PALESTRA PER IL RECUPERO

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1 PIAN CARTESIAN E RETTA PALESTRA PER IL RECUPER SVLTI Determinare l equazione della retta passante per ð 3; Þ e per il punto P d intersezione della retta r di equazione 0 e della retta s di equazione 0. Rappresentiamo il punto e le rette in un sistema di riferimento cartesiano. r s P 0 0 ( þ ( þ 4 Troviamo le coordinate del punto di intersezione delle rette r ed s. Si trovano mettendo in sistema le equazioni delle due rette. 3 Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione. Quindi: Pð ; 3Þ. MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara P P L equazione della retta passante per due punti è ð 3Þ ð 3Þ 3 Applichiamo la formula ai punti P e. þ 3 þ 3 þ 3 4 þ þ 0 Scriviamo l equazione in forma implicita.

2 Unità PIAN CARTESIAN E RETTA Dati punti Að; Þ, ð ; 3Þ e Cð7; Þ, determinare il perimetro del triangolo AC e la lunghezza delle sue mediane. Rappresentiamo i punti in un sistema di riferimento cartesiano. M C L N A qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ð A Þ þð A Þ ð þ Þ þ ð 3Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AC ð A C Þ þð A C Þ ð 7Þ þ ð Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ p ffiffiffiffiffi 9 Calcoliamo la distanza A applicando la formula della distanza tra due punti qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ð Þ þð Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 36 þ 6 p ffiffiffiffiffi In modo analogo calcoliamo C e AC. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ð C Þ þð C Þ ð 7Þ þð3 Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 64 þ ffiffiffiffiffi 6 p p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 9 þ þ 6 Il perimetro è la somma dei lati; quindi, indicando con p il semiperimetro, calcoliamo p. M þ ; þ La mediana è il segmento che unisce un vertice di un triangolo con il punto medio del lato opposto. Determiniamo quindi le coordinate dei punti medi dei lati. M þ C M þ C þ 7 3 þ 3! M 3; MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

3 PIAN CARTESIAN E RETTA N A þ C N A þ C þ 7 þ 4 0! Nð4; 0Þ L A þ L A þ þ 3 0! L 0; sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AM ð A M Þ þð A M Þ ð 3Þ þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ 8 rffiffiffiffiffiffiffi Calcoliamo la lunghezza delle tre mediane. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi CL ð C L Þ þð C L Þ ð7 0Þ þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 49 þ 9 rffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi N ð N Þ þð N Þ ð 4Þ þð3 0Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 9 p ffiffiffiffiffi 34 3 Dati i punti A ;, ð3; Þ e Pð; Þ, scrivere l equazione della retta r passante per P e parallela alla retta A, e l equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta A. Rappresentiamo gli elementi del problema in un sistema di riferimento cartesiano. Dobbiamo trovare le equazioni delle rette r ed s. Ricordiamo che rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare; quindi, il coefficiente angolare della retta r è uguale a quello della retta A. Il coefficiente angolare della retta A è dato da: m A A P s MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara 0, A 0, r 3

4 Unità PIAN CARTESIAN E RETTA m A 3 4 Il coefficiente angolare della retta r è 4. L equazione della retta r passante per P e parallela alla retta A sarà quindi: 4 ð Þ L equazione della retta passante per un punto P ð 0 ; 0 Þ è: 0 m ð 0 Þ Ricordiamo che se indichiamo con m ed m i coefficienti angolari di due rette perpendicolari si ha: m m, cioè m 0 m cioè, scritta in forma implicita, 4 þ 4 0. Il coefficiente angolare della retta s perpendicolare ad A è 4, poiché m m 4 4. L equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta A sarà quindi: 4 ð Þ cioè, scritta in forma implicita, 4 þ È data la retta di equazione ða Þ ða þ 3Þ a þ 0 Determinare per quale valore di a: a) la retta è parallela all asse a 0! a b) la retta è parallela all asse a þ 3 0! a 3 L equazione di una retta parallela all asse è del tipo h (manca cioè il termine in ). Quindi, il coefficiente della deve essere uguale a 0. L equazione di una retta parallela all asse è del tipo k (manca cioè il termine in ). Quindi, il coefficiente della deve essere uguale a 0. c) la retta passa per il punto Pð ; Þ Se una retta passa per un punto vuol dire che le coordinate del punto sono soluzioni dell equazione della retta. Sostituisco le coordinate del punto nell equazione della retta ða Þð Þ ða þ 3ÞðÞ a þ 0 # # P P a þ a 3 a þ 0 a þ 0 a d) la retta è parallela alla bisettrice del I e III quadrante Risolvo rispetto a a. Dobbiamo scrivere in forma esplicita l equazione della retta per determinarne il coefficiente angolare. MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara 4

5 PIAN CARTESIAN E RETTA a a a þ 3 a þ 3 m a a þ 3 Il coefficiente angolare è il coefficiente della nell equazione scritta in forma esplicita. a a þ 3 La bisettrice del I e III quadrante ha m e rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali. a a þ 3! a 4 Risolviamo rispetto ad a. e) la retta è parallela alla retta passante per i punti Að 3; Þ e ð3; 7Þ Determiniamo il coefficiente angolare m della retta passante per A e per. m A A 7 3 þ a a þ 3 3 3a 3 a þ 3 Rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali. Risolviamo rispetto ad a. a 6 GUIDATI Dato il triangolo i vertici Að; 3Þ, ð0; 3Þ, Cð4; 9Þ, verificare che il segmento che congiunge i punti medi dei lati AC e C è la metà del lato A. Rappresenta i punti in un sistema di riferimento cartesiano. C MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara A M N

6 Unità PIAN CARTESIAN E RETTA Indica con M il punto medio di AC e trovane le coordinate: M A þ ::::::: þ ::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: M A þ ::::::: þ ::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Indica con N il punto medio di C e trovane le coordinate: N þ ::::::: ::::::: þ ::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: M þ ::::::: ::::::: þ ::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Trova la lunghezza del segmento A: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ð A Þ þð A Þ ð::::::: þ ::::::: Þ þ ð::::::: þ ::::::: Þ :::::::::::::: Trova la lunghezza del segmento MN: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MN ð N M Þ þð N M Þ ð::::::: þ ::::::: Þ þ ð::::::: þ ::::::: Þ :::::::::::::: Verifica che A MN. ::::::: ::::::: 6 Calcolare la distanza tra le rette parallele r ed s, rispettivamente di equazione þ 4 0 e þ 3. Rappresenta le rette in un sistema di riferimento cartesiano. r P s Fissa un punto P sulla retta r attribuendo a un valore qualsiasi, ad esempio, e calcolando il corrispondente valore di : Pð; 3Þ. Calcola la distanza di P dalla retta s sostituendo, nella formula della distanza di un punto da una retta, a 0 l ascissa del punto P ea 0 l ordinata del punto P. Attenzione: l equazione della retta deve essere in forma implicita. j d a 0 þ b 0 þ cj pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j þ ::::::: 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j p ::::::: ffiffiffi a þ b þ MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara 6

7 PIAN CARTESIAN E RETTA 7 Determinare per quale valore del parametro k le rette di equazione: sono parallele. ðk Þ ðk þ Þ k þ 0 e k ðk 3Þ þ k 0 Determina i coefficienti angolari delle due rette. Per farlo, si devono scrivere le equazioni delle rette in forma esplicita: k k k þ k þ ::::::::::::::::::::: þ ::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::: Due rette sono parallele se i coefficienti angolari sono.... Quindi: Risolvi rispetto a k: k k þ ::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::... k :::::::::::::: 8 Scrivere l equazione della retta passante per Pð 3; Þ e perpendicolare alla retta A, con Að ; 6Þ e ð4; 3Þ. Rappresenta i punti in un sistema di riferimento cartesiano. A MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara P 7

8 Unità PIAN CARTESIAN E RETTA Determina il coefficiente angolare di A: m A A ::::::: ::::::: A ::::::: ð ::::::: Þ ::::::: ::::::: Il coefficiente angolare della perpendicolare è quindi: ::::::: ::::::: m m :::::::::::::: :::::::::::::: () L equazione della retta passante per un punto è 0 m ð 0 Þ. Sostituisci a m il coefficiente angolare della perpendicolare (quello che nella () hai indicato con m 0 ) ea 0 e 0 le coordinate del punto P: :::::::::::::: :::::::::::::: ½ ð :::::::::::::: ÞŠ Svolgi i calcoli e scrivi l equazione in forma implicita. 9 Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti. a) Að ; 3Þ ð0; Þ b) C ; c) Eð4; Þ Fð; 3Þ Dð ; Þ 0 Determinare le coordinate del punto medio del segmento avente per estremi i punti: a) Að6; Þ ð ; Þ b) Cð; 4Þ Dð; Þ c) E 4 ; F 3 ; Rappresentare graficamente le rette di equazione: þ Determinare il coefficiente angolare e l ordinata all origine delle seguenti rette. a) þ 0 b) 3 þ 7 0 c) 3 þ 0 3 Verificare se il punto P ; appartiene alla retta di equazione: a) 3 þ 0 c) þ 0 b) 0 d) þ 0 ½No; sì; no; sìš MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara 8

9 PIAN CARTESIAN E RETTA Determinare i coefficienti angolari delle rette che passano per le seguenti coppie di punti. 4 A 3; ð6; Þ 3 9 Að; Þ ð ; Þ ½Š 6 A ; ; Determinare per quale valore di k il punto Pðk þ ; k Þ appartiene: a) alla retta di equazione þ þ 0; aþ 3 ; bþ 3 ; cþ b) alla bisettrice del II e IV quadrante; c) all asse delle. 8 Verificare che le rette di equazione 3 þ 7 0e þ 3 þ 0 sono perpendicolari. 9 Scrivere l equazione dell asse del segmento avente per estremi i punti Að; 3Þ e ð ; Þ. ½ þ þ 0Š 0 Determinare l area del triangolo AC di vertici Að4; Þ, ð 3; Þ e Cð 4; 4Þ. (Considerare come base del triangolo il segmento AC.) ½33Š Verificare che le rette di equazione 4 3 þ 3 0e sono parallele e calcolare la loro distanza. 3 Verificare che il quadrilatero di vertici Að7; 4Þ, ð4; 6Þ, Cð0; 9Þ, Dð3; 7Þ è un parallelogramma. 3 Verificare che il triangolo di vertici Að3; Þ, ð4; 7Þ, Cð ; 6Þ è isoscele e calcolarne l area. ½Š MathClub blu, Cedam Scuola Q 0 De Agostini Scuola S.p.A. Novara 4 Data la retta di equazione 3 þ 0 determinare: a) l equazione della parallela passante per Pð; Þ; ½aÞ 3 þ 4 0; bþ 3 þ 7 0Š b) l equazione della perpendicolare passante per Qð3; Þ. Determinare la distanza del punto Pð ; 4Þ dalla retta di equazione 3 þ 4 þ Scrivere l equazione della retta passante per il punto d intersezione delle rette di equazioni þ 4 0e3þ 0 e parallela all asse. 6 7 Verificare che le diagonali del quadrilatero di vertici Að3; 3Þ, ð8; 4Þ, Cð9; 9Þ, Dð4; 8Þ sono perpendicolari. Di che quadrilatero si tratta? 8 Determinare per quale valore del parametro k la retta di equazione ðk þ 3Þ þ ðk Þ þ 3k þ 0: a) passa per l origine; aþ 3 ; b ; cþ 3 ;dþ9 b) è parallela all asse ; c) è parallela alla retta di equazione þ 0; d) è perpendicolare alla retta