Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi

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1 Unità Esercizi In iù: esercizi interattivi Tema B SINTESI E RIEPILG Parole chiave Ascissa. 17 Asse delle ascisse. 17 Asse delle ordinate. 17 Asse. 17 Asse. 17 Coefficiente angolare. 10 Coordinata. 17 Distanza tra due unti. 17 Forma eslicita (dell equazione di una retta). 16 Forma imlicita (dell equazione di una retta). 16 Funzione lineare. 179 Funzione lineare a tratti. 11 rdinata. 17 rdinata all origine. 10 rigine. 17 Pendenza (di una retta). 10 Piano cartesiano. 17 Punto medio di un segmento. 17 Quadrante. 17 Rette arallele. 17 Rette erendicolari. 19 Sistema di riferimento dimetrico. 17 Sistema di riferimento monometrico. 17 Termine noto. 10 Formule e rorietà imortanti Distanza tra i due unti Að 1, 1 e Bð, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ ð 1 þð 1 Equazioni delle rette arallele agli assi cartesiani Punto medio tra i due unti Að 1, 1 e Bð, M 1 þ, 1 þ Equazione della retta in forma eslicita Retta arallela all asse = h = m + q = m Retta assante er l origine = k Retta arallela all asse Generica retta non arallela all asse Equazione di una generica retta nel iano cartesiano a þ b þ c ¼ 0, con a 6¼ 0ob 6¼ 0 Coefficiente angolare della retta assante er Að 1, 1 e Bð, m ¼ 1 1, con 1 6¼ Condizione di arallelismo er due rette di equazioni ¼ m þ q e ¼ m 0 þ q 0 m ¼ m 0 Condizione di erendicolarità er due rette di equazioni ¼ m þ q e ¼ m 0 þ q 0 m m 0 ¼ 1 Retta assante er un unto Pð 0, 0 e di coefficiente angolare m 0 0 ¼ mð 0

2 1. Richiami sul iano cartesiano TERIA a Vero o falso? a. se l ascissa e l ordinata di un unto sono uguali, il unto aartiene al rimo quadrante V F b. se P è un unto del secondo quadrante, il suo simmetrico risetto all asse aartiene al terzo quadrante V F c. se Pð, è tale che > 0, allora P aartiene al rimo o al terzo quadrante V F d. il simmetrico di Pð0, risetto all origine è P 0 ð, 0 V F [ affermazioni vere e false] Raresenta nel iano cartesiano i seguenti unti: Að, 1; B, ; Cð, ; D 1, Individua le coordinate dei unti indicati. D C E Comleta la seguente tabella, onendo una crocetta sulla casella corrisondente al quadrante al quale il unto aartiene. Punto B F H G A Quadrante ð, I II III IV ð 10, 100 I II III IV ð 10, 10 I II III IV ffiffiffi ð 1, 1 I II III IV ffiffiffi ffiffiffi ð, 1 I II III IV 7 Comleta la tabella. Punto ð, ð; ð, ð, Simmetrico risetto all asse Simmetrico risetto all asse Simmetrico risetto all origine Per quale valore di k il unto Pðk 6, k aartiene all asse? Per quale aartiene all asse? 9 ESERCIZI SVLT Determiniamo er quali valori di k il unto Pðk, k aartiene al quarto quadrante. Affinché il unto P aartenga al quarto quadrante l ascissa di P deve essere ositiva e l ordinata deve essere negativa, quindi k deve soddisfare il sistema: k > 0 k < 0 Risolvendo questo sistema si trova che deve essere: < k < 10 Determina er quali valori di k il unto Pðk, k aartiene al secondo quadrante. [k < ] 11 Determina er quali valori di k il unto Pðk þ, k aartiene al rimo quadrante. < k < 1 Determina er quali valori di k il unto P 1 k 1, 10 k aartiene al terzo quadrante. [Per nessun valore reale di k] Unità Rette nel iano cartesiano Raresenta nel iano cartesiano il quadrato ABCD che ha due vertici in Að, 1 e Bð, 1 e il centro in Pð0,. 6 Raresenta nel iano cartesiano il rombo ABCD che ha due vertici in Að, e Bð0, 6 e il centro in Pð0,. 1 Determina er quali valori di k il unto Pð k, k þ k aartiene al secondo quadrante. [k > ] 1 Determina er quali valori di k il unto Pðk 1, k þ aartiene al quarto quadrante. [k < ]. Distanza tra due unti TERIA a. 17 Distanza tra due unti 1 Siega quale formula utilizzeresti, fra le seguenti, er calcolare la distanza fra A(1, ) e B(1, 11), motivando la risosta (otrebbe essere corretta iù di una formula): A j A B j B j B A j C A B D B A 0

3 Tema B Sistemi lineari e retta 16 Siega quale formula utilizzeresti, fra le seguenti, er calcolare la distanza tra A(, ) e B( 1, ), motivando la risosta (otrebbe essere corretta iù di una formula). 17 A j A B j B j B A j Vero o falso? C A B D B A a. la distanza tra due unti nel iano cartesiano è ositiva o negativa a seconda del quadrante in cui si trovano i unti V F b. comunque scelti tre unti distinti A, B e C, risulta semre AB < AC þ BC V F c. la distanza fra A(6, 10) e B(, 10) è data dalla formula B A V F d. la distanza del unto Pð, dall origine è ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi data dalla formula þ V F e. la distanza del unto Pð, dal suo simmetrico risetto all origine è data dalla formula ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ V F [ affermazioni vere e false] ESERCIZI GUIDAT Determina la misura del erimetro e l area del triangolo ABC di vertici Að1,, Bð, e Cð, 1. a. Utilizzando la formula er calcolare la distanza tra due unti nel iano cartesiano, uoi ricavare che: AB ¼ :::::, BC ¼ :::::, AC ¼ ::::: Quindi il erimetro del triangolo ABC misura... b. Per il calcolo dell area, osserva la figura qui sotto. A R C 06 Determina la distanza tra A e B. ffiffiffi 1 Að 1,, Bð, [ ] 19 Að 1, 0, Bð, 0 [] 0 Að1,, Bð1, [] ffiffiffi 1 Að, 1, Bð 1, [ ] Að,, Bð 1, [ ] ffiffiffiffiffiffi Að, 1, Bð, [ 1 ] ffiffiffi ffiffiffi Að1,, Bð1 þ,6 [] ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi Að,, Bð, [ 17 ] 6 Verifica che i unti (0, 0), B(, 1), C(, ), D( 1, ) sono i vertici di un rombo BCD. 7 Verifica che il triangolo di vertici (0, 0), B(, 1), C(, 6) è rettangolo. (Suggerimento: basta verificare che è soddisfatto il teorema di Pitagora) Perimetri e aree Determina la misura del erimetro e l area del triangolo ABC di vertici A, B e C Að1,, Bð 1, 0, Cð, 0 [Perimetro ¼ þ ffiffiffi ; Area ¼ ] Að 1, 1, Bð, 1, Cð, 1 [Perimetro ¼ þ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 9 ; Area ¼ ] Að 1, 1, Bð 1,, Cð1, [Perimetro = ffiffiffi þ ; Area ¼ ] Að0,, Bð,, Cð, [Perimetro ¼ þ ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 9 þ 61 ; Area ¼ 10] H B Puoi calcolare l area del triangolo ABC sottraendo dall area del rettangolo AHKR, le aree dei tre triangoli AHB, BKC e CRA. Aiutandoti anche con la quadrettatura, uoi ricavare che: Area di AHKR ¼ 6 ¼ Area di AHB ¼ ¼ Area di BKC ¼ :::::::::: Area di CRA ¼ :::::::::: Quindi l area del triangolo ABC è: ::::: ::::: ¼ ::::: [Perimetro ¼ þ ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 0 þ 7 ; Area ¼ 11] Determina la misura del erimetro e l area del triangolo ABC di vertici A, B e C. A(1, ), B(, ), C( 1, 1) Perimetro ¼ K ffiffiffi ffiffiffi þ ffiffiffiffiffiffi 1 þ 1 ; Area ¼ A(, ), B( 1, 0), C(, ) [Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 1 þ 1; Area ¼ 1] A(1, 1), B(, ), C(, 0) [Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 10 ; Area ¼ ] 6 A( 1, 1), B(, 1), C(, ) [Perimetro ¼ ffiffiffiffiffiffi 1 þ ; Area ¼ 6] 7 A(, ), B(, 0), C(0, ) [Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 9 þ ; Area ¼ 7] A(, ), B(, 0), C(, ) [Perimetro ¼ 6 ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 10 ; Area ¼ ]

4 9 Doo aver determinato la misura del erimetro e l area di ciascuna delle figure qui sotto, individua: a. quella che ha il erimetro minore e quella che ha il erimetro maggiore; b. quella che ha l area maggiore e quella che ha l area minore. 0 Doo aver determinato la misura del erimetro e l area di ciascuna delle figure qui sotto, individua: a. quella che ha il erimetro minore e quella che ha il erimetro maggiore b. quella che ha l area maggiore e quella che ha l area minore. Unità Rette nel iano cartesiano Esercizi vari 1 ESERCIZI SVLT Determiniamo, sull asse, il unto P, equidistante dai due unti Að 1, 1 e Bð, 1. Un generico unto P aartenente all asse ha coordinate (0, ), dove uò essere qualsiasi numero reale. Esrimendo le distanze di Pð0, da A ( 1, 1) e da B(, 1), otteniamo: PA ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þð 1 e PB ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þð þ 1 sserviamo ora che la condizione PA ¼ PB equivale a PA ¼ PB (erché PA e PB, essendo misure di segmenti, sono numeri senz altro ositivi). Imonendo che sia PA ¼ PB otteniamo l equazione nell incognita : 1 þð 1 ¼ 9 þð þ 1 che, risolta, fornisce ¼. Pertanto Pð0,. Determina il unto P dell asse equidistante dai due unti A( 1, ) e B(, ). P,0 Determina il unto P, aartenente al semiasse delle ascisse negative, la cui distanza dal unto Q 1,0 sia uguale a. P,0 Determina il unto P dell asse che forma con A(, ) e B(, ) un triangolo isoscele sulla base AB. P 0, 7. Punto medio di un segmento TERIA a. 17 Vero o falso? a. se A è nel rimo quadrante e B è nel rimo quadrante, anche il unto medio di AB è nel rimo quadrante V F b. se A ha coordinate intere e B ha coordinate intere, anche il unto medio di AB ha coordinate intere V F c. se P 0 è il simmetrico di P risetto all asse, allora il unto medio di PP 0 aartiene all asse V F d. se P 0 è il simmetrico di P risetto all asse, allora il unto medio di PP 0 aartiene all asse V F e. se il unto medio del segmento AB è l origine, allora A e B sono simmetrici risetto all asse o risetto all asse V F [ affermazioni vere e false] 07

5 Tema B Sistemi lineari e retta Determina il unto medio del segmento AB, di estremi A e B. 6 A( 1, ) B(, ) [(1, )] 7 A( 1, 0) B(, 0),0 A(1, ) B(1, ) 11 1, 9 A(, 1) B( 1, ) 1, 1 0 A(, ) B( 1, ) [(1, )] 1 A(, 1) B(, ) [(1, )] ffiffiffi ffiffiffi Að1, Bð1 þ,6 [(1, )] ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi Að, Bð, [ð0, ] ESERCIZI SVLT Determiniamo le coordinate del simmetrico del unto Að 1, risetto a P 1,. Il simmetrico di A risetto a P è il unto A 0 tale che il unto medio di AA 0 coincide con P. Le coordinate ð, di A 0 devono soddisfare erciò le seguenti equazioni: 1 þ ¼ 1 ¼ La media aritmetica delle ascisse di Að 1, e A 0 ð, deve essere uguale all ascissa di P La media aritmetica delle ordinate di Að 1, e A 0 ð, deve essere uguale all ordinata di P Risolvendo tali equazioni si ricava che ¼ e ¼ 1. Quindi A 0, 1. Determina l estremo B del segmento AB, noto l estremo A( 1, ) e il unto medio M(, ) di AB. [B(9, 7)] 6 Determina le coordinate del unto A0, simmetrico di A(, ) risetto a P 1, 1. A 0, 7 Determina l estremo B del segmento AB, noto l estremo A(, 9) e il unto medio M(6, 6) di AB. [B(, )] Determina le coordinate del unto A0, simmetrico di A(, ) risetto a P ;. [A 0 ð 7, 6] 9 Determina le misure delle mediane del triangolo ABC di vertici A( 1, 1), B( 1, ), C(1, ). ffiffiffi 1 ffiffiffiffiffiffi 1 ffiffiffiffiffiffi, 1, 60 Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A( 1, 0), B(, 0), C(, ), D(0, ) è un arallelogramma, mostrando che i lati oosti sono congruenti. Verifica, inoltre, che le diagonali di ABCD si tagliano scambievolmente er metà. 61 Tre vertici consecutivi di un arallelogramma ABCD sono A(1, 1), B(, ) e C(, ). Determina il vertice D. (Suggerimento: osserva che D è il simmetrico di B risetto a...) [D(, )] 6 Verifica che il triangolo di vertici A(0, 1), B(1, 0) e C(, ) è isoscele sulla base AB e determina la misura dell altezza relativa ad AB. Altezza ¼ 7 ffiffiffi 6 Verifica che il triangolo di vertici Að ffiffiffi, 1, ffiffiffi ffiffiffi Bð,, Cð,1 è equilatero. Determina inoltre le misure delle altezze del triangolo. [Altezze ¼ ffiffiffi ] 0 Esercizi riassuntivi sul calcolo di distanze e unti medi nel iano cartesiano ffiffiffi 6 Verifica che il triangolo di vertici Að,1, Bð ffiffiffi ffiffiffi,, Cð, è equilatero. 6 Verifica che il triangolo di vertici Að 1, 1, Bð0, e Cð, è isoscele sulla base AB e determina la misura " dell altezza relativa ad AB. 7 ffiffiffi # 66 Determina erimetro e area del triangolo ABC di vertici Að 1,, Bð, 1, Cð,. Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 1 þ 1 þ ; Area ¼ 67 Determina erimetro e area del triangolo ABC di vertici A(, ), B(, 0), C(0, ). [Perimetro ¼ 6 ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 10 ; Area ¼ ] 6 Determina erimetro e area del quadrilatero ABCD di vertici A(, 1), B(1, ), C(, 1), D(0, ). [Perimetro ¼ ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 1 þ 17 þ ; Area ¼ 16] 69 Determina erimetro e area del quadrilatero ABCD di vertici A(, 0), B(, ), C(, 1), D(0, ). [Perimetro ¼ ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 1 þ 1 þ ; Area ¼ 0] 70 Verifica che i unti A(1, 1), B(, 1), C(, 1), D(0, 1) sono i vertici di un arallelogramma ABCD. (Suggerimento: basta verificare che i lati oosti hanno la stessa misura e quindi sono congruenti) 71 Verifica che i unti A(1, 1), B(, 0), C(, ), D(0, ) sono i vertici di un rombo ABCD. Determina erimetro e area del rombo. [Perimetro ¼ ffiffiffiffiffiffi 10 ; Area ¼ ] 7 Verifica che il triangolo di vertici A( 1, 1), B(, 0), C(, 6) è rettangolo. Determina erimetro e area del triangolo. (Suggerimento: basta verificare che è soddisfatto il teorema di Pitagora) [Perimetro ¼ ffiffiffiffiffiffi ffiffiffi 10 þ ; Area ¼ 10] 7 Stabilisci se i tre unti A( 1, ), B(0, 1), C(, ) sono allineati. (Suggerimento: ricorda la disuguaglianza triangolare) 7 Stabilisci se i tre unti A( 1, ), B(1, 1), C(, ) sono allineati. Determina quindi la distanza tra il unto " medio di AB e il unto medio di BC. ffiffiffi #

6 7 Determina il unto P dell asse, equidistante da A( 1, ) e B(, ). Determina quindi la misura dell altezza relativa alla base del triangolo isoscele APB. P ;,0 7 ffiffiffiffiffiffi Determina le misure delle mediane del triangolo ABC di vertici A(1, 1), B(, 1), C( 1, ). [,, ffiffiffi ] 77 Determina il unto P dell asse che forma con A(, ) e B(, ) un triangolo isoscele sulla base AB. 7 P 0, 10 7 Determina er quali valori di a il unto medio del segmento AB, avente er estremi i unti Aða 1, a e Bð a, 1 a, ha ascissa uguale all ordinata. a ¼ 79 Determina le coordinate del unto A0, simmetrico di A, 1 risetto a P 1,. Determina quindi la distanza tra A e A 0. A 0, ; ffiffiffiffiffiffi 1 1 Dati i unti Að,, Bð, k, Cðh,, Dð,, determina h e k in modo che il quadrilatero ABCD sia un arallelogramma. Determina l area di tale arallelogramma. [h ¼, k ¼ ; Area ¼ 1] Considera il triangolo di vertici A(, ), B(, 0), C(1, ), verifica che ABC b < CAB b < BCA. b (Suggerimento: ricorda le relazioni di disuguaglianza che sussistono tra gli angoli di un triangolo e i lati oosti) Dati i unti A(, ) e B(0, ), determina: a. le coordinate del unto P dell asse equidistante da A edab; b. le coordinate del unto Q dell asse equidistante da A edab. a. P 7,0 ; b. Q 0, 7 Considera i unti Að1, 0, Bð0, 1, Cð a, a. a. Sia M 1 il unto medio di AB, M il unto medio di BC e M il unto medio di M 1 M. Determina a in modo che M abbia ascissa doia dell ordinata. b. Determina a in modo che C sia equidistante da A e da B. a. a ¼ 7 ; b. a ¼ 7 Unità Rette nel iano cartesiano 0 Tre vertici consecutivi di un arallelogramma ABCD sono A(, ), B(0, ) e C(, 1). Determina: a. le coordinate del vertice D; b. il erimetro del arallelogramma che ha come vertici i unti medi dei lati di ABCD. (Suggerimento: D è il simmetrico di B risetto al centro del ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi arallelogramma) [a. D(, 1); b. 9 þ 7 ] Di un arallelogramma ABCD si conoscono il vertice Að, e i unti medi Mð, 1 ed Nð 1, 0, risettivamente del lato AB e del lato AD. Determina: a. le coordinate dei vertici B, C e D; b. l area e il erimetro del arallelogramma. [a. Bð6, 0, Cð,, Dð0, ; b. Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 17 ; Area ¼ ]. La funzione lineare TERIA a. 179 Esercizi reliminari 6 Comleta, individuando il coefficiente angolare m e il termine noto q. a. ¼ m ¼ :::::::::: q ¼ :::::::::: b. ¼ þ 1 m ¼ :::::::::: q ¼ :::::::::: c. ¼ 1 m ¼ :::::::::: q ¼ :::::::::: d. ¼ m ¼ :::::::::: q ¼ :::::::::: e. ¼ m ¼ :::::::::: q ¼ :::::::::: 7 Ciascuna delle rette disegnate nelle seguenti figure è il grafico di una delle seguenti funzioni lineari: a. ¼ þ b. ¼ c. ¼ d. ¼ þ Scrivi, al di sotto di ciascun grafico, l equazione della funzione corrisondente. ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 09

7 Tema B Sistemi lineari e retta 10 Una funzione lineare è definita da un equazione in cui il termine noto è. Quali sono le coordinate del unto in cui il grafico della funzione interseca l asse? Il grafico della funzione lineare e le funzioni lineari a tratti 90 Saendo che ¼, comleta la seguente tabella e raresenta la funzione corrisondente Traccia i grafici delle seguenti funzioni lineari, doo avere determinato le coordinate di almeno quattro unti ¼ ¼ ¼ 9 ¼ þ 9 ¼ 96 ¼ þ 97 ¼ þ 1 9 ¼ 1 þ 1 99 ¼ þ 100 ¼ ¼ 10 ¼ þ 10 ¼, 10 ¼ 0, þ 10 ¼, 1 Raresenta i grafici delle seguenti funzioni lineari a tratti. ( þ se < 106 f ð ¼ þ 6 se ( se f ð ¼ se < 0 9 Una funzione lineare è definita da un equazione in cui il coefficiente angolare è. L angolo che la retta forma con l asse è acuto o ottuso? ( þ se 1 10 f ð ¼ þ se > 1 < f ð ¼ 1 se : se < >< se f ð ¼ se 0 < >: se > se 0 >< 111 f ð ¼ se 0 < >: 6 se > 11 Determina er quale valore di k il grafico della funzione ¼ðk þ 1 k assa er il unto di coordinate ð,, quindi traccia il grafico della funzione corrisondente a questo valore di k. [k ¼ 0] 11 Determina er quale valore di k il grafico della funzione ¼ðk þ þ k assa er il unto di coordinate ð 1,, quindi traccia il grafico della funzione corrisondente a questo valore di k. [k ¼ ] Traccia il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni lineari, doo aver determinato i suoi unti di intersezione con gli assi cartesiani (nelle risoste sono indicati solo i unti di intersezione con gli assi). 11 ¼ 1 ð0, 1; 1,0 11 ¼ þ [(0, ); (, 0)] 116 ¼ þ [(0, ); ( 1, 0)] 117 ¼ [(0, ); (, 0)] 11 ¼ 1 þ [(0, ); (, 0)] 119 ¼ 1 1 [(0, 1); (, 0)] 10 ¼ þ ð0, ; 9,0 ffiffiffi ffiffiffi 11 ¼ þ ½ð0, ; ð,0š ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi 1 ¼ þ ½ð0, ; ð,0š 1 Determina l area del triangolo formato dal grafico della funzione ¼ þ con gli assi cartesiani. [1] 1 Determina l area del triangolo formato dal grafico della funzione ¼ þ con gli assi cartesiani.

8 I legami tra i coefficienti e le caratteristiche del grafico 1 Ciascuna delle rette disegnate nelle seguenti figure è il grafico di una funzione lineare, di equazione ¼ m þ q. Per ogni grafico, oni una crocetta sulle caselle che esrimono i segni di m ediq. m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 m > 0 m < 0 q > 0 q < 0 Unità Rette nel iano cartesiano 16 Quali condizioni devono soddisfare m e q in modo che il grafico della funzione ¼ m þ q intersechi l asse nel unto di coordinate ð0, e formi con l asse un angolo ottuso? [m < 0; q ¼ ] 17 È data la funzione ¼ð k þ k, con k R. Stabilisci er quali valori di k il suo grafico interseca l asse in un unto di ordinata non negativa. k 1 1 È data la funzione: ¼ðk þ þ k þ 1, con k R. Stabilisci er quali valori di k la retta grafico della funzione forma con l asse un angolo ottuso. [k < ] 19 È data la funzione: ¼ k þ k, con k R. Stabilisci er quali valori di k la retta grafico della funzione forma con l asse un angolo acuto. [k < 0] 10 È data la funzione: ¼ð k þ k 1, con k R. Stabilisci er quali valori di k la retta grafico della funzione forma con l asse un angolo acuto. [k < ] 11 Data la funzione ¼ðk þ k þ 1, con k R, stabilisci er quali valori di k la retta grafico della funzione forma con l asse un angolo ottuso. [ < k < ] 1 È data la funzione: ¼ðk þ k þ 1, con k R. Stabilisci er quali valori di k il suo grafico forma con l asse un angolo ottuso e interseca l asse in un unto di ordinata ositiva. 1 < k <. L equazione della retta nel iano cartesiano TERIA a. 1 Esercizi reliminari 1 Vero o falso? a. ogni retta del iano cartesiano uò essere raresentata da un equazione del tio ¼ m þ q V F b. ogni retta del iano cartesiano uò essere raresentata da un equazione del tio a þ b þ c ¼ 0 V F c. il coefficiente angolare della retta di equazione þ 1 ¼ 0èzero V F d. l equazione þ ¼ 1èl equazione imlicita di una retta V F e. l equazione ¼ 1èl equazione eslicita di una retta V F [ affermazioni vere e false] 1 Vero o falso? a. ogni retta arallela all asse ha equazione del tio ¼ k, dove k è un numero reale V F b. una retta di equazione ¼ m þ q è arallela all asse se e solo se m ¼ 0 V F c. il coefficiente angolare di ogni retta arallela all asse è zero V F d. il coefficiente angolare di ogni retta arallela all asse è zero V F [ affermazioni vere e false] 1 Ciascuna delle rette disegnate nella figura qui a fianco ha una delle seguenti equazioni: a. ¼ ; b. ¼ ; c. ¼ ; d. ¼ 1 Associa a ogni grafico la sua equazione. 11

9 Tema B Sistemi lineari e retta 16 Rette assanti er l origine e arallele agli assi ESERCIZI GUIDAT Scrivi le equazioni delle rette assanti er Pð, e arallele agli assi cartesiani, e l equazione della retta assante er P e er l origine. La retta arallela all asse ha tutti i unti di ordinata uguale a : la sua equazione è erciò: ¼ ::::: La retta arallela all asse ha tutti i unti di ascissa uguale a : la sua equazione è erciò: ¼ ::::: La retta P ha equazione del tio ¼ m (oiché assa er l origine). Per determinare m, sostituisci, in tale equazione, le coordinate di Pð, al osto di e ; otteniamo l equazione: ¼ m ð, da cui m ¼ ::::: Di conseguenza la retta P ha equazione: ¼ ::::: Per ciascuno dei seguenti unti P, disegna le rette assanti er P e arallele agli assi cartesiani e la retta assante er P e assante er l origine. Scrivi oi le equazioni di tali rette. 17 Pð 1, ½ ¼ 1; ¼ ; ¼ Š 1 Pð0, ½ ¼ 0; ¼ Š 19 Pð, ¼ ; ¼ ; ¼ 10 Pð, 1 ¼ ; ¼ 1; ¼ 1 11 Pð, ½ ¼ ; ¼ ; ¼ Š 1 Pð0, ½ ¼ 0; ¼ Š 1 Pð, 0 ½ ¼ ; ¼ 0Š 1 Pð, 1 ¼ ; ¼ 1; ¼ 1 Scrivi le equazioni delle rette raresentate nella seguente figura. P(, ) Q(, ) 16 Dato il unto Að,, siano B, C e D, risettivamente, i simmetrici di A risetto all asse, all origine e all asse. Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati e le diagonali del quadrato ABCD. 17 Dato il unto Að,, siano B, C e D, risettivamente, i simmetrici di A risetto all asse, all origine e all asse. Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati e le diagonali del rettangolo ABCD. Forma eslicita e forma imlicita 1 ESERCIZI GUIDAT Scrivi l equazione della retta þ ¼ 0 in forma eslicita, identificane il coefficiente angolare, il termine noto e tracciane il grafico. Per scrivere l equazione della retta in forma eslicita devi risolvere l equazione þ ¼ 0 risetto alla variabile : þ ¼ 0 ) ¼ :::::::::: ) ¼ 1 þ :::::::::: Dall equazione eslicita uoi riconoscere immediatamente il coefficiente angolare e il termine noto: 1 m ¼ 1, q ¼ ::::: Dal termine noto uoi dedurre che la retta incontra l asse delle ordinate nel unto P(...,...). Per tracciare il grafico della retta basta individuarne un altro unto; er esemio: se ¼, allora ¼ ::::: quindi la retta assa anche er il unto Q(,...). ra uoi tracciare il grafico della retta nella figura redisosta qui a fianco.

10 Scrivi l equazione eslicita delle seguenti rette, identificane il coefficiente angolare e il termine noto e tracciane il grafico (nelle risoste è indicata solo l equazione in forma eslicita) þ 1 ¼ 0 ¼ þ 1 1 þ 1 ¼ 0 ¼ 1 þ 1 10 þ ¼ 0 ½ ¼ þ Š 11 ¼ 0 ¼ 1 1 þ ¼ 0 ¼ þ 1 La condizione di aartenenza di un unto a una retta 1 ESERCIZI SVLT Stabiliamo se i unti A 1,1 e B 1, aartengono alla retta di equazione þ 1 ¼ 0. Per stabilire se il unto A 1, 1 aartiene alla retta, sostituiamo nell equazione þ 1 ¼ 0, al osto di edi, le coordinate di A; otteniamo: 1 1 þ 1 ¼ 0 ossia 1 ¼ 0 Avendo ottenuto un uguaglianza falsa, concludiamo che il unto A non aartiene alla retta. Analogamente, sostituendo nell equazione le coordinate di B 1,, otteniamo: 1 þ 1 ¼ 0 ossia 0 ¼ 0 Avendo ottenuto una uguaglianza vera, concludiamo che il unto B aartiene alla retta. ffiffiffi ffiffiffi 1 Stabilisci quali dei unti Að0, 1; Bð 1, ; 1 C 0, aartengono alla retta avente equazione þ 1 ¼ Determina il unto della retta þ ¼ 0 di ascissa., 1 17 Determina il unto della retta þ ¼ 0 di ordinata., 1 Determina er quale valore di a la retta di equazione a þ þ a ¼ 0 assa er il unto P(1, ). a ¼ 1 19 Determina er quale valore di a il unto Pða þ 1, a aartiene alla retta di equazione þ 1 ¼ 0. ½a ¼ 0Š 160 Determina il unto P aartenente alla retta di equazione þ 1 ¼ 0, equidistante dal unto Að, 0 e dal unto Bð,. P 1, 9 Unità Rette nel iano cartesiano 161 Esercizi con arametri ESERCIZI SVLT Determiniamo er quali valori di k la retta di equazione ðk þ k ¼ 0: a. è arallela all asse b. è arallela all asse c. assa er il unto Pð, a. Una retta arallela all asse ha equazione del tio ¼ a. Pertanto l equazione data raresenterà una retta arallela all asse se e solo se il coefficiente di è nullo, cioè er k ¼. b. Una retta arallela all asse ha equazione del tio ¼ b. Pertanto l equazione data raresenterà una retta arallela all asse se e solo se il coefficiente di è nullo, cioè er k ¼ 0. c. Imonendo il assaggio er Pð, otteniamo l equazione: ðk þ k ð ¼ 0 che ha come soluzione k ¼ Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ k 1 þ k ¼ 0: a. è arallela all asse ; b. è arallela all asse ; c. assa er il unto Pð1,. [a. k ¼ ; b. k ¼ 0; c. k ¼ ] 16 Determina er quali valori di k la retta di equazione k ðk þ 1 k ¼ 0: a. è arallela all asse ; b. è arallela all asse ; c. assa er l origine. [a. k ¼ 0; b. k ¼ 1; c. k ¼ ] 16 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk k þ k ¼ 0: a. è arallela all asse ; b. è arallela all asse ; c. assa er il unto Pð 1, 1. [a. k ¼ ; b. k ¼ 0; c. k ¼ 1] 1

11 Tema B Sistemi lineari e retta 16 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ ðk þ k k þ k ¼ 0: a. è arallela all asse ; b. è arallela all asse ; c. assa er l origine. a. k ¼ ; b. k ¼ _ k ¼ 0; c. k ¼ 0 _ k ¼ 166 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ þ 1 ¼ 0 forma con l asse un angolo ottuso. k > 167 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk 1 þ þ 1 ¼ 0 forma con l asse un angolo acuto. [k < 1] 16 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þðk 1 þ ¼ 0 forma con l asse un angolo ottuso. [k < 1 _ k > ] 6. Rette arallele e osizione reciroca di due rette TERIA a. 17 Esercizi reliminari 169 Comleta la seguente tabella, sull esemio della seconda riga. Equazioni delle rette Coefficienti angolari Le rette sono arallele? ¼ þ 1 ¼ þ 1 m ¼ m 0 ¼ ¼ 1 þ 1 ¼ 0, þ 1 m ¼ :::::::::: m0 ¼ :::::::::: ¼ 1 þ 1 ¼ 0, þ 1 m ¼ :::::::::: m0 ¼ :::::::::: ¼ þ 1 7 ¼ 0 m ¼ :::::::::: m 0 ¼ :::::::::: 6 þ þ ¼ 0 ¼ þ 10 m ¼ :::::::::: m 0 ¼ :::::::::: Sì No erché m 6¼ m 0 Sì No erché... Sì No erché... Sì No erché... Sì No erché gni retta della rima colonna è arallela a una della seconda. Fai le oortune associazioni. a. ¼ 1 A. þ þ 10 ¼ 0 b. ¼ þ 1 B. ¼ 0, c. ¼ C. þ 6 ¼ 0 d. ¼ 0, 1 D. 10 ¼ 0 e. þ 1 ¼ 0 E. ¼ 100 f. þ þ 1 ¼ 0 F. ¼ 1 þ 1 Stabilire la osizione reciroca di due rette Stabilisci se le seguenti coie di rette sono formate da rette arallele distinte, incidenti o coincidenti ¼ 0 ¼ 1 1 [Parallele e distinte] ffiffiffi ffiffiffi 17 ¼ 0 ¼ 0 [Coincidenti] ffiffiffi 17 1 ¼ 0 þ ¼ 0 [Parallele e distinte] 17 þ 1 ¼ 0 ¼ þ [Incidenti] 17 ð ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi þ 1 þð 1 þ ¼ 0 ¼ ð þ þ [Parallele e distinte] 176 þ 1 ¼ 0 6 þ ¼ 0 [Coincidenti] ffiffiffi ffiffiffi 177 þ 1 ¼ 0 þ 1 ¼ 0 [Incidenti] ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi 17 ð1 þð 1 ¼ 0 þ 1 þ ¼ 0 [Parallele e distinte] þ ¼ 0 þ ¼ 0 [Incidenti] 10 1 ffiffiffi 1 ¼ 0 ffiffiffi ffiffiffi 6 ¼ 0 [Coincidenti]

12 11 Determina er quale valore di k le rette di equazioni þ 1 ¼ 0e9 þ k þ 1 ¼ 0 sono arallele. [k ¼ ] 1 Determina er quale valore di k le rette di equazioni k þðk 1 þ ¼ 0e þ k ¼ 0 sono arallele. k ¼ 1 1 Determina er quali valori di h e k risultano coincidenti le rette di equazioni: þ þ h ¼ 0; k ¼ 0 [h ¼ ; k ¼ ] Punto di intersezione di due rette Verifica che le seguenti coie di rette sono incidenti e determina le coordinate del loro unto di intersezione. 1 þ 1 ¼ 0 ¼, ¼ 0 þ þ 1 ¼ 0 1 ; 16 ¼ þ 1 ¼ 0 1 ; 17 ¼ 1 ¼ 1 ½ð0, 1Š 1 ¼ 0 þ 1 ¼ 0 ½ð, 1Š 19 Verifica che il unto di intersezione delle rette di equazione ¼ 0 e 1 ¼ 0 aartiene alla retta di equazione ¼ Determina le equazioni delle rette arallele agli assi assanti er il unto di intersezione delle rette di equazioni 1 ¼ 0e ¼ 1 þ 1. ¼ 7, ¼ Determina le coordinate dei vertici del triangolo avente i lati sulle rette di equazioni: þ 11 ¼ 0; ¼ 0; þ ¼ 0 Calcola inoltre l area di tale triangolo. 1,, ð, 1, ð 1, ; Area ¼ 19 Determina le coordinate dei vertici del arallelogramma avente i lati sulle rette di equazioni: ¼ 0; þ ¼ 0; þ 1 ¼ 0; þ þ ¼ 0 Determina inoltre le coordinate del unto di intersezione delle diagonali del arallelogramma. ð1, 0; ð 1, ;, 10 ;, ; unto di intersezione: 6, 19 Determina er quale valore di k il unto di intersezione delle rette di equazioni þ þ k ¼ 0e ¼ 0 ha ordinata uguale a. [k ¼ ] 19 Determina er quale valore di k il unto di intersezione delle rette di equazioni þ 1 ¼ 0e ¼ 0 aartiene alla retta di equazione k þ 1 ¼ 0. [k ¼ 1] 19 Determina er quale valore di k le due rette di equazioni k ¼ 0e k 1 ¼ 0 si incontrano in un unto aartenente alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante. [k ¼ 1] Unità Rette nel iano cartesiano 7. Rette erendicolari TERIA a. 19 Esercizi reliminari 196 Comleta la seguente tabella, sull esemio della seconda riga. Equazioni delle rette Coefficienti angolari Le rette sono erendicolari? ¼ þ 1 ¼ 0 m ¼ m 0 ¼ 1 L equazione eslicita della seconda retta è ¼ 1 Sì erché No mm 0 ¼ 1 ¼ 0, þ 1 ¼ þ 10 þ 1 ¼ 0 ¼ þ m ¼ :::::::::: m 0 ¼ :::::::::: m ¼ :::::::::: m 0 ¼ :::::::::: Sì No erché... Sì No erché... 1 ¼ 0 ¼ m ¼ :::::::::: m 0 ¼ :::::::::: ffiffiffi ffiffiffi ¼ð ffiffiffi ffiffiffi 6 þ 1 ð þ 6 ¼ 0 m ¼ :::::::::: m 0 ¼ :::::::::: Sì No erché... Sì No erché... 1

13 Tema B Sistemi lineari e retta 197 gni retta della rima colonna è erendicolare a una della seconda. Fai le oortune associazioni. a. ¼ 10 A. ¼, þ 1, b. ¼ B. þ ffiffiffi ¼ 0 c. þ þ 1 ¼ 0 C. ¼ d. ¼ 0, þ 0, D. ¼ e. ¼ 0 E. ¼ þ 9 f. 10 þ ¼ 0 F. 6 9 ¼ 0 Esercizi sulla erendicolarità tra rette Riconosci quali delle seguenti coie di rette sono erendicolari. 19 ¼ þ 1 þ ¼ ¼ 1 þ þ ¼ 0 ffiffiffi ffiffiffi 00 þ 1 ¼ 0 þ ¼ 0 01 þ 7 ¼ 0 ¼ 0, 0 ¼ð ffiffiffi ffiffiffi 1 ¼ð þ 1 ffiffiffi 0 6 ¼ 0 ¼ ð ffiffiffi ffiffiffi þ 1 1 ¼ 0 ¼ 1 Esercizi riassuntivi su erendicolarità e arallelismo con arametri 0 Scrivi le equazioni di due rette erendicolari alla retta di equazione þ 1 ¼ Scrivi l equazione della retta assante er l origine e erendicolare alla retta di equazione ¼ 1. ¼ 07 Scrivi l equazione della retta assante er l origine e erendicolare alla retta di equazione ¼ 1. ¼ 16 0 ESERCIZI SVLT Sono date la retta r di equazione þðk þ 1 ¼ 0 e la retta s di equazione þ 1 ¼ 0. Determiniamo er quali valori di k la retta r è: a. arallela alla retta s; b. erendicolare alla retta s. Poniamo le equazioni di r ed s in forma eslicita, in modo da individuare i coefficienti angolari. þðk þ 1 ¼ 0 þ 1 ¼ 0 ¼ k 1 (er k 6¼ k ¼ þ 1 m r ¼ k m s ¼ a. Affinché la retta r sia arallela alla retta s deve essere m r ¼ m s. Ciò si traduce nell equazione: k ¼, da cui si ricava k ¼ 1 b. Affinché la retta r sia erendicolare alla retta s deve essere m r ¼ 1 m s. Ciò si traduce nell equazione: k ¼ 1, da cui si ricava k ¼ 1 09 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ 1 ¼ 0è: a. arallela alla retta di equazione ¼ ; [k ¼ 0] b. erendicolare alla retta di equazione ¼ þ. [k ¼ 1] 10 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ ¼ 0è: a. arallela alla retta di equazione ¼ þ 1; [k ¼ ] b. erendicolare alla retta di equazione ¼ 1. k ¼ 11 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ 1 ðk þ þ ¼ 0è: a. arallela alla retta di equazione ¼ ; k ¼ b. erendicolare alla retta di equazione ¼. k ¼ 1 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ 1 ðk þ ¼ 0è: a. arallela all asse ; k ¼ 1 b. arallela all asse ; [k ¼ ] c. arallela alla retta di equazione ¼ ; k ¼ 9 d. erendicolare alla retta di equazione ¼. [k ¼ 0] 1 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk ð k þ 1 ¼ 0è: a. arallela all asse ; [k ¼ ] b. arallela all asse ; [k ¼ ] c. arallela alla retta di equazione þ þ ¼ 0. [k ¼ ] d. erendicolare alla retta di equazione: þ ¼ 0 [k ¼ 7]

14 1 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ 1 ¼ 0: a. assa er il unto Pð1, 1; [k ¼ 1] b. è arallela all asse ; [k ¼ ] c. è arallela all asse ; [Imossibile] d. è arallela alla retta di equazione ¼ ; [k ¼ ] e. è erendicolare alla retta di equazione: þ þ ¼ 0 [k ¼ ] 1 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ ¼ 0: a. assa er il unto Pð, ; [k ¼ ] b. è arallela all asse ; [Imossibile] c. è arallela alla retta di equazione ¼ þ 1; [k ¼ 1] d. è erendicolare all asse ; [k ¼ ] e. è erendicolare alla retta di equazione ¼. k ¼ 16 Determina er quali valori di k la retta di equazione ðk þ 1 ðk þ þ ¼ 0: a. assa er il unto Pð, ; k ¼ b. è arallela all asse ; [k ¼ ] c. è arallela alla retta di equazione þ ¼ 0; k ¼ d. è erendicolare all asse ; [k ¼ 1] e. è erendicolare alla retta di equazione: ¼ 0 k ¼ 11 6 Unità Rette nel iano cartesiano. Come determinare l equazione di una retta TERIA a. 191 Esercizi reliminari Test 17 Quale delle seguenti è l equazione della retta assante er Pð1, e arallela alla retta di equazione ¼? A þ ¼ ð 1 B ¼ ð þ 1 C ¼ ð þ 1 D þ ¼ ð 1 1 Quale delle seguenti è l equazione della retta assante er Pð 1, e erendicolare alla retta di equazione ¼ 1? A ¼ ð þ 1 B ¼ ð þ 1 C þ ¼ ð 1 D þ ¼ ð 1 19 Quale delle seguenti formule fornisce il coefficiente angolare della retta assante er Að, e Bð, 7? A m AB ¼ 7 B m AB ¼ 7 C m AB ¼ 7 D m AB ¼ 7 0 Quale delle seguenti è l equazione della retta assante er Að 1, 0 e Bð0,? A ¼ B ¼ þ C ¼ þ D ¼ Retta assante er un unto e arallela a una retta data 1 ESERCIZI GUIDAT Determina l equazione della retta assante er Pð 1, e arallela alla retta s: þ 1 ¼ 0: Scrivi l equazione della retta s in forma eslicita; ricavi così che il coefficiente angolare di s è m s ¼ :::::. La retta cercata è quella assante er Pð 1, e di coefficiente angolare m s, quindi la sua equazione è: ossia: P ¼ m s ð P ¼ :::::::::: ð ð:::::::::: Svolgendo i calcoli, troverai che l equazione eslicita della retta richiesta è ¼ 1 þ :::::::::: Scrivi l equazione della retta assante er P e arallela alla retta r. Pð1, r: ¼ 1 [ ¼ þ 1] Pð 1, r: þ 1 ¼ 0 [ ¼ ] Pð 1, r: þ 1 ¼ 0 [ ¼ þ 1] Pð1, r: þ 1 ¼ 0 ¼ þ 7 6 Pð1, r: þ ¼ 1 ¼ þ 9 7 Scrivi le equazioni delle rette, assanti er Pð1, 0, che formano un arallelogramma con le rette di equazioni ¼ e ¼ 1 þ. Individua oi le coordinate dei vertici di tale arallelogramma. ¼ 1; ¼ 1 1 ; ð1, 0; ð7, ; ð1, ; ð6, 17

15 Tema B Sistemi lineari e retta Siano A e B, risettivamente, i unti di intersezione della retta di equazione con þ ¼ 0 con l asse e con l asse. Dal unto A conduci la arallela alla retta di equazione þ þ 1 ¼ 0 e indica con C il unto di intersezione di tale arallela con l asse. Determina l area del triangolo ABC. 9 Di un triangolo ABC si sa che A(, 1) e C(, ) e che la retta AB ha equazione ¼ þ. Qual è l equazione della retta che congiunge i unti medi di AC e BC? [ ¼ þ ] 0 Retta assante er un unto e erendicolare a una retta data ESERCIZI GUIDAT Determina l equazione della retta assante er Pð 1, e erendicolare alla retta s: þ 1 ¼ 0. Scrivi l equazione della retta s in forma eslicita; uoi riconoscere così che il coefficiente angolare di s è m s ¼ :::::::::: La retta cercata è quella assante er Pð 1, e di coefficiente angolare 1 m s, quindi la sua equazione è: ossia: P ¼ 1 m s ð P ¼ :::::::::: ð ð:::::::::: Svolgendo i calcoli, trovi che l equazione eslicita della retta richiesta è ¼ :::::::::: Scrivi l equazione della retta assante er P e erendicolare alla retta r. 1 Pð 1, 1 r: ¼ þ 1 [ ¼ ] Pð 1, 1 r: ¼ 1 þ [ ¼ þ ] Pð 1, r: þ 1 ¼ 0 ¼ 1 Pð, r: þ 1 ¼ 0 ¼ þ 6 Pð 1, 1 r: þ 1 ¼ 0 [ ¼ þ ] 6 Considera la retta r di equazione þ ¼ 0e indica con A e B, risettivamente, i unti di intersezione di r con l asse e con l asse. DaA edab conduci, risettivamente, le rette s e t, erendicolari a r, e indica con D il unto di intersezione di s con l asse e con C il unto di intersezione di t con l asse. Determina l area del traezio ABCD. Coefficiente angolare della retta assante er due unti 7 Determina il coefficiente angolare delle rette disegnate nelle seguenti figure. 6 1 Disegna la retta che assa er A e er B e determina, se esiste, il suo coefficiente angolare. Að, 0, Bð, Að, 0, Bð6, 0 Að,, Bð0, 1 Að 6,, Bð9, 0 1 [0] 1 Að7, 0, Bð7, Að, ffiffiffi [Non è definito] " ffiffiffi ffiffiffi #, Bð, 7

16 Stabilisci se i due segmenti AB e CD disegnati nella figura qui sotto sono aralleli. A C D B Stabilisci se le rette r ed s disegnate nella figura qui sotto sono erendicolari. C A D B Unità Rette nel iano cartesiano 6 ESERCIZI GUIDAT Considera i unti Að0, 0, Bð,, Cð0,, D,0 e verifica che il quadrilatero ABCD è un traezio rettangolo. Disegnando il quadrilatero ABCD (vedi figura qui sotto) uoi riconoscere che le basi del traezio sono AB e CD e che il lato erendicolare alle basi è BC. D,0 C(0, ) B(, ) A(0, 0) Devi quindi verificare che le rette AB e CD sono arallele e che la retta BC è erendicolare ad AB (e quindi anche a DC). A tal scoo non è necessario scrivere le equazioni delle rette AB e CD, basta determinare i loro coefficienti angolari. Il coefficiente angolare della retta AB è: m AB ¼ B A ¼ ::::::::::::::: ¼ ::::::::::::::: B A ::::::::::::::: Il coefficiente angolare della retta CD è: m CD ¼ D C ¼ ::::::::::::::: ¼ ::::::::::::::: D C ::::::::::::::: Dal momento che m AB ¼ m CD, uoi concludere che le due rette AB e CD sono effettivamente... (quindi ABCD è un traezio). Il coefficiente angolare della retta BC è: m BC ¼ C B C B ¼ ::::::::::::::: ::::::::::::::: ¼ ::::::::::::::: Dal momento che m AB m BC ¼ ::::::::::, uoi concludere che le due rette AB e BC sono effettivamente... (quindi il traezio ABCD è rettangolo). 7 Sono dati i unti Að1, 0, Bð, 0, Cð1,, Dð0,. Verifica che il quadrilatero ABCD è un traezio e stabilisci se è isoscele. [Non è isoscele] Sono dati i quattro unti Að0, 0, Bð,, Cð,, D,. Verifica che il quadrilatero ABCD è un traezio rettangolo. 9 ESERCIZI SVLT Stabiliamo se i unti Að 1,, Bð1, 0 e Cð, sono allineati. Basta calcolare i coefficienti angolari delle due rette AB e BC: se sono uguali, allora i unti sono allineati, altrimenti non lo sono (sai giustificare erché?). Abbiamo che: m AB ¼ B A ¼ 0 B A 1 ð 1 ¼ m BC ¼ C B C B ¼ 0 1 ¼ Quindi i unti non sono allineati. Stabilisci se A, B e C sono allineati. 0 Að, 0, Bð1,, Cð0, [Allineati] 1 Að,, Bð0,, Cð, 0 [Non allineati] Að0,, Bð1, 0, Cð, [Allineati] Að 1, Bð,, Cð 9, 6 [Non allineati] Determina er quale valore di k la retta assante er Að 1, k e Bð, ha coefficiente angolare uguale a. [k ¼ 1] Determina er quale valore di k la retta assante er Að 1, k e Bð, è arallela alla retta di equazione ¼ þ. ½k ¼ 1Š 6 Determina er quale valore di k la retta assante er Að1, k e Bðk, è erendicolare alla retta di equazione ¼ 1 þ 1. k ¼ 19

17 Tema B Sistemi lineari e retta 7 Retta assante er due unti ESERCIZI GUIDAT Scrivi l equazione della retta AB, in ciascuno dei seguenti casi: a. A(1, ), B(1, 10) b. A( 1, ), B(, ) a. sserva che i due unti A e B hanno la stessa ascissa, quindi uoi subito dire che l equazione della retta AB è... b. Determina innanzitutto il coefficiente angolare della retta AB: m AB ¼ ::::: ð:::::::::: ¼ ::::: ::::: ¼ :::::::::: Scrivi le equazioni delle rette assanti er A e er B. Að 1, 0 Bð, ½ ¼ þ 1Š 9 A 0, 1 Bð, 0 ¼ 1 þ 1 60 Að 1, 1 Bð 1, ½ ¼ 1Š 61 Að0, Bð, 0 ¼ þ 6 Að1, Bð, ½ ¼ Š 6 Að1, 6 Bð, 0 ½ ¼ þ Š 6 Scrivi le equazioni delle rette disegnate nelle seguenti figure; un quadretto corrisonde all unità. ra er determinare l equazione della retta AB uoi scrivere, er esemio, l equazione della retta assante er A( 1, ) e di coefficiente angolare m AB ; l equazione di tale retta è: ::::: ¼ ::::: ð ð::::: da cui, sviluando i calcoli: ¼ :::::::::: 6 gnuna delle seguenti figure raresenta un sistema di due equazioni in due incognite. Per ciascuna figura, scrivi un sistema che sia raresentato dalle rette in figura; un quadretto corrisonde all unità. 66 Scrivi le equazioni delle rette cui aartengono i lati del triangolo ABC, essendo Að, 0, Bð0,, Cð, 1. ½ þ 6 ¼ 0; þ ¼ 0; þ þ ¼ 0Š 67 Scrivi le equazioni delle rette cui aartengono le mediane del triangolo ABC, essendo Að 1,, Bð,, Cð, 0. ½ þ 1 ¼ 0; ¼ 0; ¼ 0Š 6 Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati del quadrilatero ABCD, di vertici Að 1,, Bð,, Cð, 0, Dð0,, e stabilisci se si tratta di un traezio. ¼ ; ¼ ; ¼ ð ; ¼ þ ; non è un traezio 69 Scrivi le equazioni delle rette cui aartengono i lati del quadrilatero ABCD, di vertici Að, 0, Bð0,, Cð, 0, Dð0, 1, e stabilisci se si tratta di un traezio. ¼ ; ¼ 1 ; ¼ 1 þ 1; ¼ 1 þ 1; è un traezio 70 Determina, in diendenza da a, l equazione della retta assante er Að, a e Bð,. [Per ogni a R, la retta AB ha equazione ¼ð a þ a ] 0 71 Determina, in diendenza da a, l equazione della retta assante er Aða, 1 e Bð, 1. Se a ¼, la retta AB ha equazione ¼ ; se a 6¼, la retta AB ha equazione ¼ a a þ a

18 Esercizi riassuntivi su rette arallele e erendicolari, unti di intersezione tra rette e determinazione dell equazione di una retta Determina l asse del segmento AB. 7 Að 1,, Bð1, [ ¼ þ ] 7 Að 1, 0, Bð, [ ¼ þ ] 7 Að0, 1, Bð, 0 ¼ 11 7 Að1, 1, Bð, ¼ 76 Determina l equazione della retta cui aartiene l altezza relativa ad AB nel triangolo ABC di vertici Að 1, 0, Bð, 1, Cð1,. [ ¼ þ 6] 77 Determina le equazioni delle rette cui aartengono le tre altezze del triangolo ABC di vertici Að0, 1, Bð, 1, Cð1,. ¼ 1; ¼ þ 1; ¼ 1 þ 7 Determina l equazione della retta assante er Pð1, : a. arallela alla retta assante er i unti Að1, e Bð, ; b. erendicolare alla retta assante er i unti Qð, 1 e Rð,. a. ¼ þ ; b. ¼ 1 þ Considera il triangolo di vertici Að 1, 0, Bð1, 1 e Cð,. a. Determina il suo erimetro e la sua area. b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo. c. Determina l equazione della retta che contiene la mediana relativa ad AB. d. Determina l equazione della retta che contiene l altezza relativa ad AB. a. Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi 7 þ 10 þ 1, Area ¼ ; b. non è rettangolo; c. ¼ 1 ; d. ¼ 0 Determina l equazione della retta assante er il unto Pð 1, : a. arallela alla retta assante er Að,, Bð0, ; b. erendicolare alla retta assante er Að1, e Bð,. [a. ¼ þ ; b. ¼ 9 þ 11] 1 Scrivi l equazione della retta, assante er il unto di intersezione delle rette di equazioni ¼ 1e ¼, arallela alla retta di equazione 6 þ 1 ¼ 0. [ ¼ ] Determina er quali valori di k la retta assante er Að, 1 e er Bðk,, risulta: a. arallela alla retta di equazione ¼ þ 1; [k ¼ ] b. erendicolare alla retta di equazione: þ þ ¼ 0 k ¼ 9 Determina er quale valore di k la retta assante er Að 1, e Bð, k risulta: a. arallela alla retta di equazione ¼ 1; [k ¼ ] b. erendicolare alla retta di equazione: þ 1 ¼ 0 [k ¼ ] Scrivi l equazione della retta, assante er il unto di intersezione delle rette di equazioni þ ¼ 1 e ¼, erendicolare alla retta che assa er l origine e er Pð1,. ¼ 1 þ 1 Sono dati i unti A 1,, Bð, 1, Cð, 1, D,. a. Verifica che il quadrilatero ABCD è un arallelogramma. b. Scrivi le equazioni delle rette che contengono le diagonali del arallelogramma. c. Determina il unto di intersezione delle diagonali del arallelogramma. b. ¼ 7 þ 1 7, ¼ 10 1; c. 9, 6 Sia P il unto di intersezione delle rette di equazioni 1 ¼ 0e þ þ 1 ¼ 0er la retta di equazione þ þ 1 ¼ 0. Scrivi l equazione della retta assante er P e arallela a r e l equazione della retta assante er P e erendicolare a r. ¼, ¼ Considera il triangolo di vertici Að 1, 1, Bð0, e Cð, 1. a. Verifica che è isoscele e determina il suo erimetro e la sua area. b. Stabilisci se il triangolo è rettangolo. c. Determina le equazioni delle rette che contengono i suoi lati. d. Determina l equazione della retta che contiene l altezza relativa all iotenusa. a. Perimetro ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffi þ 10, Area ¼ ; b. è rettangolo in B; c. ¼ þ, ¼ 1 þ, ¼ 1 1 ; d. ¼ þ Determina la roiezione ortogonale P0 di Pð1, sulla retta r: ¼ þ 1. P 0 1, 9 Dati i unti Að0, 1 e Cð, 1, determina i restanti vertici del rombo ABCD, di diagonale AC, saendo che B aartiene alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante. B,, D, 90 Determina la roiezione ortogonale P0 di Pð 1, 1 sulla retta r: ¼ 1 þ. P 0, 11 Unità Rette nel iano cartesiano 1

19 Tema B Sistemi lineari e retta 91 Determina er quale valore di a il unto Pða 1, a aartiene alla retta assante er Að0, 1 e Bð,. [a ¼ 7] 9 Determina i vertici del rombo ABCD, di cui sono noti i vertici Að 1, 0 e Bð1,, saendo che la retta a cui aartiene la diagonale BD è arallela alla retta di equazione 1 ¼ 0. C,, D 7, 1 9 Determina il vertice C del triangolo ABC, isoscele sulla base AB, saendo che Að0,, Bð, 0 e che C aartiene alla retta di equazione þ ¼ 0. C, 9 Sono dati i unti Að 1, 0 e Cð,. Determina i vertici del rettangolo ABCD, in cui AC è una diagonale, saendo che il lato AB è arallelo alla retta di equazione ¼. B, 1, D 1, 9 Determina il unto P0, simmetrico di Pð 1, risetto alla retta r: þ þ ¼ 0. P 0 19, 1 96 Di un triangolo ABC si sa che: la retta assante er il unto medio M del lato AC e er il unto medio N del lato BC ha equazione ¼ 7 þ 11 ; il unto M e il vertice B aartengono all asse ; il vertice A ha coordinate ð,. Determina le coordinate dei vertici B e C. ½Bð0, ;Cð, Š 97 Determina il unto P, d intersezione tra la bisettrice del secondo e del quarto quadrante, e l asse del segmento di estremi Að, e Bð0,. P 1, 1 9 Determina l ortocentro del triangolo ABC, di vertici Að, 0, Bð, 0, Cð0,. (Suggerimento: ricorda che l ortocentro è il unto in comune alle rette che contengono le altezze di un triangolo; er individuarlo, basta determinare le coordinate del unto di intersezione delle rette che contengono due delle tre altezze del triangolo) [0, ] 99 Determina l ortocentro del triangolo ABC, di vertici Að 1,, Bð,, Cð,. ½ð, Š 00 Metodi a confronto Determina la distanza del unto Pð 6, dalla retta r: þ ¼ 0 nei seguenti due modi: a. determinando le coordinate della roiezione H di P su r e calcolando la distanza PH; b. determinando reliminarmente l area del triangolo APB, essendo A e B i unti di intersezione di r con le arallele agli assi cartesiani assanti er P, e calcolando oi la distanza di P da r come altezza relativa ad AB di tale triangolo. [Distanza ¼ ffiffiffi ] 01 Metodi a confronto Determina il baricentro G del triangolo di vertici Að 1,, Bð1, e Cð0,, nei seguenti due modi: a. determinando il unto di intersezione di due mediane del triangolo; b. ricordando la rorietà in base alla quale il baricentro divide ciascuna mediana in due arti tali che quella contenente un vertice del triangolo è doia dell altra. ½Gð0, Š 9. Distanza di un unto da una retta TERIA a ESERCIZI GUIDAT Determina la distanza del unto Pð1, 1 dalla retta r di equazione þ ¼ 0. Alica la formula: d ¼ ja 0 þ b 0 þ cj ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b con a ¼ 1, b ¼, c ¼, 0 ¼ 1, 0 ¼ 1. ttieni: j1 ::::: þ ð:::::þð j d ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ j:::::j ffiffiffiffiffi ¼ ffiffiffi ::::: þ ::::: ::::: Determina la distanza del unto P dalla retta r. " 0 Pð1, r: þ 1 ¼ 0 ffiffiffiffiffiffi # 10 " ffiffiffi # 0 Pð0, 0 r: þ þ 1 ¼ 0 " 0 Pð1, r: þ 1 ¼ 0 ffiffiffiffiffiffi # Pð, 1 r: þ 1 ¼ 0 []

20 07 ESERCIZI SVLT Determiniamo la misura dell area del triangolo ABC, di vertici Að,, Bð, 0, Cð, 6. La misura A dell area del triangolo è data, er esemio, dalla formula: A ¼ 1 AB CH essendo CH l altezza relativa ad AB del triangolo ABC. Mediante la formula er calcolare la distanza tra due unti si ricava: AB ¼ ffiffiffi La misura di CH non è altro che la distanza di Cð, 6 dalla retta AB. A H B C Unità Rette nel iano cartesiano Seguendo i metodi esosti nel Paragrafo si ricava che l equazione della retta AB è þ ¼ 0; mediante la formula della distanza di un unto da una retta otteniamo: ffiffiffi j1 þ 6 j 1 CH ¼ dðc, r AB ¼ ffiffiffi ¼. La misura dell area di ABC è quindi uguale a 1 ffiffiffi 1 ffiffiffi ¼ 1. Determina la misura dell area del triangolo ABC. 0 Að0,, Bð1, 1, Cð, 0. [] 09 Að, 0, Bð 1,, Cð, Að 1,, Bð0,, Cð, 1 [] 11 Að0, 1, Bð,, Cð, 1 [] 1 Að, 1, Bð, 0, Cð, 1 Determina la misura dell area del quadrilatero convesso ABCD, essendo A(0, ), B(1, 0), C(, 1), D(0, ). (Suggerimento: l area del quadrilatero si uò ottenere come somma delle aree di due oortuni triangoli) 1 Determina la misura dell area del quadrilatero concavo ABCD, essendo A(1, 0), B(, ), C(0, 1), D( 1, 1). [] 1 ESERCIZI SVLT Determiniamo la distanza tra le rette arallele r: þ þ ¼ 0eds: þ þ 1 ¼ 0. Date due rette arallele r ed s, la distanza tra r ed s si uò determinare scegliendo arbitrariamente un unto su una delle due rette e calcolando la distanza di tale unto dall altra retta. Scegliamo, er esemio, sulla retta r il suo unto di intersezione P con l asse, che ha coordinate ð, 0 e calcoliamo la distanza di P dalla retta s: þ þ 1 ¼ 0 mediante la formula che fornisce la distanza di un unto da una retta: 1 ð þ 0 þ 1 dðr, s ¼dðP, s ¼ j ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j ¼ 10 ffiffiffiffiffiffi ¼ ffiffiffiffiffiffi 10 1 þ 10 r s H P + + = = 0 Determina la distanza tra le seguenti coie di rette arallele. 16 þ þ 1 ¼ 0, þ þ 1 ¼ 0 ½ ffiffiffiffiffiffi 17 Š 17 ¼, ¼ ½ ffiffiffi Š 1 þ ¼ 0, þ þ 1 ¼ 0 1 " 19 ¼ 1, ¼ þ 6 7 ffiffiffiffiffiffi # Scrivi l equazione della retta r assante er Pð, 0 e arallela alla retta s di equazione 6 þ ¼ 0. Determina quindi la distanza tra la retta r e la retta s Scrivi l equazione della retta r assante er Pð0, e arallela alla retta s di equazione þ ¼ 0. Determina quindi la distanza tra la retta r e la retta s. " ffiffiffiffiffiffi # 0 0

21 Tema B Sistemi lineari e retta 10. Semiiani, segmenti, semirette, angoli e oligoni nel iano cartesiano TERIA a. 196 Semiiani Raresenta nel iano cartesiano i semiiani definiti dalle seguenti disequazioni. > 1 þ 1 þ 0 > 6 > 7 > þ 1 9 < 1 0 þ 1 > > 1 1 < þ þ 9 < 0 > < 0 1 < 0 þ 0 þ þ > < 0 Scrivi le disequazioni che raresentano i semiiani colorati nelle seguenti figure. 1 9 Scrivi le disequazioni che raresentano i semiiani colorati nelle seguenti figure. 1 Segmenti e semirette Raresenta graficamente i segmenti o le semirette raresentati dai seguenti sistemi misti. < 0 ¼ 1 : ¼ þ 1 1 ¼ þ 1 þ ¼ 1 > ¼ þ 1 1 ¼ þ 1 < < 0