ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE

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1 ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE Dati i punti : A (,) B (6,-) C (-3,-3) determinare:. il perimetro del triangolo avente come vertici i punti A,B,C. l area del triangolo avente come vertici i punti A,B,C 3. il baricentro, il circocentro, l ortocentro e l incentro del triangolo stesso Procedimento risolutivo Per prima cosa dobbiamo procedere con il visualizzare su di un sistema di assi cartesiani i tre punti; per fare questo digitiamo nel seguente modo le coordinate del punto A nella riga di testo del derive [,] e dopo aver premuto il tasto invio, andiamo nella finestra grafica e plottiamo il punto A sul sistema cartesiano; si ripete il tutto anche per i punti B e C ottenendo così Adesso bisogna trovare l equazione delle rette che passano per due vertici; per fare questo utilizzeremo la formula per trovare l equazione di una retta passante per due punti, precisamente per i punti A e B, per i punti B e C ed infine per i punti A e C. y y y y x x x x Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina

2 Con il derive scriveremo la formula per la retta passante per i punti A e B nel seguente modo : y / x / 6 sostituendo al posto di y, y, x, x i valori delle coordinate dei punti. Dal menu a tendina si segue il seguente percorso : RisolviEspressione (rispetto alla variabile da noi scelta) ottenendo così l equazione della retta cercata; ripeteremo il tutto per le altre due rette ottenendo : retta passante per A e B retta passante per B e C retta passante per A e C y 4 x 4 y x 9 y x Plottiamo le tre rette nella finestra grafica e verifichiamo che passino proprio per i vertici. Ma a noi interessa visualizzare solamente i lati del triangolo e non le rette che lo compongono, quindi andiamo a cancellare le tre rette appena plottate e con l utilizzo della funzione IF del derive andiamo a scrivere per il lato AB la seguente formula: Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina

3 IF x 6, 4 x Così facendo noi diciamo al derive di visualizzare la retta solamente quando la x è maggiore di ed è minore di 6 ( < x < 6 ) Plottando il tutto otterremo il lato AB del triangolo; ripetiamo il tutto per ottenere i lati BC e AC Ora possiamo calcolare la lunghezza dei tre lati; per fare questo utilizzeremo la formula per il calcolo della distanza tra due punti: AB x x y y B A B A Con il derive per la lunghezza del lato AB scriveremo la formula nel seguente modo: sqrt La lunghezza dei lati così ottenuta è: Lato AB 4 Lato BC 8 Lato AC 5 6 Ora è possibile calcolare il perimetro sommando i tre lati e ottenendo così : Perimetro del triangolo = 9 8 Ora per il calcolo dell area si dovrà procedere con il calcolo di un altezza; per fare ciò ci serviremo della formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta: Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina 3

4 ax0 by0 c d dove la retta by c 0 a b ax e il punto x 0, y 0 Prendiamo come base il lato AB e come altezza la retta che parte dal vertice C ed è perpendicolare al lato AB Con il derive scriveremo dunque: abs 3 3 4/ sqrt^ ^ Si può notare come, essendo l altezza appena trovata uguale al lato AC, il triangolo è rettangolo. Area del triangolo = 0 Procediamo ora nel trovare il baricentro del triangolo,sapendo che il baricentro si trova con l incontro delle mediane e che una mediana parte dal vertice e va fino al punto medio del lato opposto. Per fare questo bisogna calcolare per prima cosa il punto medio di ogni lato del triangolo utilizzando la formula ottenendo così: x a x Xm b 3 5 M AB 4,0 M BC, Ym y a y b M AC, Plottiamo il tutto per verificare che il punto medio cada sulla propria retta ottenendo così: Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina 4

5 Una volta trovato il punto medio di ogni lato, basterà applicare nuovamente la formula dell equazione della retta passante per due punti (dal vertice al punto medio) per trovare l equazione della mediana; Le tre mediane hanno equazione: Mediana passante per il vertice A e per il punto medio M BC y 9x 6 Mediana passante per il vertice B e per il punto medio M AC Mediana passante per il vertice C e per il punto medio M AB 3x 8 y y x 7 Una volta trovate le 3 mediane, utilizzando la funzione IF visualizzeremo solo il segmento dal vertice al punto medio e otterremo così il baricentro Mettendo poi a sistema tra loro le tre mediane si ottengono le coordinate del baricentro; per fare questo si va a selezionare dal menù a tendina il seguente percorso: RisolviSistema 3 equazioni Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina 5

6 Le coordinate del baricentro sono 5, 3 Procediamo ora nel trovare il circocentro del triangolo, sapendo che il circocentro si trova con l incontro degli assi e che un asse parte dal punto medio del lato ed è perpendicolare ad esso. I punti medi dei lati già li abbiamo, dobbiamo solo trovare le equazioni delle rette perpendicolari ai lati, ricordando che le rette tra di loro perpendicolari hanno il 3 coefficiente angolare opposto e contrario ( esempio: y x, la retta perpendicolare 4 4 sarà y x ) 3 Per far passare la retta perpendicolare al lato nel punto medio, utilizzeremo la formula della retta passante per un punto: I tre assi hanno equazione: y y m x x Asse passante per il punto medio M AB y x 4 Asse passante per il punto medio M BC y 9x Asse passante per il punto medio M AC y x Una volta trovate le equazioni dei 3 assi, plotteremo il tutto nella finestra grafica ottenendo così il circocentro Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina 6

7 Mettendo a sistema le tre equazioni degli assi, troveremo le coordinate del circocentro. 3 5 Le coordinate del circocentro sono, Procediamo ora nel trovare l ortocentro del triangolo, sapendo che l ortocentro si trova con l incontro delle altezze e che l altezza parte dal vertice ed è perpendicolare al lato opposto. Le rette perpendicolari ai lati già le abbiamo calcolate in precedenza, si tratta solamente di farle passare per il rispettivo vertice, utilizzando sempre la formula della retta passante per un punto Le 3 altezze così trovate hanno equazione: Altezza passante per il vertice A Altezza passante per il vertice B Altezza passante per il vertice C y 0 9x y 4 y x x Plottando le 3 altezze nella finestra grafica otterremo l ortocentro Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina 7

8 Mettendo a sistema l equazione delle 3 altezze troveremo le coordinate dell ortocentro; Le coordinate dell ortocentro sono, Prof. Digirolamo Fabrizio Pagina 8