Appunti di Costruzioni Edili

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1 Giacomo Sacco Appunti di Costruzioni Edili Geometria delle masse (Aggiornato settembre 016)

2 1 - Geometria delle masse Per massa intendiamo la quantità di materia presente in un corpo. Nel Sistema Internazionale essa si misura in Kg. Per massa puntiforme si intende una massa concentrata in un punto. Il concetto è difficile da afferrare a prima vista, perché un punto ha dimensioni zero e quindi non sembra poter contenere massa. In effetti ci si riferisce al cosiddetto "punto materiale". Per comprendere tale concetto, prendiamo in esame il seguente disegno in cui abbiamo rappresentato 3 masse. Nella prima figura sono riportate con la loro reale dimensione: si vede chiaramente che non sono punti. Adesso immaginiamo di vedere queste tre masse, da una posizione sempre più distante: nell'ultima figura sono diventate molto piccole, praticamente dei punti, cioè siamo in presenza di masse puntiformi. Si definiscono, questi punti particolari, come punti materiali Momento statico delle masse Si definisce momento statico di una massa rispetto a una retta generica r, il prodotto della massa per la distanza tra la massa e la retta r. S r = m d Kg m; La distanza va sempre misurata sulla perpendicolare alla retta considerata. Se le masse sono più di una parliamo di sistema di masse. Consideriamo un sistema composto da 3 masse, il momento statico del sistema di masse rispetto ad una retta r si calcola così: S r = m 1 d 1 + m d + m 3 d 3 ; La distanza d 3 avrà valore negativo avendo preso positive le distanze al disopra della retta Baricentro di un sistema di masse. Poniamoci la domanda: esiste un punto in cui possiamo immaginare sia concentrata tutta la massa M del sistema, tale che, moltiplicando M per la distanza dalla retta otteniamo lo stesso valore del momento statico? Per rispondere a questa domanda consideriamo la figura a fianco, noi vogliamo che risulti: M d g = m 1 d 1 + m d + m 3 d 3 = S r ; Perché ciò sia vero, basta che la distanza d g sia pari a: d g = m 1 d 1 +m d +m 3 d 3 M = S r M

3 Tale punto prende il nome di baricentro delle masse. Per determinare con esattezza il baricentro delle masse, occorrono due coordinate. Di solito usiamo le coordinate cartesiane. Per calcolare la posizione del baricentro G del sistema di masse in figura, faremo così: S x = m 1 y 1 + m y + m 3 y 3 ; y g = S x M S y = m 1 x 1 + m x + m 3 x 3 ; x g = S y M Esempio 1 Siano: m1= 10 Kg; x1= m; y1=4 m; m= 0 Kg; x=8 m; y=m; m3= 15 Kg; x3=6 m; y3= - 3m; M= = 45 Kg; S x = m 1 y 1 + m y + m 3 y 3 = ( 3) = 35 Kg m; y g = S x M = 35 = 0, 78 m; 45 S y = m 1 x 1 + m x + m 3 x 3 = = 70 Kg m; x g = S y M = 70 = 6 m Baricentro e assi di simmetria. Consideriamo 4 masse uguali disposte secondo i vertici di un rettangolo di lati B e H. Indichiamo con x 1 e y 1 le coordinate del punto 1, le altre coordinate saranno: x =x 1 +B; y =Y 1 ; x 3 =x 1 ; y 3 =y 1 +H; x 4 =x 1 +B; y 4 =y 1 +H. Calcoliamo il baricentro delle masse. M = m+m+m+m = 4m Kg; S x = m 1 y 1 + m y + m 3 y 3 + m 4 y 4 = m y 1 + m y 1 + m (y 1 + H) + m (y 1 + H) = m (y 1 + y 1 + y 1 + H + y 1 + H) = m (4y 1 + H); 3

4 y g = S x M = m (4y 1 + H) = y 4m 1 + H ; S x = m 1 x + m x + m 3 x 3 + m 4 x = m x 1 + m (x 1 + B) + m x 1 + m (x 1 + B) = m (x 1 + x 1 + B + x 1 + x 1 + B) = m (4x 1 + B); x g = S y M = m (4x 1 + B) = x 4m 1 + B ; Come possiamo osservare il baricentro si trova esattamente a metà dei lati del rettangolo, possiamo anche notare che dallo stesso punto passano due rette, parallele alla base e all'altezza del rettangolo, che sono assi di simmetria per le masse in figura. Si può allora concludere che se una figura possiede assi di simmetria, il baricentro deve trovarsi per forza su questi assi. Si ricorda che anche le diagonali del rettangolo sono assi di simmetria Momento di inerzia Definiamo momento di inerzia di una massa m rispetto alla retta r, il prodotto della massa per la distanza al quadrato: I r = m d Se abbiamo più masse, ad esempio tre, il momento di inerzia è dato dalla somma dei singoli momenti di inerzia: I r = m 1 d 1 + m d + m 3 d 3 ; Come si misura il momento di inerzia? La massa si misura in Kg, se misuriamo la distanza in metri, avremo Kg m. Poiché la lunghezza compare con esponente, si dice anche che il momento di inerzia è un momento del secondo ordine Teorema di trasposizione Consideriamo un sistema di 3 masse di cui abbiamo già individuato il baricentro G, abbiamo preso in considerazione una retta generica, indicata con r, e una retta che passa per il baricentro e parallela alla retta r, indicata con g. Vogliamo dimostrare che il momento di inerzia calcolato rispetto alla retta generica r, è uguale al momento di inerzia calcolato rispetto alla retta g più la masse totale per la distanza al quadrato tra le due rette, indicata nelle figura con dg. Con d 1g, d g, d 3g, abbiamo indicato le distanze delle masse rispetto alla retta baricentrica. Con d 1, d, d 3, indichiamo le distanze delle masse dalla retta r (non riportate in figura). Queste distanze si possono anche calcolare come: d 1 = d 1g + d g d = d g + d g d 3 = d 3g + d g (ricordiamo che d 3g ha un valore negativo essendo al di sotto della retta g). Calcoliamo il momento di inerzia rispetto alla retta r: I r = m 1 d 1 + m d + m 3 d 3 ; Sostituiamo, a d 1, d, d 3, quanto trovato sopra: I r = m 1 d 1g + d g + m d g + d g + m 3 d 3g + d g ; 4

5 Svolgendo tale espressione si ha: I r = m 1 d 1g + d g + d 1g d g + m d g + d g + d g d g + m 3 d 3g + d g + d 3g d g = = m 1 d 1g + m 1 d g + m 1 d 1g d g + m d g + m d g + m d g d g + m 3 d 3g + m 3 d g + + m 3 d 3g d g ; Abbiamo tre termini che hanno in comune d g e tre che hanno in comune d g mettiamo in evidenza questi termini. Avremo: I r = m 1 d 1g + m d g + m 3 d 3g + d g (m 1 + m + m 3 ) + d g m 1 d 1g + m d g + m 3 d 3g ; Osserviamo che gli ultimi tre termino sono il momento di inerzia calcolato rispetto all'asse baricentrico, che indichiamo con I g, i tre termini m 1 d 1g + m d g + m 3 d 3g, sono il momento statico delle masse rispetto all'asse baricentrico che è sempre zero, mentre il termine d g (m 1 + m + m 3 ) è la massa totale M per la distanza al quadrato tra le due rette. Per quanto detto si può scrivere: I r = I g + M d g Enunciato a parole il teorema di trasposizione dice che: "Il momento di inerzia di un sistema di masse, calcolato rispetto ad una retta generica r, è uguale, al momento di inerzia calcolato rispetto ad una retta baricentrica e parallela a r più la massa totale per la distanza al quadrato tra le due rette" Momento statico di figure piane Consideriamo una figura piana, in questo caso un rettangolo, esso può essere visto come un insieme di aree molto piccole di numero infinito. Se consideriamo questi punti aventi anziché una massa, ma un'area, possiamo dire che per esse vale quanto detto per le masse puntiforme. In particolare, essendo il rettangolo dotato di assi di simmetria, possiamo individuare il baricentro del rettangolo nell'intersezione di questi assi di simmetria che in figura abbiamo individuato con x e y mentre con G abbiamo indicato il baricentro. In analogia con le massi puntiformi, se vogliamo il momento statico del rettangolo calcolato rispetto alla retta r, scriveremo: S r = A d; La distanza è misurata dal baricentro dell'area fino alla retta considerata. Il momento statico delle figure piane si misura in m 3 (area in m per distanza in m = m 3 ). Se abbiamo una figura complessa, ma scomponibile in figure di cui possiamo individuare il baricentro, ad esempio rettangoli, possiamo calcolare il baricentro dell'intera figura. 5

6 Esempio: vogliamo trovare il baricentro della figura, procediamo nel seguente modo: 1. dividiamo la figura in due rettangoli, a piacere;. scegliamo due assi ortogonali, indicati in questo caso, con x e y; 3. calcoliamo i momenti statici rispetto ai due assi; 4. calcoliamo la posizione del baricentro; Calcoliamo le aree: A 1 = f (a c); A = b c; A t = A 1 + A ; S x = A 1 y 1 + A y ; y g = S x A t ; S y = A 1 x 1 + A x ; y g = S y A t ; Allo stesso modo si può procedere per tutte le figure scomponibili in rettangoli. Esempio: Determinare il baricentro della figura. Calcoliamo le aree: A 1 = 0 10 = 00 cm ; A = 0 60 = 100 cm ; A 3 = = 300 cm ; A t = = 1700 cm ; S x = = cm3 ; y g = = 9,71 cm; 1700 S y = = cm3 ; x g = = 3,06 cm;

7 1.7 - Momento di inerzia di figure piane Una figura piana, come abbiamo detto, può essere vista come una somma di infinite aree di dimensione nulla. Se riuscissimo a dividere il rettangolo in queste aree di dimensione infinitesima, ossia pressoché zero, potremmo calcolare il momento di inerzia sommando tutti i momenti di inerzie di queste singole aree. Per trovare il momento di inerzia di un rettangolo, rispetto agli assi baricentrici, dovremo dividere il rettangolo in striscioline di altezza zero. Se invece le strisce non avranno spessore zero, il valore che otterremo sarà certamente errato, ma che si avvicinerà al risultato esatto, quanto più lo spessore delle striscioline si avvicina a zero. Per iniziare dividiamo il rettangolo in 4 strisce di altezza H, dovendo 4 calcolare il momento di inerzia rispetto ad x, le strisce saranno parallele a x, se vogliamo calcolare il momento di inerzia rispetto a y, le strisce dovranno essere parallele a y. Il momento di inerzia lo calcoliamo moltiplicando le aree delle strisce, che sono tutte uguali e valgono B H, per le rispettive distanze al quadrato, 4 che invece sono diverse. Avremo, cominciando dall'alto, ricordando che i rettangoli sotto l'asse delle x, hanno distanze negative: H I x = B H H B H 4 1 I x = B H 4 1 H = B H 9H + H = B H 10H = 10BH3 = BH3 ; ,8 4 + H 4 + B H 4 1 H 4 1 H 4 ; H 4 + B H 4 1 H 4 + H 4 + B Poiché le distanze vanno al quadrato, anche i momenti di inerzia dei rettangoli sotto l'asse x saranno positivi: I x = B H 4 1 H 4 + H 4 + B H 4 1 H 4 + B H 4 1 H 4 + H 4 + B H 4 1 H 4 ; H 4 = B H 4 H 8 + H 4 + H 8 = B H H+H 8 + H 8 = Abbiamo ottenuto, quindi: I x = BH3 1,8 Se dividiamo adesso il rettangolo in parti sempre più piccole e calcoliamo nuovamente Ix, avremo i seguenti risultati: Numero di parti Ix BH 3 1,63 BH 3 1,047 BH 3 1,0117 BH 3 1,003 BH 3 1,0007 Si vede che più sono piccole le dimensioni delle strisce e più il denominatore si avvicina a 1. E questo è appunto il valore corretto del momento di'inerzia di un rettangolo: I x = BH3 1 ; I y = HB3 1 ; Anche per le figure piane vale il teorema di trasposizione. 7

8 Calcoliamo i momenti di inerzia del rettangolo rispetto alle rette r e t: Rispetto a r, il teorema di trasposizione, diventa: I r = I x + A y r = BH3 1 + A y r ; Rispetto a t, il teorema di trasposizione, diventa: I t = I y + A x t = HB3 1 + A x t ; Utilizzando il teorema di trasposizione, è possibile calcolare i momenti di inerzia che più ci interessano, che sono quelli rispetto agli assi baricentrici, purché le figure siano scomponibili in rettangoli. Esempio : Determinare i momenti di inerzia, rispetto agli assi baricentrici, della figura seguente: La posizione del baricentro è stata determinata in precedenza: xg =3,06 cm; yg=9,71 cm; Calcolo del momento di inerzia rispetto ad Xg Calcolimao i momenti di inerzia di ciascun rettangolo, rispetto all'asse Xg: rettangolo 1 I XG = rettangolo I XG = rettangolo 3 I XG = ,71 = cm Momento di inerzia totale: 9,71 = cm ,71 10 = cm 4 Calcolo del momento di inerzia rispetto ad Yg I XG = = cm 4 Calcoliamo i momenti di inerzia di ciascun rettangolo, rispetto all'asse Yg: rettangolo 1 I YG = rettangolo ,06 0 = cm 4 I YG = rettangolo , = cm 4 I YG = = cm 4 Momento di inerzia totale: I YG = = cm 4 8

9 - Statica dei sistemi piani Di cosa si occupa la "statica dei sistemi piani"? Si occupa dello studio di corpi in equilibrio cioè fermi, non in moto, che possono essere rappresentati in un piano, ossia corpi che hanno al massimo due dimensioni: (ad esempio un rettangolo, ma la forma non è importante, l'importante è che abbia due dimensioni)..1 Grandezze vettoriali. Un grandezza vettoriale è una grandezza che per essere individuata necessità di tre elementi: intensità, direzione e verso. Essa differisce dalle altre grandezze che necessitano di un solo parametro per essere individuate, ad esempio se parliamo di 3 Kg di zucchero, basta il numero 3 per identificare questa grandezza. Queste grandezze si dicono grandezze scalari. Le grandezze vettoriali sono dette vettori e possono rappresentare diverse grandezze fisiche. Definiamo gli elementi che identificano un vettore. Intensità: è da la grandezza del vettore ; Direzione: la direzione è definita dalla retta d'azione su cui giace il vettore; Verso: il verso è il senso in cui si muove il vettore ed è individuato da una freccia. Nella figura, la lunghezza in scala, è l'intensità del vettore, la retta r è la direzione e la freccia il verso. Esempi di grandezze vettoriali e unità di misura: Forza - Si misura in N (Newton) Velocità - Si misura in m sec. (Metri al secondo) Accelerazione - Si misura in m sec. (Metri al secondo al quadrato). Esempio di forza: il nostro peso, gli elementi che lo definiscono sono: Intensità: il peso che otteniamo salendo su una bilancia; Direzione: la retta che parte dal punto in cui ci troviamo e passa dal centro della terra; Verso: verso il centro della terra (quello che noi definiamo il basso). Esempio di velocità: Un'automobile si muove sulla Salerno -Reggio Calabria e va verso Salerno, gli elementi che definiscono il vettore velocità sono: Intensità: la velocità con cui si muove l'automobile (di solito espressa in Km ora ); Direzione: la retta che unisce Reggio con Salerno (direzione in questo caso approssimata); Verso: verso Salerno. Esempio di accelerazione: prendiamo l'automobile di prima. 9

10 Intensità: se si muove a velocità costante sarà pari a zero se la velocità Somma di vettori La somma di vettori che faremo si esegue graficamente, ossia facendo un disegno in scala. Esempio: vogliamo sommare i due vettori in figura, uno di 4 N e l'altro di 5 N, prolunghiamo le rette d'azione fino ad intersecarsi, I due vettori vanno disegnati in scala, in questo caso abbiamo scelto 1cm = 1 N Spostiamo i due vettori in modo che l'origine coincida Tracciamo le parallele alle rette di direzione, ottenendo un parallelogramma Tracciamo la diagonale e misuriamo la lunghezza, che in questo caso è di 9,38 cm, quindi avremo trovato la risultante pari a Questo metodo prende il nome di regola del parallelogramma, questo metodo permette di rilevare anche la retta di direzione del vettore risultante. Ovviamente condizione indispensabile per poterlo applicare è che le due rette d'azione dei vettori non siano paralleli, altrimenti le rette non si incontrano mai. Nel caso questo succeda, ossia le rette di d'azione dei vettori sono paralleli, per trovare la risultante, i valori si sommano se il verso dei due vettori è concorde, o si sottraggono nel caso di verso opposto. La retta di direzione della risultante rimane sconosciuta (la si può ricercare con altri metodi). Somma di vettori con il poligono delle forze Se i vettori sono più di due, per trovare la somma conviene ricorrere ad un altro metodo, sempre grafico, che prende il nome di "poligono delle forze". 10

11 Il metodo consiste nel riportare su un punto qualsiasi del foglio di disegno, i vettori, iniziando da uno a piacere e poi riportare di seguito gli altri, facendo coincidere l'origine di ciascuno con il vertice dell'altro. Se vogliamo riportare la risultante nel punto esatto, trovando anche la retta di direzione, ricorriamo ad un'altra costruzione detta poligono funicolare. Scelto un punto a piacere P, detto polo, congiungiamo tale punto con i vertici del poligono tramite dei segmenti polari P-0, P-1, P-, P-3. Riportiamo le parallele di tali segmenti, osservando che il segmento P-0, tocca solo il vettore F, lo stesso facciamo con la sua parallela, partendo da un punto a piacere. Il successivo segmento P-1, tocca sia il vettore F che quello G, così nella nostra costruzione del poligono funicolare tracciamo una parallela P-1 che tocca le rette di direzione di F e di G, così proseguendo fino al segmento P-3. Prolungando P-0 e P-3, fino al loro punto di intersezione, troviamo un punto da cui deve passare la retta di direzione della risultante R, essa va riportata parallelamente. 11