Esercizio geometria delle aree

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1 Salvatore Trotta Università degli Studi di Napoli - Federico II 15 aprile 2014

2 Consideriamo la seguente figura asimmetrica:

3 Suddivisa la figura in tre rettangoli e fissato un sistema di riferimento arbitrario (O, x, y), calcoliamo le coordinate del baricentro di ciascun rettangolo: x G,I = 2, 5 cm; x G,II = 0, 5 cm; x G,III = 5 cm; y G,I = 1 cm; y G,II = 10 cm; y G,III = 19 cm;

4 Calcolo aree dei singoli rettangoli: A I = 5 2 = 10 cm 2 ; A II = 16 1 = 16 cm 2 ; A III = 10 2 = 20 cm 2 Calcolo area totale della figura: A tot = A I + A II + A III = ( )cm = 46cm 2

5 Calcolo momenti statici dei singoli rettangoli, rispetto al sistema di riferimento (O, x, y): S0,x I = A I x G,I = = 25 cm 3 S0,x II = A II x G,II = 16 0, 5 = 8 cm 3 S0,x III = A III x G,III = 20 5 = 100 cm 3 S0,y I = A I y G,I = 10 1 = 10 cm 3 S0,y II = A II y G,II = = 160 cm 3 S0,y III = A III y G,III = = 380 cm 3

6 Calcolo componenti del momento statico totale: S 0,x = S0,x I + SII 0,x + SIII 0,x = ( ) cm 3 = 133 cm 3 S 0,y = S0,y I + SII 0,y + SIII 0,y = ( ) cm 3 = 550 cm 3 Calcolo coordinate baricento della figura: x G = S 0,x 133 cm3 = A tot 46 cm 2 = 2, 8913 cm y G = S 0,y 550 cm3 = A tot 46 cm 2 = 11, 9565 cm Rispetto ad una coppia di assi passante per G II il baricentro G dell intera sezione è spostato verso destra in quanto entrambe le aree I e III calamitano il baricentro in tale verso. Per lo stesso motivo il baricentro G dell intera sezione è spostato verso l alto in quanto l azione di calamita dell area III è maggiore di quella esercitata dall area I.

7 Calcolo distanza tra G e G I, G II, G III : dx I = x G,I x G = 2, 5 2, 8913 = 0, 3913 cm dx II = x G,II x G = 0, 5 2, 8913 = 2, 3913 cm dx III = x G,III x G = 5 2, 8913 = 2, 1087 cm dy I = y G,I y G = 1 11, 9565 = 10, 9565 cm dy II = y G,II y G = 10 11, 9565 = 1, 9565 cm dy III = y G,III y G = 19 11, 9565 = 7, 0435 cm

8 Calcoliamo il momento d inerzia del rettangolo I rispetto ai propri assi di simmetria: Ix I = Iy I = = 3, 3333 cm4 = 20, 8333 cm4 Calcolo del momemto centrifugo: I I x,y = 0 Applicando le formule di Huygens, calcoliamo il trasporto nel baricentro della figura, dei momenti d inerzia del rettangolo I : (I G ) I x = I I x + A I (d I y ) 2 = 3, ( 10, 9565) 2 = 1203, 7822 cm 4 (I G ) I y = I I y + A I (d I x ) 2 = 20, ( 0, 3913) 2 = 22, 3644 cm 4 (I G ) I x,y = (I G) I y,x = I I x,y +A I d I x di y = 10 ( 0, 3913) ( 10, 9565) = 42, 8727 cm 4

9 Calcoliamo il momento d inerzia del rettangolo II rispetto ai propri assi di simmetria: Ix II 12 = 341, 3333 cm 4 Iy II = = 1, 3333 cm 4 Calcolo del momemto centrifugo: I II x,y = 0 Trasporto nel baricentro della figura, del momento d inerzia e del momento centrifugo del rettangolo II : (I G ) II x = I x II + A (d ) II II 2 y = 341, ( 1, 9565) 2 = 402, 5795 cm 4 (I G ) II y = I y II + A (d ) II II 2 x = 1, ( 2, 3913) 2 = 92, 8264 cm 4 (I G ) II x,y = (I G) II y,x = I x,y II + A II dx II dii y = 16 ( 2, 3913) ( 1, 9565) = 74, 8572 cm 4

10 Calcoliamo il momento d inerzia del rettangolo III rispetto ai propri assi di simmetria: I III x = = 6, 6667 cm 4 I III y = = 166, 6667 cm 4 Calcolo del momemto centrifugo: I III x,y = 0 Trasporto nel baricentro della figura, del momento d inerzia e del momento centrifugo del rettangolo III : (I G ) III x = Ix III (d ) + A III III 2 y = 6, (7, 0435) 2 = 998, 8845 cm 4 (I G ) III y = Iy III (d ) + A III III 2 x = 166, (2, 1087) 2 = 255, 5990 cm 4 (I G ) III x,y = (I G) III y,x = I x,y III + A III dx III dy III = 20 2, , 0435 = 297, 0526 cm 4

11 Calcolo momenti d inerzia della figura, rispetto agli assi baricentrici x G e y G : (I G ) x = (I G ) I x + (I G) II x + (I G) III y = 1203, , , 8845 = 2605, 2463 cm 4 (I G ) y = (I G ) I y + (I G) II y + (I G) III y = 22, , , 5990 = 370, 7898 cm 4 Calcolo momento d inerzia centrifugo, rispetto agli assi baricentrici x G e y G : (I G ) x,y = (I G ) y,x = (I G ) I x,y + (I G) II x,y + (I G) III x,y = (I G ) I x,y + (I G) II x,y + (I G) III x,y = = 42, , , 0526 = = 414, 7825 cm 4

12 Vediamo perchè (I G ) x (I G ) y : il momento d inerzia rispetto una direzione, tiene conto di come è distribuita l area del corpo rispetto alla direzione considerata e dà una misura dell inerzia del corpo rispetto alle variazioni della sua forma. Ricordando che il momento d inerzia è il prodotto di un area per il quadrato della distanza, dall analisi della figura, si può vedere che l area della sezione non è distribuita simmetricamente rispetto agli assi baricentrici, ma le aree con sviluppo prevalente lungo x, rispetto a G si trovano ad una distanza maggiore, della distanza tra G e l area che si sviluppa lungo y. Le aree influiscono linearmente sul momento d inerzia, ma comunque nel caso in esame, le aree con sviluppo prevalente lungo x, sono maggiori dell area che si sviluppa lungo y: A I = 10 cm 2, A III = 20 cm 2, mentre A II = 16 cm 2.

13 Sia Ω un dominio regolare del piano; detto r il raggio vettore che individua la posizione di un generico punto di Ω in un sistema di riferimento cartesiano con origine in O, si definisce Tensore d Inerzia di Ω rispetto all origine O, la quantità: Ω Ω J O = Ω r rdω = x 2 dω x ydω Ω Ω x ydω y 2 dω. La quantità (J O ) y = Ω y 2 dω, rappresenta il momento d inerzia lungo l asse y: con tale dicitura, si pone l attenzione sul fatto che l area è distribuita lungo l asse y e cioè, quanta area c è lungo la direzione y. Più comunemente, la quantità Ω y 2 dω è indicata con (I O ) x ed è chiamata momento d inerzia rispetto all asse x: in tal modo si pone l attenzione sulla distanza che intercorre tra l area in questione e la direzione x.

14 In conclusione sussistono le seguenti uguaglianze: (J O ) y = (I O ) x (J O ) x = (I O ) y La quantità (J O ) x,y = (J O ) y,x = (I O ) x,y = (J O ) y,x = = x ydω Ω è detta momento centrifugo rispetto agli assi x e y.

15 Il tensore d inerzia del domino Ω rispetto al baricentro G sarà: J G = Ω = r G r G dω Ω x 2 G dω x G y G dω Ω Ω [ ] (JG ) = x (J G ) x,y (J G ) x,y (J G ) y [ ] (IG ) = y (I G ) x,y (I G ) x,y (I G ) x Ω x G y G dω y 2 G dω dove r G è il vettore posizione di un punto di Ω, nel sistema di riferimento cartesiano con origine nel baricentro G del dominio.

16 Nel nostro caso, il tensore d inerzia rispetto al baricentro G è: [ ] 370, , 7826 J G = cm 414, , ; Per calcolare le tensioni principali, ricordiamo che J G u = λ u (J G λi) u = 0 det J G [ λi = 0 ] 1 0 dove I = è la matrice identità. 0 1 Calcoliamo gli autovalori λ 1 e λ 2 λ 1,2 = trj G (trj G ) 2 4 detj G 2 ; trj G = 2976, 0362; detj G = , 319;

17 sostituendo i valori, si ha: λ 1,2 = 2976,0362 (2976,0362) ,319 = 2 = { 296, , 7578 λ 1 = J 1 = I 2 = 296, 2684 J 1 =momento d inerzia con distanze prese secondo la direzione 1 I 2 = momento d inerzia rispetto all asse 2 λ 2 = J 2 = I 1 = 2679, 7578 J 2 =momento d inerzia con distanze prese secondo la direzione 2 I 1 = momento d inerzia rispetto all asse 1

18 Calcoliamo gli autovettori u 1 e u 2 : (J G λ 1 I) u 1 = 0 [ ] [ ] [ ] 74, , 7826 u1,x 0 = 414, , 9679 u 1,y 0 Consideriamo la sola 1 a equazione in quanto le due equazioni sono linearmente dipendenti (poiché det ÎG λ 1 I = 0): 74, 5114 u 1,x + 414, 7826 u 1,y = 0; u 1,y = 74, ,7826 u 1,x = 0, u 1,x da cui: u 1,x u 1,y , allora [ u 1 = 1 0, ]

19 [ x ricordiamo che se r = y dove R π 2 = [ ] ] [ y, r = R π r = 2 x è il tensore che effettua una rotazione rigida di π 2 percui: [ ] 1 u 1 = e 0, [ ] 0, u 2 = u1 = R π u 1 = 2 1 ] in senso antiorario;

20 Calcoliamo il raggio principale d inerzia da riportare sull asse 1: ρ 1 = λ1 A = 296, = 2, cm Calcoliamo il raggio principale d inerzia da riportare sull asse 2: ρ 2 = λ2 A = 2679, = 7, cm

21 Il tensore d inerzia nel riferimento principale d inerzia e baricentrale vale: [ I (1,2) 296, G = , 7578 ] cm 4 [ I (x G,y G ) 370, , 7826 G = 414, , 2463 ] cm 4