Esercizi di consolidamento

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1 Esercizi di consolidamento Il sistema di riferimento cartesiano Trova le misure dei segmenti che hanno come estremi le seguenti coie di unti e le coordinate dei loro unti medi. Að, Þ B, ; C 0, D, ; Eð, Þ F 7, Trova i secondi estremi dei seguenti segmenti di cui sono noti il rimo estremo e il unto medio. Að, Þ M 8, 7 ; C, M, 9 ; E, M 6, Determina le coordinate dei unti medi dei segmenti che hanno er estremi le seguenti coie di unti. a. Að, Þ Bð6, Þ b. Cð6, Þ Dð, Þ a. A 7, B, b. C, D 6, a. A, B, b. C, D, 6 esercizio guidato Calcola le coordinate di un unto P, aartenente all asse delle ordinate, in modo che sia equidistante dai unti Rð, Þ ed Sð, Þ. Un unto che aartiene all asse delle ordinate ha ascissa nulla, quindi ossiamo indicare con ð0, kþ le sue coordinate; di conseguenza: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi PR ¼ ð0 Þ þ ðk Þ e PS ¼ ð0 þ Þ þ ðk Þ Osserviamo adesso che se deve essere PR ¼ PS, sarà anche PR ¼ PS ; si deve quindi risolvere l equazione þ ðk Þ ¼ þ ðk Þ! k 6k þ 9 ¼ k 8k þ 6! k ¼ 7! k ¼ 7 7 Il unto P ha dunque coordinate 0,. 7 Calcola le coordinate di un unto P, aartenente all asse delle ascisse, equidistante da Qð, Þ eda T ð, Þ. ½Pð, 0ÞŠ 8 Un unto A ha ascissa ; calcola la sua ordinata in modo che A sia equidistante dai unti Rð, Þ e Sð6, Þ. ½Að, ÞŠ 9 Calcola la distanza dell origine O dal unto medio M del segmento di estremi Að, Þ e B,. Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

2 0 Indicato con Mð, Þ il unto medio del segmento AB, calcola le coordinate del unto B saendo che Að, Þ. ½Bð7, 0ÞŠ Trova il valore del arametro reale h er il quale l ascissa del unto medio del segmento di estremi Phþ ð, h Þ e Qhþ ð, h Þ è uguale all ordinata del unto medio del segmento di estremi ffiffiffiffiffiffiffiffi Að, Þ e Bð, Þ. Calcola oi la distanza fra i due unti medi. h ¼ ; 7 Doo avere raresentato nel iano i unti Að, 6Þ, Bð6, 8Þ, Cð, Þ, Dð, Þ, calcola le coordinate dei unti medi di AB e CD. In base ai risultati ottenuti che cosa uoi dire sul quadrilatero ACBD? Verifica che il triangolo di vertici Að, Þ, Bð, 0Þ, Cð, Þ è isoscele di base AB e calcola la sua area. ½area ¼ 0Š Dato il triangolo di vertici Að, Þ, Bð7, 0Þ, Cð, 6Þ, verifica che è isoscele e calcolane il erimetro. Indicato oi con MNP il triangolo che ha er vertici i unti medi dei lati del triangolo, verifica che il erimetro di tale triangolo è la metà di quello del triangolo dato. h ðabcþ ¼ ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffii þ 6 Trova un unto P sul segmento AB di estremi Að, Þ e Bð, Þche lo divida in arti roorzionali ai numeri e., 6 6 Un arallelogramma ABCD ha i rimi tre vertici nei unti Að, Þ, Bð, 0Þ, Cð, Þ; trova le coordinate del quarto vertice D. ½Dð0, ÞŠ 7 I unti A, e C, 6 unto d incontro delle diagonali. sono i vertici oosti di un arallelogramma. Trova le coordinate del, 8 Il arallelogramma ABCD ha tre vertici nei unti Að, Þ, Bð, Þ, Cð7, Þ; trova le coordinate del unto P di intersezione delle diagonali e del quarto vertice D. ½Dð, 7Þ; Pð, ÞŠ 9 Un rombo ha due vertici consecutivi nei unti Að, Þ e Bð, Þ e il lato BC è arallelo all asse x. Trova le coordinate degli altri due vertici. ½C ð6, Þ; D ð, Þ; C ð, Þ; D ð 7, ÞŠ 0 Un arallelogramma ABCD ha er vertici i unti A,, B,, D,0 ; trova le coordinate del vertice C e verifica che si tratta di un rettangolo. ½Cð, ÞŠ Determina i vertici B e C di un triangolo conoscendo le coordinate del vertice Að, Þ e i unti medi Mð7, Þ di AB e Nð, 8Þ di BC. ½Bð, 7Þ; Cð, 9ÞŠ Dati i unti Að, 6Þ e Bð, Þ, determina i valori dei arametri reali h e k in modo che il unto Mhþ ð, k Þ sia medio fra A e B. Verifica che er tali valori di h e k il unto Phþ ð 7, k þ Þ forma un triangolo APB isocele di base AB; calcola infine il erimetro e l area di tale triangolo. h ¼, k ¼ ; ¼ ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi 7 þ ; area ¼ Il triangolo ABC ha vertici nei unti Að, Þ, Bð, 0Þ, Cð, 6Þ. Calcola le coordinate del suo baricentro., 8 Dato il triangolo ABC con Að, Þ, Bð6, Þ, Cð, 8Þ trova le coordinate del baricentro e la sua distanza dai tre vertici del triangolo. Dai risultati ottenuti, che cosa uoi dire delle mediane relative ai lati AC e BC e del triangolo ABC? ð, Þ; ffiffiffi ffiffiffi,, Trova le coordinate del vertice C di un triangolo ABC conoscendo le coordinate degli altri due vertici Að, Þ e Bð7, Þ e quelle del baricentro Gð6, Þ. ½Cð8, ÞŠ Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

3 ffiffiffiffiffi 6 Il segmento AB misura ;seak, ð Þ e Bkþ ð, kþ quali sono le coordinate dei suoi estremi? " A #,, B, ; A ð, Þ, B ð, Þ 7 Il baricentro di un triangolo ABC ha coordinate, e due vertici sono i unti Að0, Þ e B 7,. Trova le coordinate del vertice C e verifica oi che il baricentro divide ciascuna mediana in due arti tali che quella che contiene il vertice è doia dell altra. ½Cð, 6ÞŠ 8 Un arallelogramma ha centro nel unto, e due vertici nei unti Að, Þ e B, le coordinate degli altri due vertici e verifica che si tratta di un rombo. Cð, Þ, D, ; trova 9 I unti A,, Bð, Þ, C 9, sono i rimi tre vertici del arallelogramma ABCD; doo aver trovato le coordinate del unto D, verifica che si tratta di un quadrato. D, 7 0 Trova le coordinate del unto P sull asse x che è equidistante dai unti A, e B, e calcola oi il erimetro e l area del triangolo ABP. P,0 ; erimetro ¼ ffiffiffiffiffi 7 þ ffiffiffiffiffi 8 ; area ¼ 7 8 Un unto P è equidistante dai unti Að, Þe Bð, Þe di esso si sa inoltre che la sua ascissa è uguale alla sua ordinata; calcola le sue coordinate e determina oi la sua distanza dal segmento AB. P, ; d ¼ I unti Að, Þe Bð, 0Þsono due vertici del triangolo ABC di cui Mð0, Þè il unto medio del lato AC. Trova le coordinate del vertice C e stabilisci se si tratta di un triangolo rettangolo. ½Cð, 6ÞŠ I unti di coordinate ð, Þ, ð, Þ, ð, Þ sono tre dei vertici di un arallelogramma; trova le coordinate del quarto e verifica che esistono tre soluzioni. ð7, Þ; ð, 9Þ; ð, Þ Dato il segmento AB in figura, quali coordinate hanno gli estremi del segmento A 0 B 0 simmetrico di AB risetto all asse delle ascisse? a. A 0 ðþ, Þ B 0 ðþ, Þ b. A 0 ð, þ Þ B 0 ð, þ Þ c. A 0 ðþ, þ Þ B 0 ðþ, Þ d. A 0 ð, Þ B 0 ð, Þ [a.] La retta nel iano cartesiano Quale delle seguenti rette assa er il unto Pð, Þ? a. y ¼ x b. y ¼ x c. x y þ ¼ 0 d. y x ¼ 0 [d.] Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

4 6 Stabilisci er via analitica se i unti A,, B,, C,, Oð0, 0Þ, D, aartengono alla retta di equazione y ¼ x. Controlla l esattezza delle tue conclusioni riortando i unti e la retta su un grafico. 7 Scrivi le equazioni delle rette che assano er l origine degli assi cartesiani e er i unti indicati di seguito: a. Að, Þ b. B, c. C ffiffiffi, d. D, 8 Scrivi in forma imlicita l equazione della retta di coefficiente angolare m e ordinata all origine assegnata in ciascuno dei seguenti casi e costruiscine oi il grafico: a. m ¼ ffiffiffi c. m ¼ 9 esercizio guidato q ¼ b. m ¼ q ¼ q ¼ ffiffiffi d. m ¼ q ¼ 6 Scrivi l equazione della retta che assa er i unti A, e B,. I due unti non hanno né la stessa ascissa, né la stessa ordinata; la retta non è quindi arallela agli assi cartesiani. Possiamo rocedere in due modi: calcolando il coefficiente angolare della retta m ¼ y y þ ¼ x x ¼ e oi usando la formula y y 0 ¼ mx ð x 0 Þ. Pertanto scegliendo il unto B: y þ ¼ x! y ¼ x 7 6 alicando la formula! y y y y ¼ x x x x : y þ ¼ x! þ y þ ¼ ðx Þ! y ¼ 7 x 6 0 Qual è l equazione della retta in figura? a. y ¼ b. y ¼ ðx þ Þ c. y 6 ¼ x d. y ¼ x þ [c.] Scrivi l equazione della retta che assa er i unti A, le aartiene. e Bð, Þ e stabilisci se il unto Cð, Þ ½x 6y þ ; noš Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

5 Scrivi l equazione della retta r che assa er i unti Að, 0Þ e Bð, Þ, trova le coordinate del suo unto C di intersezione con l asse y e scrivi l equazione della retta s che assa er C e ha lo stesso coefficiente angolare della retta 6y x þ ¼ 0. r : y ¼ x ; s : y ¼ x Stabilisci se le seguenti terne di unti sono allineate: a. Að, 7Þ; Bð, Þ; Cð0, Þ ½noŠ b. Að, Þ; Bð, Þ; Cð, Þ ½noŠ c. Að, 0Þ; Bð, Þ; Cð, Þ ½siŠ d. Að, Þ; Bð, Þ; Cð, 6Þ ½noŠ e. Að, Þ; Bð, 0Þ; Cð0, Þ ½siŠ Individua se le seguenti coie di rette sono arallele o erendicolari: a. y ¼ x þ y 6x ¼ 0 ½aralleleŠ b. y þ 6x ¼ 0 y ¼ x ½erendicolariŠ c. y ¼ x y 6x ¼ ½né arallele né erendicolariš d. x ¼ y y ¼ 8x ½erendicolariŠ e. y þ ¼ 0 x ¼ 7 ½erendicolariŠ È data la retta di equazione x þ y ¼ 0; a quale delle rette raresentate dalle seguenti equazioni risulta erendicolare? a. x y þ ¼ 0 b. x y ¼ 0 c. x þ y ¼ 0 d. x þ y 7 ¼ 0 [b.] 6 Per quale valore del arametro reale k la retta di equazione ðk Þx þ ky ¼ 0 assa er il unto Að, Þ? a. 6 b. c. 6 d. 0 [a.] 7 Per quale valore di k le rette di equazioni x þ ky ¼ 0ey kx þ ¼ 0 sono arallele? a. k ¼ b. k ¼ c. k ¼ d. er nessun valore di k [d.] 8 Scrivi l equazione delle rette che assano er il unto P ed hanno il coefficiente angolare dato: a. Pð0, Þ m ¼ ½y ¼ x Š b. Pð, Þ m ¼ y ¼ x þ c. Pð, Þ m ¼ y ¼ x þ d. P, m ¼ ½y ¼ x þ Š 9 Scrivi l equazione della retta che assa er l origine degli assi ed è arallela a quella di equazione x þ y ¼ 0. ½y x ¼ 0Š 0 Scrivi l equazione della retta che ha ordinata all origine ed è arallela a quella di equazione x y þ ¼ 0. ½x y 0 ¼ 0Š Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

6 Scrivi l equazione della retta che assa er il unto P, ed è arallela a quella di equazione x þ y þ ¼ 0. ½x y ¼ 0Š Scrivi l equazione della retta che assa er l origine degli assi ed è erendicolare a quella di equazione x y þ ¼ 0. ½x þ y ¼ 0Š Scrivi l equazione della retta che ha ordinata all origine ed è erendicolare a quella di equazione 0x y þ ¼ 0. ½x þ y 0 ¼ 0Š Scrivi l equazione della retta che assa er il unto P, ed è erendicolare a quella di equazione y ¼ x þ. ½x y ¼ 0Š Doo aver determinato il coefficiente angolare della retta r che assa er i unti Að, Þ e Bð, 7Þ, scrivi le equazioni delle rette risettivamente arallela e erendicolare a r e assanti er il unto Pð, Þ. ½x þ y ¼ 0; x y þ ¼ 0Š 6 Fra le rette arallele a quella di equazione x þ y 6 ¼ 0 determina quella che assa er il unto P,. ½x þ y ¼ 0Š 7 Scrivi l equazione della retta erendicolare a quella di equazione y ¼ x þ e assante er P,. y ¼ x 8 Scrivi le equazioni delle rette assanti er il unto P, e risettivamente arallela e erendicolare alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. ½x y ¼ 0; x þ y ¼ 0Š 9 Scrivi l equazione della retta erendicolare alla retta r di equazione y ¼ x þ e che assa er il 7 unto di intersezione fra r e l asse y. ½7x y þ ¼ 0Š 60 Fra le rette che assano er il unto Pð, Þ determina quella arallela alla retta y x þ ¼ 0. ½x y ¼ 0Š 6 Verifica che il triangolo di vertici Að6, Þ, Bð, Þ, Cð, Þ è rettangolo in B e che M, unto medio dell iotenusa, è equidistante dai tre vertici. (Suggerimento: verifica che le rette AB e BC sono erendicolari) 6 Scrivi l equazione della retta assante er Að, Þ e arallela alla retta assante er P, e Qð, Þ. ½y ¼ x 8Š 6 Scrivi l equazione dell asse del segmento di estremi Að, Þ e Bð, Þ. ½y ¼ x þ Š 6 Sono dati i unti Að 7, Þ, Bð, Þ, Cð, 8Þ, Dð6, Þ. Doo averli disegnati nel iano cartesiano, calcola le coordinate dei unti M e N risettivamente unti medi di AB e CD. Verifica quindi che le rette AB e CD sono arallele così come le rette AC, MN, BD. 6 Calcola la distanza del unto Pð, Þ dalla retta assante er i unti di coordinate ð, Þ e ð, Þ. 7 ffiffiffiffiffi 66 Calcola la distanza del unto Pð, Þ dalla retta che taglia gli assi cartesiani nei unti di ascissa e ordinata. ffiffiffiffiffi Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

7 67 Il unto B 7, è il unto di intersezione di due rette erendicolari r e s; la retta r assa anche er il unto Að, Þ, mentre il unto C di s ha ordinata 9. Calcola l area del triangolo ABC. 68 Un triangolo rettangolo in B, è anche isoscele, ed ha i vertici A e C entrambi di ascissa. Doo aver trovato le coordinate di questi due unti, calcola erimetro e area del triangolo. h ffiffiffi i erimetro ¼ þ ; area ¼ 69 Il segmento AB, lungo, aartiene alla retta y ¼ x þ e le coordinate del suo unto medio M sono, ; trova le coordinate di A e B. Að0, Þ; Bð, Þ 70 Il segmento AB, lungo ffiffiffi, aartiene ad una retta di coefficiente angolare ; se le coordinate di A sono ð, Þ quali sono quelle di B? ½ð0, 0Þ_ð, ÞŠ 7 Le rette t : x y ¼ 0er : x þ y ¼ 0 si intersecano in B; una arallela alla retta r assante er il unto di coordinate, interseca t in A; indicato con A 0 il unto roiezione di A sull asse delle ordinate, calcola l area del arallelogramma che ha AA 0 e AB come vertici consecutivi. ½Š 7 Sono dati i unti A,, B, 69, C 9, 7, D, ; scrivi le equazioni delle rette r e s risettivamente assi dei segmenti AB e CD e calcola il loro unto di intersezione E. Indicato con P il unto di ordinata ositiva aartenente alla retta r che ha distanza uguale a l area del triangolo EPH essendo H il unto medio del segmento CD. Eð, 0Þ; P 6 7, ; H, 7 ffiffiffiffiffi dalla retta s, calcola 7 ; area ¼ 7 Il segmento AB, lungo, aartiene ad una retta con coefficiente angolare ; se le coordinate di A sono ð, Þ quali sono quelle di B? " #, _, 7 Scrivi le equazioni delle due rette r e s assanti risettivamente er i unti D, e C, ed entrambe di coefficiente angolare e indica con A e B le loro intersezioni con l asse y. Individua la natura del quadrilatero convesso che ha er vertici i unti A, B, C, D e calcolane l area. 6 7 Un rombo ha un vertice nel unto Að, 0Þ e le sue diagonali si intersecano in Pð, Þ; calcola le coordinate degli altri vertici saendo che ha area uguale a.,, ð, Þ,, 76 Dato il triangolo A ffiffiffi, ffiffiffi B, C ffiffiffi 7,, scrivi le equazioni delle rette dei suoi lati, veri- Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

8 fica che si tratta di un triangolo isoscele e trova le coordinate del unto D che, insieme ai recedenti, " forma un rombo. y ¼ ffiffiffi x ; y ¼ ffiffiffi x þ ; y ¼ ffiffiffi x þ ; x ¼ ffiffiffi ffiffiffi # ; D, 77 Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A,, Bð, Þ, Cð, Þ, D, è un traezio rettangolo di base maggiore BC; calcolane quindi il erimetro e l area. (Suggerimento: devi verificare che i lati delle basi sono aralleli e che uno dei lati obliqui è erendicolare alle basi; non serve calcolare le equazioni delle rette, bastano i loro coefficienti angolari) erimetro ¼ ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi þ 6 ; area ¼ Doo aver verificato che il quadrilatero Að, Þ, B,9, C,, D 8, è un traezio isoscele calcolane area e erimetro. area ¼ 7 ; erimetro ¼ ffiffiffi þ 79 Scrivi le equazioni delle rette dei lati del triangolo ABC i cui vertici hanno coordinate Að, 6Þ, Bð0, Þ, C 6, 6. Calcola oi il erimetro e l area del triangolo. y ¼ x þ ; y ¼ x þ ; y ¼ 6 x þ ; erimetro ¼ 0; area ¼ Determina la natura del quadrilatero ABCD di vertici Að, Þ, B,, Cð, 8Þ, D 7, ecalcolane oi il erimetro e l area. e un rettangolo; erimetro ¼ ; area ¼ 7 8 Data la retta s di equazione y ¼ x þ siano A e D i suoi unti di ascissa 0 e ; scrivi le equazioni delle rette r e t entrambe di coefficiente angolare 8 che assano risettivamente er A eerd; indicato oi con C il unto di r di ascissa e con B il unto di t di ascissa, calcola l area del quadrilatero ACBD doo averne individuata la natura. 8 8 esercizio guidato Un triangolo ha area e due vertici nei unti Að, 0Þ e Bð, 0Þ; trova le coordinate del terzo vertice C saendo che si trova nel rimo quadrante e che aartiene alla retta di equazione y ¼ x þ. Considera il lato AB come base del triangolo: AB ¼ :::::: se l area è uguale a, l altezza misura:... il unto C aartiene alla retta data ed ha quindi coordinate generiche k, k þ la sua distanza dalla retta AB, che è l asse delle ascisse, è quindi k þ Basta adesso imorre che la distanza sia uguale all altezza., Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità

9 8 Sono dati i unti Að, Þ, B,, C 7, 9, D, ; un triangolo ha due vertici nei unti 8 8 medi dei segmenti AB e CD ed il terzo vertice è l intersezione degli assi di questi due segmenti. Doo aver individuato la natura di questo triangolo, trovane il erimetro e l area. erimetro ¼ ; area ¼ Un triangolo ha er lati le rette di equazioni y ¼ x þ, x þ y ¼ 0, x þ 0y ¼ 0; trova le coordinate dei suoi vertici e la misura delle tre altezze. ð8, Þ, ð, Þ, ð, Þ; 6 ffiffiffi, ffiffiffiffiffi, 8 ffiffiffiffiffiffiffiffi 09 8 Scrivi l equazione della retta che assa er il unto medio del segmento di estremi A, e B, e che intercetta sull asse y un segmento doio di quello intercettato sull asse x. ½6x þ y ¼ 0Š 86 Dati i unti Að, Þ, Bð, Þ, Cð, 0Þ, trova le coordinate del unto P di intersezione degli assi dei segmenti AB e BC e verifica che anche l asse del segmento AC assa er P. P, 87 Trova le coordinate dei vertici mancanti del quadrato ABCD saendo che un lato ha er estremi i unti A, e Bð, Þ e che i lati ad esso erendicolari intersecano l asse delle ordinate. Calcolane quindi il erimetro e l area. 8, 8, 0 ; erimetro ¼ ; area ¼ Fra le rette di equazione x ðk þ Þy k ¼ 0 individua: a. la retta r che assa er l origine ½x y ¼ 0Š b. la retta s che, insieme con r, e con l asse y forma un triangolo di area. ½x 6y þ 0 ¼ 0; 7x þ 6y þ 0 ¼ 0Š 89 Di un rettangolo ABCD si sa che il vertice A ha coordinate ð, Þ, il unto B aartiene all asse x ed il lato AB aartiene ad una retta di coefficiente angolare ; il centro del rettangolo è il unto P di coordinate ð, Þ. Trova le equazioni dei suoi lati e le coordinate dei rimanenti vertici. ½Bð, 0Þ, Cð7, Þ, Dð, 6Þ; y ¼ x þ, y ¼ x, y ¼ x þ, y ¼ x þ 9Š 90 Il triangolo ABC, isoscele di base AB ha il lato AB che aartiene alla retta di equazione x þ y ¼ 0eil lato AC sulla retta di equazione y ¼ ; trova le coordinate dei vertici del triangolo saendo che i lati congruenti misurano 6. Að, Þ; B, ; C ð, Þ; B, ; C ð 8, Þ 9 Un triangolo ABC ha area e due suoi vertici sono i unti Að, Þ e Bð, Þ. Trova le coordinate del vertice C saendo che aartiene alla retta di equazione x y þ ¼ 0. C ð, Þ; C, 9 Scrivi l equazione delle arallele alla bisettrice del rimo e terzo quadrante che distano da essa ffiffiffi ; siano r la arallela di ordinata ositiva e s quella di ordinata negativa. La rima interseca l asse delle ordinate nel unto Q, la seconda interseca l asse delle ascisse in R. SeP è il unto della bisettrice di ascissa 8, quali sono le coordinate del centro della circonferenza circoscritta al triangolo PQR?, Caitolo - Il iano cartesiano, la retta e le funzioni di roorzionalità