia Γ vale: Γ x Γ x Γ = Γ y = ml 2 = Γ z Γ z in quanto l = poiché il centro di massa coincide con la massa puntiforme. Eseguiamo ora i prodotti.8 r c,2 f 23 = = r c,3 f =, 7 R,

8 quindi, Γ x Γ ω = 2 =, Γ y ω Γ ω = essendo i fattori del prodotto esterno paralleli, e infine Γ ω = Sommiamo ora le varie componenti per ottenere finalmente: N 23 = = 7.4 8

9 Figure : Schema del manipolatore planare con i sistemi di riferimento e le variabili q i. 9