Equazioni goniometriche

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1 Appunti di Matematica Equazioni goniometriche a) Consideriamo un equazione elementare : Equazioni goniometriche elementari sen Le soluzioni saranno: 5 In generale se abbiamo sen con < < avremo: α α Se considero sen sen b) Vediamo ora con il coseno: Otteniamo: cos 0

2 Appunti di Matematica e in generale cos con < < α α Se cos cos c) Consideriamo infine la tangente, per esempio: tg In generale quindi tg α

3 Appunti di Matematica Equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni elementari ) Vediamo i seguenti esempi: a) sen In questo caso non conviene sviluppare con la formula di sottrazione! Consideriamo come un unico angolo. Per quello che abbiamo già visto: b) ( ) cos Anche in questo caso non conviene sviluppare con la formula di duplicazione ma considerare come un unico angolo e per quello che abbiamo già visto avremo: c) tg Considerando come un angolo avremo: 5 5

4 Appunti di Matematica ) Consideriamo i seguenti esempi: a) sen sen angoli hanno lo stesso seno se sono associati allo stesso punto della circonferenza goniometrica oppure se sono supplementari. Quindi: 5 b) cos cos angoli hanno lo stesso coseno se sono associati allo stesso punto della circonferenza goniometrica oppure sono opposti. Quindi: d c) tg tg angoli (diversi da ) hanno la stessa tangente quando sono associati allo stesso punto della circonferenza goniometrica o differiscono di, quindi potremo semplicemente scrivere: 5

5 Appunti di Matematica ) Vediamo infine i seguenti esempi: a) sen sen 0 Consideriamola come un equazione di grado e ricaviamo: ± 8 ± sen, sen sen Quindi sen sen nessuna soluzione b) cos cos 0 Possiamo semplicemente mettere in evidenza: ( cos ) 0 cos e quindi avremo: cos 0 ± cos ± c) tg tg 0 tg ( tg ) 0 tg 0 tg d) cos sen 0 In questo caso dobbiamo utilizzare la prima relazione fondamentale e sostituire cos. sen a sen sen 0 sen sen 0 sen, ± ± 5

6 Appunti di Matematica 5 sen nessuna soluzione 5 sen utilizzando la calcolatrice abbiamo α con α 8 α e) sen cos 0 In questo caso gli argomenti del seno e del coseno sono diversi: possiamo riportarci all angolo utilizzando la formula di duplicazione. sen cos cos 0 cos ( sen ) 0 cos 0 ± 7 sen f) sen cos 0 Utilizzando la formula di bisezione avremo: cos cos 0 cos cos 0 cos 5

7 Appunti di Matematica Equazioni goniometriche di grado in seno e coseno Consideriamo la seguente equazione: sen cos Per determinare cerchiamo il punto P associato all angolo sulla circonferenza goniometrica. Ricordando che sen y cos P Risolvere l equazione data equivale a risolvere il sistema: yp P 0 yp P yp P 0 P Per non confondere (angolo) con P (ascissa del punto P) possiamo indicare P con X e con Y. Quindi abbiamo l intersezione tra una retta e la circonferenza goniometrica: y P Y X X Y Troviamo P P ( 0; ) ( ;0 ) Osservazione: non sempre occorre utilizzare questo metodo grafico. Esempio: sen cos 0 Possiamo dividere per cos ( possiamo supporre cos 0 perché le soluzioni di cos 0,cioè, non sono soluzioni dell equazione) e otteniamo: tg Con il metodo grafico avremmo ottenuto lo stesso risultato: Y X 0 X Y

8 Appunti di Matematica Equazioni goniometriche di grado in seno e coseno Esempio : sen cos cos 0 Basta mettere in evidenza: cos ( sen cos ) 0 cos 0 sen cos 0 tg Esempio : sen ( ) sen cos cos 0 Proviamo a dividere per tg cos ( non è soluzione dell equazione): tg, ( ) tg 0 ± ± ± ( ) tg tg Osservazione L equazione precedente potrebbe essere risolta anche in modo diverso (soprattutto se l equazione di grado in tg che si ottiene avesse come soluzioni valori non noti della tangente) utilizzando le seguenti sostituzioni: cos sen sen sen cos cos cos cos sen cos ( ) 0 cos ( ) sen cos 0 ( ) sen ( ) ( ) cos 0 cos 0... ( ) cos 0 sen sen 7

9 Appunti di Matematica Adesso poniamo sen Y e avremo: cos X Y Y ( ) X 0 Y X ( ) X ( 7 ) X ( ) X ( 8 ) X ( ) X 0 ( ) X ( ) X 0 ( ) Y X X X 0 X 0 P Y X P Y I punti P e P sono però associati all angolo e quindi : (soluzioni che avevamo già trovato, molto più semplicemente, con il primo metodo) Esempio : ( ) sen cos ( ) sen cos Possiamo moltiplicare il termine noto per ( ) sen cos ( ) sen cos ( sen cos ) sen ( ) sen cos cos 0 sen cos poiché sen cos e avremo: Dividendo per cos : ( ) 0 tg tg tg, ± ± ( ) tg tg 8

10 Appunti di Matematica Esercizi sulle equazioni goniometriche ) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari: a) sen d) cos b) cos e) tg c) tg f) sen ) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni elementari: a) sen b) cos c) tg d) sen e) cos f) tg ; 7 ; ) Ricordando le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli associati, risolvi le seguenti equazioni: a) sen sen b) cos cos c) tg tg ; ;

11 Appunti di Matematica ) Risolvi le seguenti equazioni riconducibili ad equazioni elementari: a) sen sen 0 [ ; b) cos cos 0 [ ± ; c) tg tg 0 [ ; d) cos cos 0 [ ; ± 5 e) sen sen 0 [ ; ; 5 f) sen sen 0 [ ; ; g) tg tg 0 [ ; h) tg tg 0 [ ; i) cos cos 0 [ ± ; l) tg tg 0 [ ; 5) Risolvi le seguenti equazioni: a) sen cos cos [ ± ; 5 b) cos sen [ ; ; c) tg sen sen [ ; d) sen tg [ e) sen cos cos sen [ ± ; f) sen sen [ ± g) tg tg [ ± h) cos sen 0 [ i) cos cos [ l) sen cos [ 5 ; ; 70

12 Appunti di Matematica ) Risolvi le seguenti equazioni lineari: a) sen cos [ ; b) sen cos [ c) cos sen [ ; d) cos sen 0 [ ; e) cos sen [ ; f) sen cos [ impossibile 7) Risolvi le seguenti equazioni di grado in seno e coseno: a) sen cos 0 [ ± b) sen sen cos 0 [ ; c) cos cos sen 0 [ ; d) sen sen cos cos [ ; e) sen sen cos cos [ ; f) sen sen cos cos [ ; 8) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche: a) cos sen sen [ b) ( sen cos ) cos [ ; c) tg tg 0 [ ; ± 7

13 Appunti di Matematica Problemi sul triangolo rettangolo risolubili con equazioni Esempio Consideriamo questo problema: data una semicirconferenza di diametro essa un punto P tale che l area del triangolo ABP risulti uguale a r AB r, determina su di Posso individuare il punto P appartenente alla semicirconferenza con l angolo Λ BAP. Limiti di : il valore di potrà variare da 0 (quando P B ) a (quando P A ). Poiché il triangolo ABP è retto in P avremo: AP r cos PB r sen Area ABP r cos rsen r sen cos Quindi dovrò risolvere l equazione Poiché 0 0 r sen cos sen e quindi r 7

14 Appunti di Matematica Il problema ha quindi soluzioni, corrispondenti a triangoli uguali. Nota: è molto importante considerare la limitazione dell angolo per capire quali sono le soluzioni del problema. Esempio Data una semicirconferenza di diametro p ABP r( ). AB r, determina su di essa un punto P tale che Λ BAP 0 AP r cos BP rsen r cos rsen r r r cos rsen r cos sen X Y X Y ( ) X Y Y Y... ; è l unica soluzione del problema Infatti: AP BP r p ABP r r r( ) 7

15 Appunti di Matematica PROBLEMI SUL TRIANGOLO RETTANGOLO RISOLUBILI CON EQUAZIONI ) Data una semicirconferenza di diametro AB r si consideri il trapezio isoscele ABCD inscritto nella semicirconferenza e si ponga B AD. Determinare per quale si ha p( ABCD) 5r. [ ) Si consideri un triangolo equilatero ABC di lato l e si consideri una semiretta uscente da C interna al triangolo. Siano H e K le proiezioni ortogonali sulla semiretta rispettivamente di A e B. Determinare per quale semiretta si ha area ( AHC) area( KBC). (Poni ACH ) [ ) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB r e si costruisca il triangolo equilatero ABC esternamente alla semicirconferenza. Sia P un punto sulla semicirconferenza e poni B AP ˆ. Determina per quale si ha area ( ACBP) ( ) r. [ ) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB r e un trapezio isoscele CDEF circoscritto alla semicirconferenza. Posto D CF area ( CDEF) r. [ 5) Considera una semicirconferenza di diametro AB r e un punto P su di essa. Costruisci il quadrato PBRQ esternamente alla semicirconferenza. Determina la posizione di P in modo che si abbia area ( ABRQ) r. Poni BAP. [ ) Considera una semicirconferenza di diametro AB r e un punto P su di essa. Costruisci il triangolo equilatero PBD esternamente alla semicirconferenza e determina P per cui si abbia area ( ABDP) r. Poni PAB. [, arctg 7

16 Appunti di Matematica 7) Considera una semicirconferenza di diametro AB r una corda PQ parallela ad AB. Posto A OP ˆ e costruito il triangolo equilatero PQR, con R esterno alla semicirconferenza, determina in modo che si abbia area ( POQR) r. [ 0, 8) Dato un triangolo isoscele ABC avente base AB e altezza CH a, posto A CH ˆ, considera il punto D, punto medio dell altezza CH, e traccia le sue proiezioni ortogonali M e N rispettivamente su AC e CB. Determina in modo che p ( CMDN) a. [ 9) Considera una circonferenza di diametro AB r e la corda AC r. Sia P un punto appartenente alla semicirconferenza non contenente C e poni P AB ˆ. Determina in modo che si abbia area ( APC) r. [ 0, 0) Sia ABO un settore circolare con ˆ A OB e AO OB r. Si consideri un punto P appartenente all arco AB e si ponga A OP ˆ.Si consideri la proiezione ortogonale H del punto P su AO, il segmento PP parallelo ad AO e sia K la proiezione ortogonale di P su AO. r Determina in modo che area ( HPP' K). [ ) Considera una circonferenza di raggio r e le corde AB r e BC r. Considera un punto P appartenente alla semicirconferenza AC non contenente B. Determina P in modo che p ( ABCP) r( ). Poni PAC. [, 75

17 Appunti di Matematica ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE Risolvi le seguenti equazioni goniometriche. ( 7 5 sen ) [ ;. tg ( ) [ ; cos( ) cos( ) [ ;. sen sen cos 5cos [ ± 5. sen cos 7 [. cos sen( ) [ 7. sen ( ) sen cos ( )cos [ ; 8. cos sen 7 [ ; Problema Considera una semicirconferenza di diametro AB r e sia P un punto su di essa. Disegna il triangolo equilatero ABC esternamente alla semicirconferenza e determina PAB in modo che p ( ACBP) ( ) r. [ Problema Considera una circonferenza di diametro AB r e traccia la corda AC r punto P (poni BAP ) appartenente alla semicirconferenza del quadrilatero ACBP sia uguale a r.. Determina un AB non contenente C tale che l'area [ ; 7

18 Appunti di Matematica Problemi con discussione Esempio Riprendiamo l esempio dei problemi sul triangolo rettangolo risolubili con equazione: data una semicirconferenza di diametro AB r, si considera un punto P su di essa e si traccia il triangolo ABP. Λ Avevamo posto BAP. Possiamo chiederci: quali valori può assumere l area del triangolo BAP? È come chiedere: per quali valori di il problema determina P tale che area soluzione? E quante soluzioni ha? A BP r ha Questo problema è molto semplice e possiamo fare queste considerazioni: l area del triangolo ABP può essere calcolata come AB PH. Poiché AB è costante (uguale a r) l area varia al variare di PH : PH varia da 0 (quando P A o P B ) a r ( quando P punto medio di AB ). Quindi l area varia da un minimo di 0 ad un massimo di r r r e quindi varia da 0 a. area( ABP) 0 area( ABP) 0 area ( ABP) r 77

19 Appunti di Matematica Ma, per un dato valore dell area, quante soluzioni ha il problema? Vediamo che ci sono sempre triangoli uguali in corrispondenza di un certo valore dell area (cioè di PH ). Quindi il problema avrà soluzioni per 0. Proviamo però a risolvere utilizzando le equazioni (vediamo quindi un metodo che servirà per problemi più complessi di questo): BAP Λ AP r cos PB r sen 0 Area ABP r cos rsen r sen cos r sen Abbiamo trovato un equazione goniometrica parametrica, cioè contenente un parametro variabile ( R ). Per risolverla utilizziamo il metodo grafico, ponendo sen Y e avremo: Y X Y 0 cioè l intersezione di un fascio di rette parallele all asse X con la circonferenza goniometrica ( con la limitazione dell angolo ). 78

20 Appunti di Matematica Disegniamo solo la parte della circonferenza goniometrica data dalla limitazione della : il fascio Y interseca la parte di circonferenza goniometrica quando 0 in punti Quindi il problema ha soluzioni 0 (come avevamo già capito precedentemente) Esempio Riprendiamo il esempio che avevamo sviluppato come problema sul triangolo rettangolo risolubile con equazioni. Questa volta il problema diventa: per quali valori di esiste P tale che p ABP r? Λ BAP AP r cos PB rsen r r cos rsen r cos sen X Y K X Y 0 La retta del fascio per A(; 0) passa anche per B: sostituendo quindi le coordinate di A ( o B) troviamo. 79

21 Appunti di Matematica Per determinare il valore di corrispondente alla retta del fascio tangente alla circonferenza goniometrica, ricordiamo che possiamo utilizzare la formula della distanza punto retta ponendo cioè d (C (0;0), retta del fascio) (raggio circonferenza goniometrica). Scriviamo in forma implicita la retta del fascio: X Y 0 e sostituiamo (0;0) ( negativo) Il valore negativo di non ci interessa (corrisponde alla tangente nel III quadrante) e quindi avremo t In conclusione abbiamo: soluzioni Osserviamo che per si ha il minimo perimetro di ABP quando diametri sovrapposti); per si ha il massimo perimetro di medio di AB ). P A o P B (sono ABP (quando P punto Anche in questo caso le soluzioni, per un dato valore del perimetro, sono sempre due perché ci sono due triangoli uguali. 80

22 Esempio Appunti di Matematica Riprendiamo il problema proposto negli esercizi sul triangolo rettangolo ed equazioni. Cambiamolo così: Data una semicirconferenza di diametro AB r, considera il trapezio isoscele ABCD inscritto nella semicirconferenza. Discuti: p (ABCD) r Poniamo Λ BAD Limiti della : osserviamo che il valore minimo di è, e quello massimo è ( D A) Quindi Λ Poiché ADB AD r cos Considerando poi ADH AH AD cos r cos Quindi DC AB AH r r cos r( cos ) Perciò p( ABCD) r ( r cos ) r r cos r r cos r cos Dobbiamo discutere r r cos r cos r Non conviene usare la sostituzione cos X.. ma considerare che, ponendo cos t otteniamo t t 0 cioè un equazione di grado con parametro. 8

23 Appunti di Matematica Per discuterla usiamo il metodo della parabola y t (fascio di rette parallele m) y t 0 0 t 0 cos t La retta del fascio passante per 0(0; 0) corrisponde a (attenzione a disegnarla in modo che passi sopra a A ; ). La retta del fascio passante per A ;. Per determinare il della tangente dobbiamo risolvere y t y t 0 ( ) t 5 Quindi, osservando il disegno, avremo: soluzione < soluzioni 5 Il perimetro minimo si ha per ( D A C B e il trapezio degenera in due diametri sovrapposti); il perimetro massimo si ha per 5 (ABCD è la metà di un esagono regolare BC CD DA r ). Per C D. il trapezio degenera nel triangolo isoscele ABC ( ) 8

24 Appunti di Matematica PROBLEMI CON DISCUSSIONE Come abbiamo fatto per il primo problema riprendiamo i problemi sul triangolo rettangolo risolubili con equazioni e modifichiamoli in modo da avere dei problemi con discussione. ) Si consideri un triangolo equilatero ABC di lato l e si consideri una semiretta uscente da C interna al triangolo. Siano H e K le proiezioni ortogonali sulla semiretta rispettivamente di A e B. Determinare per quale semiretta si ha area ( AHC) area( KBC). (Poni ACH ) [ sol. 0 ) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB r e si costruisca il triangolo equilatero ABC esternamente alla semicirconferenza. Sia P un punto sulla semicirconferenza e poni B AP ˆ. Determina per quale si ha area ( ACBP) r. [ sol. ) Si consideri una semicirconferenza di diametro AB r e un trapezio isoscele CDEF circoscritto alla semicirconferenza. Posto D CF ˆ determina per il quale si ha area ( CDEF) r. [ sol. <, sol. 5) Considera una semicirconferenza di diametro AB r e un punto P su di essa. Costruisci il quadrato PBRQ esternamente alla semicirconferenza. Determina la posizione di P in modo che si abbia area ( ABRQ) r. Poni BAP. [ sol. 0 <, sol. 5 ) Considera una semicirconferenza di diametro AB r e un punto P su di essa. Costruisci il triangolo equilatero PBD esternamente alla semicirconferenza e determina P per cui si abbia area ( ABDP) r. Poni PAB. [sol. 0 <,sol. 7 7) Considera una semicirconferenza di diametro AB r una corda PQ parallela ad AB. Posto A OP ˆ e costruito il triangolo equilatero PQR, con R esterno alla semicirconferenza, determina in modo che si abbia area ( POQR) r. [sol. 0 <,sol. 8