Problemi geometrici che hanno come modello sistemi parametrici misti

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1 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti Discussione di un roblema con arametro lcuni roblemi, er essere esressi nel modo iù generale ossibile, contengono un arametro. In questi casi occorre discutere il roblema, cioè stabilire, al variare del arametro, l esistenza e il numero delle sue soluzioni. Per risolvere questi roblemi seguiremo lo stesso schema logico che abbiamo seguito nel volume; l unica differenza sarà che il modello algebrico del roblema, anziché essere un equazione o una disequazione da risolvere, oure una funzione di cui tracciare il grafico, sarà un sistema arametrico misto, che dovremo discutere secondo i metodi visti nel volume, Unità. PROBLEM SVOLTO Geometria In un triangolo rettangolo BC, i due cateti B e C misurano, risettivamente, e. Determinare un unto P, sull iotenusa BC, in modo che sia verificata la relazione: PM þ PH ¼ k essendo M il unto medio di C e H la roiezione di P su B. Discutere il roblema risetto al arametro k. FIGUR E SCELT DELL INCOGNIT Costruiamo una figura (fig. ) e osserviamo che il unto P resta individuato in modo univoco una volta nota, er esemio, la distanza di P da B. Poniamo allora PH ¼. Figura C M P H B LIMITI GEOMETRICI DELL INCOGNIT l variare di P su BC, la misura di PH uò variare tra 0 e. nalizziamo i due casi limite in cui ¼ 0e ¼, corrisondenti, risettivamente, al caso in cui P B e P C: se P B (fig. ), allora PM ¼ ffi þ ¼ 7 e PH ¼ 0, quindi PM þ PH ¼ 7; questo caso limite si ottiene dunque er k ¼ 7; se P C (fig. ), allora PM ¼ CM ¼ eph ¼ C ¼, quindi PM þ PH ¼ 5; questo caso limite si ottiene dunque er k ¼ 5. M C P B H P C M H Figura Figura Poiché anche nei due casi limite è ben definito il valore di PM þ PH, accettiamo i due casi limite e assumiamo come dominio dell incognita l intervallo: 0 B La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara /9

2 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti ESPRESSIONE DEL SISTEM MISTO CHE COSTITUISCE IL MODELLO DEL PROBLEM Per esrimere in funzione di la relazione PM þ PH ¼ k dobbiamo determinare soltanto la misura di PM erché abbiamo osto PH ¼. tale scoo, tracciamo da P la erendicolare PK ad C (fig. ) e cerchiamo di ricavare le misure di PK e MK, in modo da oter alicare il teorema di Pitagora al triangolo KPM. I triangoli BC e KPC sono simili, quindi: B KC B : KP ¼ C : KC ) KP ¼ ¼ ð Þ C Inoltre: MK ¼ se 0 ) MK ¼j j se < C M K P H Figura B licando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo KPM, otteniamo allora: PM ¼ KP þ MK ¼ ð Þ þj j La relazione PM þ PH ¼ k si traduce erciò nell equazione ð Þ þj j þ ¼ k PM PH Ponendo questa equazione a sistema con le limitazioni sull incognita, otteniamo il sistema misto: ( ð Þ þj j þ ¼ k ) 6 þ 7 ¼ k 0 0 DISCUSSIONE DEL SISTEM MISTO La discussione del sistema 6 þ 7 ¼ k 0 si uò ridurre er esemio alla discussione del sistema: >< ¼ 6 þ 7 ¼ k 0 k = 7 = 6 +7 La discussione grafica orta ai risultati riassunti nella fig. 5, dalla quale aare chiaro che il sistema (e quindi il roblema originario) ammette: due soluzioni er 7 k 5 una soluzione er 5 < k 7 Figura 5 Nota I risultati della discussione si ossono interretare in modo iù eslicito in relazione al roblema geometrico come segue. Se 7 k 5, esistono due unti, aartenenti a BC, in corrisondenza dei quali si ha PM þ PH ¼ k; in articolare, se k ¼ 7 i due unti coincidono, mentre se k ¼ 5 una delle due soluzioni coincide con il unto C. Se5< k 7, esiste un solo unto P, aartenente a BC, in corrisondenza del quale si ha PM þ PH ¼ k; in articolare, se k ¼ 7, il unto P coincide con B. Sek < 7 _ k > 7, non esiste alcun unto P su BC er cui si abbia PM þ PH ¼ k. PROBLEM SVOLTO Geometria analitica Sia data la circonferenza avente centro in Cð, 0Þ e assante er l origine; sulla semicirconferenza avente ordinate non negative, determinare un unto P in modo che la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani sia k. Discutere il roblema risetto al arametro k. k = 5 k = 7 O V La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara /9

3 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti FIGUR E SCELT DELL INCOGNIT È facile ricavare che la circonferenza ha equazione þ þ ¼ 0. Indicata con l ascissa di P, er esrimere l ordinata di P in funzione di occorrerebbe introdurre dei radicali. Sebbene anche questa strada sia ercorribile, referiamo imostare il roblema con due incognite, l ascissa e l ordinata di P, in modo da non introdurre radicali. Poniamo cioè Pð, Þ. Indichiamo inoltre con H e K le roiezioni di P sull asse e sull asse, cosicché la relazione richiesta dal roblema equivale a: PH þ PK ¼ k P H C K O Figura = 0 LIMITI GEOMETRICI DELL INCOGNIT l variare di P sulla semicirconferenza avente ordinate non negative, l ascissa di P assume valori comresi tra e0, mentre l ordinata assume valori comresi tra 0 e. Esaminiamo i due casi limite, in cui P coincide con il unto e con l origine O. Se P (fig. 7), allora PH ¼ 0ePK ¼ ; la somma delle distanze dagli assi cartesiani è, quindi questo caso limite si ottiene quando k ¼. Se P O (fig. ), allora PH ¼ 0ePK ¼ 0; la somma delle distanze dagli assi cartesiani è nulla, quindi questo caso limite si ottiene quando k ¼ 0. P H O K O P H K Figura 7 Figura In entrambi i casi limite il valore della somma PH þ PK resta comunque ben definito, quindi accettiamo anche i casi limite e assumiamo come dominio er e gli intervalli: 0 e 0 [] ESPRESSIONE DEL SISTEM MISTO CHE COSTITUISCE IL MODELLO DEL PROBLEM Poiché P deve aartenere alla circonferenza, l ascissa e l ordinata di P devono soddisfare l equazione: þ þ ¼ 0 [] La seconda equazione che devono soddisfare e deriva dalla relazione richiesta dal roblema: PH þ PK ¼ k Per tradurre questa relazione in una equazione, esrimiamo in funzione di edi le distanze PH e PK: PH ¼jj ¼ jj ¼ erché 0 PK ¼jj ¼ jj ¼ erché 0 Pertanto la [] si traduce nell equazione: þð Þ ¼k Ponendo a sistema le equazioni [] e [] con le limitazioni [] otteniamo il sistema misto: >< þ þ ¼ 0 ¼ k 0 ^ 0 [] [] La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara /9

4 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti DISCUSSIONE DEL SISTEM MISTO La discussione grafica del sistema misto >< þ þ ¼ 0 ¼ k 0 ^ 0 è riassunta in fig. 9. Dalla figura ossiamo dedurre che il roblema ha: k = + O una sola soluzione er 0 k < ; due soluzioni er k þ. k = Figura 9 k = 0 Nota I risultati della discussione si ossono interretare relativamente al roblema come segue. Se0k <, esiste un solo unto P aartenente alla semicirconferenza tale che la somma delle distanze dagli assi cartesiani sia k; in articolare, se k ¼ 0, il unto P coincide con l origine O. Sekþ, esistono due unti aartenenti alla semicirconferenza, tali che la somma delle distanze dagli assi cartesiani sia k; in articolare, se k ¼ uno dei due unti coincide con, mentre se k ¼ þ i due unti coincidono. Sek > þ non esiste alcun unto P, aartenente alla semicirconferenza, tale che la somma delle distanze dagli assi cartesiani sia k. Deduzione, dalla discussione, del massimo o del minimo di una grandezza La discussione di un roblema ermette di dedurre, in qualche caso, gli eventuali valori massimi o minimi che ossono assumere alcune grandezze variabili coinvolte nel roblema. Riflettiamo er esemio sui rimi due roblemi che abbiamo risolto come esemi. Nel Problema abbiamo discusso l esistenza dei unti P su BC er cui PM þ PH ¼ k. Il valore minimo e il valore massimo assunti dalla somma PM þ PH al variare di P su BC corrisondono, risettivamente, al minimo e al massimo valore di k er cui il roblema ha soluzione. In base ai risultati della discussione, ossiamo concludere che la somma PM þ PH : assume valore minimo, uguale a 7, quando ¼ ; assume valore massimo, uguale a 7, quando ¼ 0, cioè quando P B. Nel Problema abbiamo discusso l esistenza dei unti P, aartenenti a una semicirconferenza, er cui la somma delle distanze dagli assi cartesiani è uguale a k. Il valore minimo e il valore massimo assunti dalla somma delle distanze dagli assi, al variare di P sulla semicirconferenza, corrisondono, risettivamente, al minimo e al massimo valore di k er cui il roblema ha soluzione. In base ai risultati della discussione, ossiamo concludere che la somma PH þ PK: assume valore minimo, uguale a 0, nel caso limite in cui P O; assume valore massimo, uguale a þ, quando P è il unto di contatto fra la semicirconferenza e la retta tangente alla semicirconferenza (di equazione ¼ þ þ Þ; si ricava così che il massimo della somma viene raggiunto quando Pð, Þ. La ricerca del massimo o del minimo di una grandezza uò comarire in un roblema, senza che sia legata alla richiesta di discussione, come mostriamo nel rossimo roblema. La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara /9

5 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti PROBLEM SVOLTO Un roblema di minimo Data l ellisse di equazione 9 þ ¼, determinare i vertici del rettangolo di erimetro massimo, inscritto nell ellisse. Ti invitiamo a risolvere da solo questo esercizio, discutendo reliminarmente il roblema: «Data l ellisse di equazione 9 þ ¼, determinare i vertici del rettangolo di erimetro k, inscritto nell ellisse» e deducendo dalla discussione il valore massimo del erimetro e i vertici del rettangolo corrisondente. Suggerimento Per la risoluzione del roblema sull ellisse, assumi come incognite l ascissa e l ordinata del vertice del rettangolo inscritto aartenente al rimo quadrante. Questo metodo uò essere alicato solo nel caso in cui il modello algebrico del roblema è un sistema di secondo grado o a esso riconducibile. Il roblema generale della ricerca dei minimi e dei massimi di una grandezza verrà affrontato nel roseguimento del corso di matematica. La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara 5/9

6 Esercizi Problemi di geometria Considera una semicirconferenza di centro O, diametro B e raggio unitario. Siano C e D, risettivamente, i unti medi di O e OB. Determina la misura di una corda EF, arallela ad B, con E iù vicino ad che a B, in modo che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati del traezio convesso CEFD risulti uguale a k þ. Discuti il roblema risetto al arametro k. Si ottiene l equazione þ 5 k ¼ 0 con le limitazioni 0 ; due soluzioni er 9 k 5, una soluzione er 5 < k 9 Il triangolo rettangolo OB ha i cateti O e OB che misurano, risettivamente, a e a. Determina sull iotenusa B un unto P in modo che risulti: PH þ PM ¼ ka essendo M il unto medio di OB e H la roiezione di P su O. Discuti il roblema risetto al arametro k. Ponendo uguale a la distanza di P da O si ottiene l equazione 6 a þ 7a ¼ ka, con le limitazioni 0 a; due soluzioni er 7 k 5, una soluzione er 5 < k 7 Considera una semicirconferenza di diametro B ¼. Determina su di essa un unto P tale che, detta Q la sua roiezione su B, si abbia Q þ QP ¼ k. Discuti il roblema risetto a k. ffi [Ponendo Q ¼, si ottiene l equazione ¼ þk, con le limitazioni 0 ; una soluzione er 0 k <, due soluzioni er k þ ] Considera una circonferenza di diametro B, centro O e raggio r. Sia P il unto medio del raggio O. Determina sul raggio OB un unto Q tale che, condotta er esso la corda CD erendicolare ad B, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati del triangolo PCD sia k þ r. Discuti il roblema risetto al arametro k. Ponendo OQ ¼ si ottiene l equazione r r þ kr ¼ 0, con le limitazioni 0 r; una soluzione er k <, due soluzioni er k 5 5 Inscrivi in un cerchio di raggio r un triangolo isoscele (non degenere), saendo che la somma della base e dell altezza del triangolo è kr. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Posta uguale a la misura dell altezza del triangolo relativa alla base, si ottiene l equazione ffiffi r ¼ þkr, con le limitazioni 0 < < r; una soluzione er 0 < k, due soluzioni er < k þ 5 ] 6 Considera una semicirconferenza di centro O e raggio. Sia B una corda della semicirconferenza e H il unto medio della corda. Determina la misura della corda in modo che risulti B þ OH ¼ k. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Si ottiene l equazione ffi ¼ þk, con le limitazioni 0 ; una soluzione er k <, due soluzioni er k 5] 7 Sora l arco B, quarta arte di una circonferenza di centro O e raggio a, determina un unto P tale che, detti M ed N risettivamente i unti medi di O e OB, l area del quadrilatero MONP sia ka. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Ponendo uguale a la distanza di P da OB, si ottiene l equazione a ¼ þka, con le limitazioni 0 a; due soluzioni er k ] La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara 6/9

7 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti Sia BC un triangolo equilatero il cui lato misura e sia E un unto sul lato C. Condotta da E la arallela ad B e indicato con F il suo unto di intersezione con BC, sia D il unto, aartenente al rolungamento di EF dalla arte di F, tale che FD ¼ EF. Determina il unto E in modo che si abbia MD þ BD ¼ k, essendo M il unto medio di B. Discuti il roblema risetto al arametro k. Determina quindi la osizione di E in modo che BDE risulti un traezio rettangolo o un arallelogramma. Ponendo CE ¼ si ottiene l equazione 6 þ 7 k ¼ 0 con 0 ; due soluzioni er 7 k 5, una soluzione er 5 < k 7 ; si ha un traezio rettangolo er ¼ e un arallelogramma quando ¼ 9 Inscrivi in una semicirconferenza di diametro B e raggio un traezio isoscele BCD (non degenere), saendo che la somma delle misure della base minore e dell altezza del traezio è k. Discuti il roblema risetto al arametro k. þ ¼ >< Ponendo DC ¼ e CH ¼, dove H è la roiezione di C su B, si ottiene il sistema: ¼ þ k 0 < < ^ 0 < < che ha una soluzione er < k e due soluzioni er < k 5 ESERCIZI 0 In una semicirconferenza di diametro B e raggio traccia una corda CD (con C iù vicino a B che ad Þ e indica con E il unto di intersezione dei rolungamenti di D e BC. Determina la corda CD in modo che il triangolo BE sia non degenere e abbia erimetro k. Discuti il roblema risetto al arametro k. >< ¼ Ponendo D ¼ ; CD ¼ si ottiene il sistema: þ þ kð Þ ¼0 0 < < ^ 0 < < ; soluzione er k > þ Considera il triangolo OB, rettangolo in O, nel quale il cateto O misura e il cateto OB misura. Determina sull iotenusa un unto P in modo che, detta Q la sua roiezione ortogonale su O, si abbia OP þ PQ ¼ k. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Ponendo PQ ¼, si ottiene l equazione 5 þ ¼ þkcon 0 ; una soluzione er k ] Considera un settore circolare OB, di centro O e raggio, tale che OB b ¼ 90. Indica con M il unto medio del raggio O e determina sull arco B un unto P in modo che, dette H e K, risettivamente, le roiezioni di P sui raggi O e OB, sia verificata la relazione: PM þ PK ¼ k PH. Discuti il roblema risetto al arametro k. Ponendo PK ¼, si ottiene l equazione ðk þ Þ þ 5 k ¼ 0, con le limitazioni 0 ; due soluzioni er þ 65 k 5, una soluzione er k > 5 Considera un settore circolare OB, di centro O e raggio unitario, tale che OB b ¼ 60. Inscrivi nel settore un rettangolo (non degenere) avente un lato sul raggio O e erimetro k. Discuti il roblema risetto al arametro k. ffi Ponendo uguale a la misura del lato erendicolare a O, si ottiene l equazione ¼ þ k sffiffi 7 con 0 < < ; una soluzione er < k, due soluzioni er < k Considera un triangolo BC in cui B ¼ ; BC ¼ ; C ¼ 5 e traccia la circonferenza in esso inscritta. Determina una retta r arallela al lato BC in modo che, dette MN e PQ le corde che la retta r individua, risettivamente, sul triangolo e sulla circonferenza, si abbia PQ þ 6 MN ¼ k. Discuti il roblema risetto al arametro k. 7 Nel triangolo BC il raggio della circonferenza inscritta misura e l altezza relativa a BC misura ; ffi onendo uguale a la distanza tra la retta r e BC si ottiene l equazione ¼ 6 þ k con le limitazioni 0 ; una soluzione er k < e due soluzioni er k þ 5 La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara 7/9

8 Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti 5 Dato un angolo retto aob, b siano e B due unti, aartenenti risettivamente alle semirette a e b, tali che O ¼ OB. Determina un unto P, interno all angolo retto, in modo che OP b sia retto e che risulti OP þ PB ¼ k OB. Discuti il roblema risetto al arametro k. (Suggerimento: riferisci il roblema a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale risetto al quale ð,0þ e Bð0, Þ. ð Þ þ ¼ >< Ponendo Pð, Þ, si ottiene il sistema þ þ k, ¼ 0 > 0 ^ > 0 che ammette una soluzione er k < 7 e due soluzioni er ð Þk < 6 Siano dati l angolo MON b ¼ 50 e il unto, aartenente alla semiretta oosta al lato OM, tale che O ¼. Determina un unto P interno all angolo dato in modo che, indicata con Q la sua roiezione ortogonale sulla retta M, siano verificate le relazioni: O þ OQ ¼ PQ e OP þ P ¼ ko Discuti il roblema risetto al arametro k. (Suggerimento: riferisci la figura a un sistema di assi cartesiani ortogonali in cui O coincide con l origine, ð, 0) e il unto N ha ordinata ositiva). þ jj ¼ >< Ponendo Pð, Þ, si ottiene il sistema þ þ þ k ¼ 0 > 0 ^ >, che ammette due soluzioni er k 7 In un traezio BCD, rettangolo in e D, le basi B e CD misurano risettivamente 5 e, mentre l altezza D misura. Determina un unto P, interno al traezio, in modo che, indicate con H e K le sue roiezioni ortogonali su BC e D, siano soddisfatte le relazioni: ESERCIZI PH : PK ¼ D : BC e P þ DP ¼ k Discuti il roblema risetto al arametro k. (Suggerimento: riferisci la figura a un sistema di riferimento risetto al quale ð0, 0Þ, Bð5, 0Þ, Cð, Þ, Dð0, Þ). >< þ þ k ¼ 0 Ponendo Pð, Þ, si ottiene il sistema þ 0 ¼ 0 < < 5 ; ^ 0 < < due soluzioni er 96 k <, una soluzione er k < 7 Internamente al quadrato BCD, il cui lato misura, determina un unto P tale che la sua distanza dal vertice D sia doia di quella dal vertice B, e che risulti uguale a k il raorto delle sue distanze dai due lati B e D. Discuti il roblema risetto al arametro k. (Suggerimento: riferisci la figura a un sistema di assi cartesiani risetto al quale ð0, 0Þ, Bð, 0Þ, Cð, Þ, Dð0, Þ). < þ þ þ ¼ 0 Ponendo Pð, Þ, si ottiene il sistema: ¼ k, : 0 < < ^ 0 < < 7 7 che ammette una soluzione er 0 < k e due soluzioni er < k Problemi di geometria analitica 9 Traccia il grafico della arabola di equazione: ¼ 6 þ doo averne determinato i unti di intersezione e B con l asse (con < B Þ e il unto di intersezione C con l asse. Verifica che la tangente in alla arabola è arallela alla retta BC e calcola l ordinata del unto T in cui tale tangente interseca l asse. Determina un unto P sull arco C in modo che il quadrilatero PROM sia non degenere e abbia area k, essendo O l origine, M il unto medio di O ed R il unto medio di OT. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Una soluzione er < k < ] La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara /9

9 0 Doo aver tracciato il grafico della arabola di equazione ¼, inscrivi nel segmento arabolico determinato dalla curva e dall asse un rettangolo (non degenere) con i lati aralleli agli assi cartesiani di erimetro. Discuti il roblema risetto al arametro. [Una soluzione er < < ] Scritta l equazione della arabola di vertice ð, 0Þ, asse arallelo all asse e assante er Bð0, Þ, determina sull arco B un unto P, tale che la somma delle distanze di P dagli assi sia uguale a k. Discuti il roblema risetto al arametro k. ¼ þ ; due soluzioni er 7 k, una soluzione er < k Problemi geometrici che hanno come modello sistemi arametrici misti È data la circonferenza avente centro in Cð, 0Þ, assante er l origine. Sull arco di avente ordinate non ositive, determina un unto P in modo che la somma delle distanze di P dagli assi cartesiani sia uguale a k. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Una soluzione er 0 k < ; due soluzioni er k þ ] Sono date le due circonferenze, avente centro in C ð, 0Þ e raggio, e, avente centro in C (, ) e raggio. Determina una retta arallela all asse che interseca in e B e in C e D, in modo che sia verificata la relazione: ESERCIZI B þ CD ¼ k Discuti il roblema risetto al arametro k. Una soluzione er 0 k < ; due soluzioni er k 9 Data la arabola di equazione ¼, sia il suo unto di intersezione con l asse e B il suo unto di intersezione con il semiasse negativo delle. Sull arco _ B determina un unto P in modo che risulti: PH þ 7 PK ¼ k essendo H la roiezione di P sull asse e K la roiezione di P sulla tangente alla arabola in B. Discuti il roblema risetto al arametro k. Due soluzioni er 7 k, una soluzione er < k 5 Considera la circonferenza avente equazione þ 5 ¼ 0 e determina un unto Pð, Þ sull arco di circonferenza er cui 0 ^ 0, tale che k 6k ¼ 0. Discuti il roblema risetto al arametro k. Due soluzioni er k ; una soluzione er < k 0 6 Inscrivi nell ellisse di equazione þ ¼ un rettangolo (non degenere) di erimetro k con i lati aralleli agli assi cartesiani. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Una soluzione er < k ; due soluzioni er < k 5 ] 7 È data l ierbole di equazione ¼. Sull arco di ierbole er cui 0 ^ 0, determina un unto P in modo che sia PH þ PK ¼ k, essendo H la roiezione di P sull asse e K la roiezione di P sull asintoto dell ierbole di coefficiente angolare negativo. Discuti il roblema risetto al arametro k. [Due soluzioni er k ; una soluzione er k > ] La matematica a colori Petrini f 05 De gostini Scuola S Novara 9/9