Verifiche 4 C a.s. 2013/2014. Verifiche anno scolastico 2013/2014 classe 4 C

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1 Verifiche anno scolastico 01/014 classe 4 C 1

2 1) 0 x < x +8 x+1 1 [ x > ] ) x [ x log x 0 x < log ] 5 ) (log x) + log (x ) + log 4 x [ 1 x 1 ] 4) 1 + log ( x ) > log ( x + 4x) [ < x < 4 ] 5) ln(e x 1) > 1 [x > 1 ln (e + 1)] 6) Per quali valori di k i numeri = ( )k = ( 5 ) 1+k = 10 4k+5 sono tutti maggiori di 1? Giustifica la risposta che hai dato. 7) Per ciascuna delle funzioni che seguono ricava qual è il suo dominio e stabilisci che segno ha al variare di x: a) y = log4x b) y = log1/10(1 x ) c) y = log1/(4 + x ) 8) Per quali valori di k positivi la funzione y = log1/( k + x ) ha segno costante? Giustifica la risposta che hai dato. [ k > 1 ] Trigonometria 1) Rappresenta in [0, π ] la funzione y = 5 senx cosx 5cos x + 5 ) Data la funzione y = 4senx + 4cosx, ricava le coordinate dei minimi interni all intervallo [ - π, π] ) Sono assegnate le rette r di equazione x y = 0 e s di equazione x + y = 0 a) Calcola l angolo formato dalle rette r, s b) Ricava le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r, s [ a) rs = arctg ; b) y = x, y = ] 4) Sono assegnate due semirette s,t che hanno origine comune in un punto O e formano un angolo α = π, indicare con A il punto di s tale che OA = a. Internamente all angolo α tracciare una semiretta r di origine O che forma un angolo β = arcos con s, proiettare A 5 su r in P e P su t in Q. Calcolare il perimetro del quadrilatero OAPQ. [ p = a ] 5 5) Un triangolo ABC ha le seguenti caratteristiche: AC = 4, γ = π, β = arcsen. 6 5 Calcola: a) L altezza AH relativa al lato BC b) Il lato BC c) Il lato AB d) Il perimetro e l area del triangolo e) cosα. [ AH =, BC = ] 6) Sapendo che senα = , AB = ; p = , area = ; cosα = e che π < α < π, calcolare

3 a) sen ( π + α) b) cos( π 4 + α) [ a) 10, b) 1 5 ] 7) Sono assegnati gli angoli: α = arcos a) tg( α β) b) sen(β ) 10 β = arctg 1. Calcola [ a) 1 7, b) 4 5 ] 8) Data una semicirconferenza di diametro AB = r, costruire nel semipiano di origine AB a cui non appartiene il quadrato ABCD. Indicato con P un generico punto di determinare per quali posizioni di P vale la relazione: PD + AP AB > 8r. [ PA B = x, - sen x + senx cosx > 0, 0 < x < π 4 ] 9) È assegnato un rombo ABCD che ha i lati di misura a e gli angoli acuti di DA B = BC D = π. Tracciata una semiretta r di origine A, interna all angolo DA B, indicare con E, F i punti in cui r interseca, rispettivamente, la diagonale BD e il lato CD. Esprimere, al variare di r, la differenza EB DF ; rappresentare in [0, ] la funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico AE EF relativo al problema. [ EA D = x, y = cosx - senx, 0 < x π 6 ] 10) cosx cosx < 0 [ < x < x k ] 11) 1 [ - + k < x k π + k x + k senx senx+ 1) 10sen x + senx cosx 9 0 [ π + k x artg( ) π + k x π +k ] senx+ cosx 1) > 0 [ π + k < x < 5 + k x k ] senx + 1 cosx ) Sono assegnate le funzioni: f(x) = tg x 1 + 1, g(x) = cosx 5 1, 1 tg x h(x) = tg x 1 cosx 5 cosx 5 Individua quali tra le seguenti risposte è corretta e motiva la scelta che hai operato : a) le tre funzioni hanno lo stesso dominio b) f(x) e g(x) hanno lo stesso dominio c) f(x) e h(x) hanno lo stesso dominio d) g(x) e h(x) hanno lo stesso dominio e) nessuna delle precedenti risposte è esatta [ c ] 15) Un grattacielo panoramico è alto 80m, da quale distanza dalla base del grattacielo l angolo di inclinazione sotto cui è vista la cima è di 0? Se a partire da quella posizione un turista si avvicina camminando in linea retta verso la porta d ingresso alla velocità costante di 4km/h, dopo quanto tempo vede la cima del grattacielo con un angolo di inclinazione di 40? [circa 8.19min ] Numeri complessi

4 16) Risolvi l equazione z z + 4 4i = 0 e scrivi le soluzioni in forma trigonometrica. [ - i; + i] 17) Esegui le operazioni i + i 1+i trigonometrica. [ 1 i ], rappresenta nel piano di Gauss il risultato e scrivilo in forma 18) Calcola i, scrivi le radici ottenute sia in forma algebrica sia in forma trigonometrica e rappresentale nel piano di Gauss. [ z 1 = z = 6, α = π, β = π ] Geometria dello spazio 19) Un rettangolo ABCD ha le dimensioni AB = 4a e AD = 6a, indicato con M il punto medio di AD tracciare la retta r perpendicolare in M al piano del rettangolo e indicare con N il punto di r tale che NM = 5a. a) Calcola l angolo che ciascuno dei segmenti AN, BN, CN, DN forma con il piano del rettangolo. b) Calcola l angolo che il piano generato dai punti B, C, N forma con il piano del rettangolo c) Dimostra che NCD è un triangolo rettangolo. Calcola l angolo che il piano generato dai punti N, C, D forma con il piano del rettangolo. [ a) NB M = NC D = π ; ND M = NA D = arctg 5 ; b) angolo fra piani NK M = artg 5 se K è la 4 4 proiezione di M su BC; c) ND M è l angolo cercato ] 0) Un segmento AB ha misura 8a ricava qual è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza 5a dagli estremi del segmento. Giustifica la risposta che hai dato. [ Circonferenza che è situata nel piano assiale di AB, ha centro nel punto medio di AB e raggio a ] 1) È assegnata una piramide a base quadrata ABCD di lato 4a e vertice V; l altezza della piramide ha misura 8a e cade nel punto medio del lato AD. a) Calcola la misura degli spigoli laterali VB e VC e l angolo che ciascuno di essi forma con il piano di base b) Calcola l ampiezza del diedro formato dalla faccia VBC e dal piano di base c) Tracciato un piano parallelo al paino di base, a distanza x dal vertice V, proietta il poligono sezione sul piano di base e esprimi in funzione di x la superficie del parallelepipedo costruito. Rappresenta la funzione ottenuta e metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. d) Traccia un piano parallelo al piano di base a distanza 4a dal vertice e considera il parallelepipedo inscritto nella piramide che ha una base su. Ricava la distanza del punto d intersezione delle diagonali dal piano di base della piramide. [ a) VB = VC = 17a, VB H = arctg( 4 5 ); b) acrtg ; c) y = x + 16ax 0 x 8a; d) a ] ) Un prisma retto di altezza a, ha per base il trapezio isoscele ABCD che ha gli angoli adiacenti alla base maggiore AB di misura π, base minore CD = a e lati obliqui BC = AD = a. Traccia il piano che è parallelo alla faccia BB C C e contiene la retta DD, sia EE l intersezione tra e la faccia ABB A. a) Il prisma assegnato è così diviso in due solidi, descrivi tutte le caratteristiche dei due solidi che riesci a riconoscere (motiva tutte le caratteristiche elencate). 4

5 b) Calcola l ampiezza del diedro che ha per facce i piani ADD A e DEE D. [ a) i due prismi hanno l uno per base un triangolo equilatero, l altro un rombo; b) π ] ) Un triangolo rettangolo isoscele di cateti AB = AC = a è la base di una piramide che ha il vertice V sulla retta perpendicolare in A al piano del triangolo e AV = a. a) Calcola l ampiezza del diedro che la faccia VBC forma con il piano di base, esprimila in gradi sessagesimali b) Calcola l ampiezza del diedro formato dalle facce laterali VAB e VBC, esprimila in gradi sessagesimali. [ a) artg ; b) arcos 1 ] 4) È assegnata una sfera di raggio R a) Nella sfera è inscritto un parallelepipedo a base quadrata che ha altezza R, ricavare il volume del parallelepipedo. b) Calcolare la superficie laterale del cilindro equilatero inscritto nella sfera. [ a) 7 R ; b) R ] 5) Disegna lo sviluppo della superficie laterale del cono equilatero di raggio r. Esponi il procedimento che hai seguito. [ lo sviluppo è un semicerchio ] 6) È assegnato un rettangolo ABCD che ha dimensioni AB = 6a e BC = 8a. a) Il rettangolo ABCD è la base di una piramide la cui altezza ha misura 4a e cade nel centro del rettangolo. Ricavare le dimensioni dei parallelepipedi di volume 9a inscritti nella piramide. b) Nel cilindro ottenuto dalla rotazione del rettangolo ABCD attorno al lato BC è scavato un cono che ha la base situata sulla base del cilindro di centro C, raggio di base CD e altezza variabile. Riconoscere quale tra i grafici che seguono rappresenta meglio il volume del solido ottenuto in funzione dell altezza del cono, spiegare la scelta fatta. A) B) C) [ a) altezza del prisma h1 = a, h = a 5 1 ; b) A) ] 5

6 7) Un ottaedro regolare ha spigolo di misura 10cm, ricavare lo spigolo dell esaedro regolare equivalente all ottaedro assegnato. 8) È assegnato un cono ha raggio r e altezza h = r. Ricavare le dimensioni dei cilindri inscritti nel cono assegnato, sapendo che la superficie laterale dei cilindri è 9 πr. Calcolo della probabilità 9) Una casa produttrice di notebook ha analizzato i prodotti provenienti da tre stabilimenti e ha rilevato che il primo stabilimento ha prodotto 500 apparecchi e lo 0.% presentava una scheda di rete difettosa, nello stesso periodo un secondo stabilimento ha prodotto 00 apparecchi dei quali l 1 % presenta lo stesso difetto nella scheda di rete e da ultimo ha analizzato i 400 apparecchi prodotti dal terzo stabilimento e ha ritrovato lo 0.5% degli apparecchi con il medesimo difetto. Calcolare: a) Il numero di apparecchi difettosi prodotti da ciascun stabilimento b) La probabilità che un apparecchio sia difettoso c) La probabilità che un apparecchio giudicato difettoso provenga dal terzo stabilimento. [ a) 1,, ; b) ; c) 5 17 ] = 11. 0) Ricavare per quale valore di n (n > 5) vale la relazione D n,5 D n+1,4 Dn, [ n = 8 ] 1) Ricavare per quale valore di n > 1 vale la relazione (n + 1)! (n 1)! = 40 n! ) Si lanciano due dadi simultaneamente; calcolare la probabilità che: a) La somma delle facce valga 10 o che entrambe le facce siano pari b) La somma delle facce sia minore di 10 c) Le facce siano uguali o la somma sia dispari. [ a) 5 18 ; b) 5 6 ; c) ] ) Da un mazzo di carte da quaranta si pescano simultaneamente 4 carte. Calcolare la probabilità che: a) Le prime tre carte estratte siano rosse b) Almeno una delle quattro carte sia una figura rossa. c) Due carte siano di cuori e due siano figure. n [ a) 6 ; b) ; c) ] 4) Su uno scaffale ci sono due sacchetti, il sacchetto 1 contiene 10 palline gialle e 4 palline blu, mentre il sacchetto contiene 6 palline gialle e 8 blu. a) Si pesca dal sacchetto 1 se nel lancio di un dado esce un numero maggiore o uguale di, in caso contrario si pesca dal sacchetto. Qual è la probabilità che, avendo estratto una pallina blu, questa provenga dal sacchetto? b) Pescando tre palline dal primo sacchetto, qual è la probabilità che almeno una sia gialla? 6