9 - Geometria delle aree

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1 9 - Geometria delle aree ü [A.a : ultima revisione 4 gennaio 04] In questa esercitazione si applicano le definizioni di baricentro, momento statico, momento d'inerzia, etc. ad alcuni esempi di interesse pratico. Si parte dallo studio di sistemi ad aree concentrate, per poi passare ad analizzare aree distribuite a geometria complessa, che possano riguardarsi come l'unione di aree a geometria piu' semplice. In sostanza, si applicano i risultati ricavati per le sezioni rettangolari, triangolari, circolari ed ellittiche, assieme alla proprieta' distributiva dei momenti statici e dei momenti di inerzia: Assegnate aree A, A,... A n, il momento statico dell'unione di queste aree e' la somma dei momenti statici delle singole aree, ed analoga proprieta' vale per i momenti del secondo ordine: S I Ê A i = S HA i L Ê A i = I HA i L i= i= i= i= () () Esercizio n.: i sistemi ad aree concentrate Si consideri un sistema di aree concentrate S i, identificate dalle loro coordinate x ed x in un generico sistema di riferimento. L'area totale A del sistema e' la somma delle aree parziali: A = i= A i Per definizione, il momento statico di un tale sistema e' un vettore definito da: S = K S S O = i= A i x i i= A i x i dove S i e' il momento statico rispetto all'asse x i. La matrice dei momenti di inerzia si definisce come : () (4) I = K I I I I O = i= i= A i x i i= A i x i x i A i x i x i i= A i x i dove I e' il momento di inerzia rispetto all'asse x, I e' il momento di inerzia rispetto all'asse x, I e' il momento centrifugo rispetto agli assi x ed x. Tutto cio' premesso, si consideri il sistema di Figura, costituito da quattro aree disposte ai vertici del rettangolo di base 5 metri ed altezza metri, con: (5) m A = 0. m m B = 0.4 m m C = 0.7 m m D = 0. m L'area totale e' allora pari a: (6)

2 4 9 - Geometria delle aree.nb A =.6 m (7) X m A m C m B m D 5 Figura - Un sistema di masse concentrate mentre i due momenti statici, rispetto agli assi x ed x, sono forniti da: S = H L =.7 m S = H L 5 = 5 m (8) Il baricentro del sistema, quindi, avra' coordinate pari a : x G = S A = 5.6 =.5 m x G = S A =.7.6 =.6875 m (9) (0) X X G m A m C G.68 G m B m D.5 Figura - Il baricentro del sistema I momenti di inerzia, rispetto agli assi x ed x, sono forniti da: I = H L = 8. m 4 I = H L 5 = 5 m 4 I = H0.7L 5 = 0.5 m 4 () Per ottenere i momenti di inerzia baricentrici, relativi agli assi paralleli ad x ed x, ma passanti per il baricentro del sistema, non resta che applicare il teorema di Huyghens:

3 9 - Geometria delle aree.nb 5 I ' I ' = I A x G = =.547 m 4 = I A x G = = 9.75 m 4 I ' = I A x G x G = =.065 m 4 Si sono quindi indicati con l'apice le tre quantita' relative al sistema baricentrico. Infine, i momenti principali di inerzia sono forniti da: I = I ' + I' + I ' I' ' + I = m 4 () I = I ' + I' I ' I' ' + I =.8879 m 4 (4) mentre la rotazione che occorre assegnare al sistema di riferimento per portarlo ad allinearsi con gli assi principali di inerzia e' fornita da: φ = ArcTan I' = I ' I' ossia circa 7.6 gradi, in senso antiorario. (5) X X G m A φ G m C G.68 m B m D.5 Figura - Gli assi centrali di inerzia ota - In forma matriciale, si possono scrivere i momenti di inerzia nel sistema baricentrico: I ' = I' I' I' I' = K O (6) ed ottenere i momenti principali di inerzia, assieme alle corrispondenti direzioni principali di inerzia, equivale al calcolo degli autovalori e degli autovettori di I '. Esercizio n.: la sezione ad L Calcolare le coordinate del baricentro ed i momenti di inerzia della sezione ad L di Figura 4.

4 6 9 - Geometria delle aree.nb X Figura 4 - La sezione ad L à Soluzione Si suddivide la sezione nei due rettangoli di Figura 5, di base b = 0cm e b = 60cm ed altezza h =00cm ed h =0cm, rispettivamente. Tale scelta e' ovviamente arbitraria, nel senso che altre scelte sarebbero altrettanto legittime. L'area della sezione e' fornita da: A = A + A = b h + b h = 00 cm (7) X b b h h Figura 5 - La sezione ad L come unione di due rettangoli Per calcolare il baricentro, si calcolino i due momenti statici rispetto ai due assi di Figura:

5 9 - Geometria delle aree.nb 7 S = S HL + S HL = A x HL G + A x HL h G = b h + b h h = 000 cm (8) S = S HL + S HL = A x HL G + A x HL b G = b h + b h b + b da cui le coordinate del baricentro dell'intera figura: = cm (9) x G = S A = b h b + b h Ib + b M b h + b h = = 5 cm (0) x G = S h b h + b h A = h 000 = = 5 cm b h + b h 00 Per calcolare i momenti di inerzia rispetto agli assi di Figura, si puo' scrivere: () I = I HL + I HL = b h + b h = cm 4 () I = I HL ' + I HL + A Ix HL G M = b h + b h + b h b + b = cm 4 () I = A x HL G x HL G + A x HL G x HL G = b h b h + b h h b + b = cm 4 (4) Si osservi che nel calcolo di I si e' calcolato l'apporto del secondo rettangolo come somma del momento di inerzia rispetto all'asse verticale passante per il suo baricentro, e poi si e' aggiunto il momento di trasporto secondo Huygens, mentre nel caso dei momenti centrifughi si e' calcolato per ambedue i rettangoli il solo momento di trasporto, poiche' il momento centrifugo baricentrico e' nullo. In riferimento agli assi baricentrici paralleli alla coppia di assi ed X si ha, per la legge di Huygens: I ' I ' = I A x G = = cm 4 = I A x G = = cm 4 (5) (6) I ' = I A x G x G = = cm 4 (7) Infine, per ottenere i momenti d'inerzia centrali occorre ruotare la coppia di assi di un angolo f * pari a: φ = ArcTan I' I ' I' = pari a 0.96 gradi. I momenti d'inerzia richiesti valgono: I r = I ' Sin φ + I ' Sin φ Cosφ + I ' Cos φ = cm 4 I r = I ' Cos φ I ' Sin φ Cosφ + I ' Sin φ = cm 4 (8) (9) (0)

6 8 9 - Geometria delle aree.nb I r = I I ' I ' M Sin φ Cosφ + I ' ICos φ Sin φ M = 0 () X 5 φ 5 G Figura 6 - Baricentro ed assi centrali di inerzia del profilato ad L Esercizio n. - Una travata da ponte Calcolare le coordinate del baricentro ed i momenti di inerzia della sezione aperta di Figura 7. X Figura 7 - Una sezione da ponte aperta à Soluzione Si consideri la sezione come composta da un rettangolo di base 9 metri ed altezza metri, a cui vanno sottratti i tre rettangoli "interni". In quest'ottica si ha un'area: A = = cm ed un momento statico rispetto all'asse orizzontale pari a: ()

7 9 - Geometria delle aree.nb 9 S = H900 00L 00 H80 70L 70 H460 70L H80 70L = cm Il baricentro della sezione e' quindi posto alle ascisse: x G = 450 cm x G = = 5.5 cm Ovviamente, la prima coordinata discende da proprieta' di simmetria. (4) I momenti di inerzia rispetto agli stessi assi si calcolano come: I = cm = (5) I = = cm I = = cm4 Per ricavare i momenti di inerzia baricentrici, si puo' utilizzare il teorema di Huygens I ' = I A x G = = cm 4 I = I A x G = = cm 4 (6) (7) (8) (9) I = I A x G x G = = 0 (40) Esercizio n. 4 Si utilizzino i risultati per il triangolo equilatero al fine di calcolare la matrice dei momenti di inerzia per il traingolo isoscele di base B ed altezza H di Figura 8

8 Geometria delle aree.nb X H B Figura 8 - Una sezione a triangolo isoscele Il baricentro della sezione e' situato sull' asse di simmetria, ossia x G = Bê. Poiche' inoltre la sezione puo' considerarsi formata da due triangoli rettangoli, i cui bariucentri sono ad un terzo dalla base, si ha subito x G = Hê. Cio' premesso si puo' calcolare subito il momento d'inerzia I rispetto all'asse baricentrico orizzontale, in quanto esso e' somma dei due momenti di inerzia dei due triangoli rettangoli: I = B H 6 = B H 6 (4) Il momento di inerzia I rispetto all'asse baricentrico verticale, invece, puo' essere calcolato aggiungendo al momento d'inerzia dei due triangoli equilateri il relativo momento di trasporto: I = B H 6 + B H B = B H 48 (4) Il momento d' inerzia centrifugo I e' invece nullo, segnalando che gli assi orizzontali e verticali sono gli assi centrali di inerzia. Esercizio n. 5 Si consideri la sezione di Figura 9, in cui B = 0 cm, b=.5 cm, H=0cm ed H = 0 cm. Si calcolino baricentro, momenti di inerzia baricentrici

9 9 - Geometria delle aree.nb 4 X B H H b b Figura 9 - Una sezione composta à Calcolo del baricentro L' area della sezione e' pari a : A = BH+ HB bl H = 50 cm (4) mentre il momento statico rispetto all' asse x e' pari a: S = BH H + H + HB bl H e segue che la coordinata x G e' fornita da: H = 7000 cm (44) BH IH + H M+ HB bl H H x G = = 0 cm (45) BH+ HB bl H mentre la coordinata x G e' pari a B/, in quanto il baricentro deve situarsi sull'asse di simmetria della sezione. à Calcolo dei momenti di inerzia Rispetto agli assi baricentrici, i momenti di inerzia valgono : I = BH + HB bl H = cm4 (46) H I = B H + B b mentre il momento centrifugo sara' nullo. = cm4 (47)

10 4 9 - Geometria delle aree.nb Esercizio n.6 Per la sezione a semicerchio di Figura 0, calcolare il baricentro ed i momenti di inerzia baricentrali utilizzando anche i risultati per la sezione circolare X R Figura 0 - Una sezione a semicerchio L' area del semicerchio e' fornita da : A = πr mentre il momento statico rispetto all' asse puo' calcolarsi come: e quindi : R S = πr Sin@θD R θ r = R 0 0 x G = 4 R π (48) (49) (50) X G 4 R π R Il momento di inerzia rispetto all' asse orizzontale baricentrale puo' allora calcolarsi come:

11 9 - Geometria delle aree.nb 4 I = πr 4 4 πr 4 R π = π R4 8 8 R4 9 π (5) à Calcoli Grafici