9) Ricava per quali valori di x è positiva e per quali è negativa la funzione di equazione: > 0 [ 0 < x < ] ; y < 0 se. 1 [ x ] 0 [ x 1 ] + >

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1 Verifiche 4 C 4 H Anno scolastico 010/011 ESPONENZIALI LOGARITMI 1) Calcola il dominio della funzione: y = log / (5 x) + 1 [ x < 5 ] ) Calcola il dominio della funzione y = 3 log (x 8) [ - 4 x < < x 4 ] 3) Calcola il dominio della funzione y = log (3x ) 4) Calcola il dominio della funzione y = / () 5) Calcola il dominio della funzione: y = log [ - 3 x < < x 3 ] [ < x < x > ] [- 1 x < 0 0 < x ] 6) Calcola il dominio della funzione: y = () ( ) [ x < < x < 1 1 < x < x > ] 7) Calcola il dominio della funzione: [ln ( x 1)]. [ x < - ] 8) Calcola il dominio della funzione: f(x) = ln ( 4 4x ) [ x < 0 ] 9) Ricava per quali valori di x è positiva e per quali è negativa la funzione di equazione: y = log x + [ y > 0 se < x < 10) Risolvi la disequazione: ; y < 0 se < x < > 0 [ 0 < x < ] < x < ] 11) Risolvi l equazione: 3 + e = 4e [ x = 0 ] 1) Risolvi l equazione: 3 x 15 = 3 [ x = ] 13) Risolvi l equazione: = 0 [ x = ] 14) Risolvi la disequazione: 1 [ x ] 15) Risolvi la disequazione: 16) Risolvi la disequazione 17) Risolvi la disequazione: 0 [ x 1 ] + > > 0 [ x < 0 x > log ] [1 < x < 4 ] 18) Risolvi la disequazione: log (x 3) log x 1 [ 0 < x 1 x 9 ] 19) Risolvi la disequazione: log 1/3 x + log 9x > 0 [ 0 < x < x > 1 ]

2 0) Rappresenta in uno stesso sistema di riferimento disegnato rappresenta il grafico di ciascuna delle funzioni che seguono: A) y = 4 -x B) y = log / x C) y = x D) y = x 1) Tra le equazioni che seguono determina quali e per quali valore di k hanno un andamento simile a quello rappresentato dalla curva blu e quali e per quali valori di k hanno un andamento simile a quello rappresentato dalla curva rossa (motiva la risposta che hai dato) a) y = k x b) y = c) y = x k d) y = x k 1 ) Sono assegnate le funzioni di equazioni: f(x) = lnx, g(x) =. Ricavare le equazioni delle funzioni composte e scrivere il dominio di ciascuna funzione composta A) f g B) g f [ A) y = ln TRIGONOMETRIA B) y = ] 1) Riconduci l espressione a funzioni dell angolo α, poi esprimila in modo che presenti solo la funzione coseno 7cos π + α tg π α + sen(π + α) sen ( α) sen(π α) sen(π + α) + cos (π + α) [ 1 cos α - 7cosα ] ) Riconduci l espressione a funzioni dell angolo α, calcola la somma ed esprimila in modo che presenti solo la funzione coseno

3 tg(π α) cos(π α) + cos π + α + tg(π + α) sen π + α sen(π + α) 3) Riconduci l espressione a funzioni dell angolo α, poi esprimila in modo che presenti solo la funzione seno sen π + α tg(π + α) + 4cos(π + α) cos ( α) sen(π α) sen( α) + cos (π α) [ 4sen α + senα - 4 ] 4) Riconduci l espressione a funzioni dell angolo α, esegui le operazioni e scrivi l espressione ottenuta in modo che contenga solo la funzione coseno sen (π α) cos (π + α) cos ( α) sen π + α cos(π π α) + 3tg(π α) tg + α sen π α 5) Un angolo acuto α ha seno uguale a calcola ( scrivi i passaggi intermedi): a) Il coseno dell esplementare di α b) La tangente dell angolo che differisce da α di π. [ a), b) ] 6) Un angolo acuto α ha coseno uguale a a) Il coseno dell angolo che differisce da α di b) La tangente del supplementare di α [ a) 4/5, b) - 4/3 ] 7) Calcola il valore dell espressione: cos π 4 + arctg + sen 3 4 π + arcsen 1 5 calcola ( scrivi i passaggi intermedi): 8) Un triangolo ABC ha gli angoli interni α = e β =. Calcola il seno e il coseno del terzo angolo del triangolo. 9) ABCD è un trapezio rettangolo. Dimostra le seguenti proprietà: a) La somma dei coseni dei suoi angoli è uguale a zero b) La somma dei seni dei suoi angoli è uguale a se l angolo acuto è arcsen c) La somma delle tangenti degli angoli adiacenti al lato obliquo è uguale a zero. 10) Data la funzione di equazione y = 3 + tg4x calcolane il periodo ( scrivi come lo hai ottenuto). [ π/4 ] 11) Data la funzione di equazione y = 3sen +, calcola il suo periodo e ricava il codominio (scrivi come li hai ottenuti). [ 8π, [ - 3, 3] ] 1) Rappresenta in [ 0, π ] la funzione di equazione: y = 1 senx + π

4 13) Rappresenta in [ - π, π ] la funzione di equazione: y = 3 + cosx + π 14) Le funzioni di equazione y = arcos(x + 1) e y = arcsen( x) hanno a) lo stesso dominio b) diverso codominio c) periodo π per ciascuna delle affermazioni a), b), c) decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta che hai dato. 15) Ricava le equazioni di tutti gli asintoti della funzione y = 6 - tg. [ x = π kπ ] 16) Rappresenta in [ - π, π ] la funzione di equazione: y = 4 senx + 4cosx 17) Rappresenta in [ 0, π] la funzione di equazione y = + sen x + 18) Sono assegnate le funzioni di equazione y = k arcos( x + 5) a) Ricava il loro dominio b) Ricava per quale valore di k si ottiene la funzione che ha codominio [ 0, π]. c) Rappresenta la funzione che si ottiene per k = ) È assegnata la funzione di equazione y = arcsen. Per ciascuna delle affermazioni che seguono decidi se è vera o falsa e giustifica la risposta che hai dato. a) Ha lo stesso codominio della funzione y = arcsenx b) Ha periodo π c) Ha periodo 4 d) È simmetrica rispetto all origine degli assi. 0) È assegnato un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa AC = a. Indicato con P un punto di AC esprimere la differenza. Rappresentare la funzione ottenuta in [ 0, π ] e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ PBA = x, y = senx cosx ] 1) Sia ABC un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r. Indicato con P un punto del minore dei due archi AC esprimere la somma delle distanze di P dai vertici del triangolo. Rappresentare in [- π, π] funzione ottenuta, e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ PBA = x, y = senx + 3 cosx ] ) Sia ABC un triangolo equilatero di lato a. Tracciare una retta r passante per A e esterna al triangolo dato, proiettare C su r in H. Esprimere al variare di r, l area del triangolo AHB. Rappresentare in [0, π ] la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ CAH = x, y = a cosx sen x + π ] 3) E assegnato un triangolo rettangolo isoscele ABC di ipotenusa BC = a. Tracciata una semiretta r di origine A siano: P il punto d intersezione tra r e il lato BC, K la 1 AK proiezione di B su r. Esprimere al variare di r la relazione: AP AB, rappresentare

5 in [- π, π ] la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ PAB = x, y = sen x + π cosx ] 4) Due semirette r, s di origine O formano un angolo α = arcsen, tracciare la semiretta t bisettrice dell angolo α. Siano P il punto di t tale che OP = 4a, Q il punto di s tale che OQ = a 5, R la proiezione di P su r. Calcolare: la misura di RQ la somma dei quadrati dei lati del quadrilatero OQPR. [ RQ = a ; la somma dei quadrati dei lati del quadrilatero vale 6a ] 5) È assegnato un triangolo ABC di lati AB = 6a, AC = a, BC = 6a. Calcolare coscab. Indicato con M il punto medio di AB, risolvere il triangolo ACM e calcolare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo CMB. [ coscab = ; r = a ] 6) In una circonferenza γ di centro O e raggio r, è inscritto un triangolo isoscele ABC che ha angolo al vertice ACB = arcos. Traccia la bisettrice dell angolo AC B e indica con D il suo punto d intersezione con γ. Calcola il perimetro del quadrilatero ACBD Calcola la misura di ciascuna delle due parti in cui il raggio OD è diviso da AB. [ p(abcd) = r, OH = r, HD = r ] 7) È assegnato un triangolo equilatero ABC di lato a. Traccia nel semipiano di origine AB a cui appartiene il triangolo la semiretta r di origine A, che forma un angolo acuto con il lato AC e indica con H la proiezione di C su r. Ricava per quali valori di CAH vale la relazione CH + HB = a. Distingui due casi: la semiretta r può essere sia interna sia esterna al triangolo. [ se la semiretta è interna non ci sono soluzioni, s ela semiretta è esterna le soluzioni sono x = π/3 e x = arctg3 3 ] 8) cos x + 18cos 5 > 0 [ - π/3 + kπ < x < π/3 + kπ ] 9) 7sen x senx cosx 3 [ - π/ + kπ x arctg(-3/4) + kπ π/4 + kπ x π/ + kπ ] 30) 4cos x + 8senx [kπ x 7π/6 + kπ 11π/6 + kπ x π + kπ ] 31) 5sen x + senx cosx 3 > 0 [π/4 + kπ x π/ + kπ - π/ + kπ x arctg(-3/) + kπ] 3) senx + 1 3cosx [ - π/ + kπ x artg(1/) + kπ ] 33) cos7x cos3x 6senx < 0 [ kπ < x < + kπ ] 34) senx + 9tgx 0 [ kπ x < + kπ ] 35) 0 π + kπ x π + kπ

6 36) 6cos4x + sen3x sen5x 0 π + k x π + k 37) senx cosx 1 π + kπ < x arctg( 3) + kπ + kπ x < π + kπ 38) senx 0 π + kπ x π + kπ 39) log (3tg x + 7) < 3 π + kπ < x < π + kπ GEOMETRIA DELLO SPAZIO 1) In figura è rappresentata una piramide che ha lo spigolo VB perpendicolare al piano del triangolo ABC. ABC è un triangolo isoscele, l angolo di vertice B è di 10 e i lati obliqui hanno misura 4a 3. Sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 60 con il piano di base, calcolare: a) Tutti gli spigoli della piramide b) La superficie totale della piramide c) L angolo formato dalle faccia CAV e dal piano di base. Scrivere una definizione di angolo tra piani e spiegare l angolo calcolato è quello richiesto. [ a) AV = CV = 8a 3, AC = 1a ; b) a ; c) arctg( 3 ) ] ) Sono date due rette r, s tra loro parallele che hanno distanza 4a e una retta t che passa per un punto A di r e forma un angolo di 60 con il piano delle rette r, s. È vero o falso che s e t sono sghembe? Perché? 3) È dato un cubo che ha spigolo 4a. a) Costruire la piramide che ha il vertice V nel centro di una faccia del cubo e la base sulla faccia opposta del cubo. Calcolare a quale distanza da V deve essere tracciato un piano parallelo al piano di base in modo che proiettando la sezione della piramide sul piano di base si ottenga un prisma che ha superficie laterale a. b) I punti medi dei lati di una faccia del cubo e le loro proiezioni sulla faccia opposta sono i vertici di un parallelepipedo. Calcolare le diagonali del parallelepipedo e l angolo che ciascuna di esse forma con il piano di base, motivare la risposta data. c) Costruire la piramide che ha il vertice V nel centro di una faccia del cubo, gli spigoli laterali che passano per i punti degli spigoli del cubo che hanno distanza 3a dalla faccia su cui è il vertice V, e la base sul piano della faccia del cubo opposta a quella su cui è

7 V. Calcolare il volume della piramide. Spiegare le caratteristiche del poligono di base motivandolo. [ a) a, a ; b) 45 ; c) a ] 4) Un parallelepipedo ha base ABCD quadrata di lato a a) Se le diagonali del parallelepipedo formano con il piano di base ABCD un angolo α = artg, qual è l altezza del parallelepipedo? b) Nel caso in cui l altezza del parallelepipedo sia 4a calcolare l angolo formato dai piani (ADD ) e (BDD ), essendo D il vertice del parallelepipedo corrispondente a D sull altra faccia di base. Motivare la risposta. Calcolare la superficie totale della piramide che ha vertice in D e base coincidente con il triangolo ABD. Scrivere, motivandolo, quali sono le caratteristiche di ciascuna faccia della piramide. [ a) 4a ; b) 45, S totale = + + a ] 5) Una piramide retta che ha per base un rettangolo di dimensioni a e a e altezza congruente alla dimensione maggiore del rettangolo di base ha tutti gli spigoli congruenti. Che cosa non va nell affermazione in corsivo? Motivare la risposta. 6) Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato a e ha altezza VO = 3a a) Calcolare l angolo che ciascuno spigolo laterale forma con il piano di base b) Calcolare l angolo che le facce laterali formano con il piano di base c) Calcolare a quale distanza dal vertice V deve essere tracciato un piano parallelo al piano di base affinché il prisma che ha per basi la sezione staccata e la sua proiezione sul piano di base della piramide abbia superficie laterale 5a. d) Considera la piramide che ha vertice V e base coincidente con il triangolo che si ottiene congiungendo i vertici dell esagono uno sì e uno no. Calcola la superficie laterale di questa piramide. [ a) artg ; b) π ; c), a ; d) 3 30a ]