LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO

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1 LA GEOMETRIA ELLO SPAZIO 1 alcola l area e il perimetro del triangolo individuato dai punti A ; 0; 4, ; 1; 5 e 0; ;. ( ) ( ) ( ) 9 ; + 6 Stabilisci se il punto A ( 1;1; ) appartiene all intersezione dei piani rispettivamente di equazione x + y = z e x y + z = 1. Scrivi l equazione del piano che passa per i punti. A 0;1;1, 1;1;0, ;0;1. ( ) ( ) ( ) [ x + y z = 1] 4 Scrivi l equazione del piano passante per i punti A( 1; 0; ), ( ; 1; 0 ) e ( 1; ; ) la distanza del punto P ( 1; 4; ) dal piano. [ sì ] e calcola 46 5x + 8y 6z 7 = 0; ato il piano α : x y + z 4 = 0 individua l equazione del piano β parallelo al piano α e passante per il punto ( 1; 0; ). β. A Verifica, inoltre, che il punto ( 4; 5; 4) 6 alcola il volume della piramide individuata dai punti A 0; 1; 1, ; ; 0, ; 0; e V ; 1;. 7 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Scrivi, inoltre, l equazione cartesiana e parametrica della P 4; 5; 1 e Q ; 1; 6. retta passante per ( ) ( ) P appartiene al piano [ x y + z + 1 = 0] [ 4 ] x = + 6t 7x 6z + = 0 ; y = 1 4 t 7y + 4z 1 = 0 z = 6 + 7t x y z + 7 = 0 Verifica che la retta di equazione giace sul piano di equazione x + 4y + z 1 = 0 x y z + 1 = 0.

2 9 Scrivi l equazione della superficie sferica la cui intersezione con il piano Oxz è la circonferenza x + z x + 4z + 5 = 0 e avente come centro un punto di ordinata 4. centro :( 1; 4; ), raggio : 4 10 Un parallelepipedo rettangolo ha l area della superficie totale di 48 c L altezza è 5 di uno spigolo di base e 5 dell altro. alcola la lunghezza della diagonale del parallelepipedo. 11 etermina l area totale di un parallelepipedo rettangolo sapendo che il suo volume è cm cm e che la base ha un lato di 6 cm e l altro è 5 dell altezza. 656 cm In un triangolo rettangolo un cateto è 5 dell altro e il perimetro è di 60 cm. alcola il volume 1 del solido ottenuto da una rotazione completa del triangolo attorno all ipotenusa cm 1 Il volume di una piramide regolare a base quadrata è 1544 cm e lo spigolo di base è 14 5 dell apotema. A quale distanza dalla base si deve condurre un piano a essa parallelo affinché il rapporto fra le aree della sezione e della base della piramide sia 1? 16 [ 6 cm ] 14 Il volume di un cono circolare retto è 4 cm e il raggio di base è cm. alcola la lunghezza x di un segmento da aggiungere al raggio e da togliere all altezza del cono affinché il rapporto fra 15 i volumi del cono dato e di quello con il nuovo raggio e la nuova altezza sia 1. 5 cm; 9 cm In un triangolo rettangolo l ipotenusa è 5 cm e il rapporto fra i cateti è. Ruota il triangolo di 4 60 attorno all ipotenusa e calcola la superficie totale e il volume del solido ottenuto. 40 cm ; 100 cm

3 1 Quale delle seguenti equazioni rappresenta il piano passante per i punti A 1; ; 1, 1; 0; 1 e 0; 0; 1? ( ) ( ) ( ) A x + y z + 1 = 0. x y z + 1 = 0. x y + z + 1 = 0. x y + z + 1 = 0. E x y + z + 1 = 0. Il piano passante per il punto A( 1; 1; ) e parallelo al piano Oxz ha equazione: A x = 1. y = 1. z =. x = 1. E y = 1. Quale di questi punti appartiene al piano x y + 4z 5 = 0? A M ( ; 5; 1 ). N ( ; 1; 5 ). P ( 1; 5; ). Q ( 1; ; 1 ). E R ( ; 1; 1 ). 4 Nella simmetria di centro l origine, al piano di equazione x y + z = 10 corrisponde quello di equazione: A x y + z = 10. x + y z = 10. x + y z = 10. x + y + z = 10. E x y z = La retta di equazione parametrica: x = 4 + t y = 1 + 5t z = 4t può essere scritta come: x + y + z = 0 A x y z + 8 = 0 x y z = 0 x + y z + 8 = 0 x + y z + = 0 x y z + 8 = 0 x + y + z = 0

4 1 Per tre punti passa: A uno e un solo piano. una e una sola retta. uno e un solo piano solo se i punti sono distinti. uno e un solo piano solo se i punti sono non allineati. E una e una sola retta solo se i punti sono non allineati. ue rette sono sghembe se: A non hanno punti comuni. non hanno punti comuni e non sono parallele. non hanno punti comuni e sono parallele. hanno punti comuni. E hanno punti comuni e non sono complanari. Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest ultima risulta: A parallela al piano delle prime due. perpendicolare al piano delle prime due. giacente nel piano delle prime due. sghemba con il piano delle prime due. E incidente ma non perpendicolare al piano delle prime due. 4 Una retta e un piano possono avere solo due punti in comune? A Sì, se la retta è incidente. Sì, se la retta è parallela al piano. Sì, se la retta è sghemba rispetto al piano. No, perché una retta e un piano hanno sempre e solo un punto in comune. E No, perché la retta dovrebbe giacere sul piano e avrebbe infiniti punti comuni con il piano. 5 Un prisma si dice retto se: A gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. le basi sono rettangoli. le basi sono triangoli rettangoli. gli spigoli di base sono tutti fra loro perpendicolari. E le basi sono quadrati.

5 6 Se in un cubo indichiamo con d la misura della diagonale e con s la misura dello spigolo, quale delle seguenti uguaglianze è vera? A s = d. s = d. d = s. d = s E d = s.. 7 Se in un parallelepipedo rettangolo indichiamo con d la misura della diagonale e con a, b e c la misura delle sue tre dimensioni, quale delle seguenti uguaglianze è vera? A d = a + b + c. d = a + b + c. d = a + b + c. d = a b + c. E d = a + b c. 8 Se una piramide è retta allora: A la base è un quadrato. gli spigoli laterali sono perpendicolari al piano della base. nella base si può inscrivere una circonferenza. la base è un rettangolo. E le facce laterali sono triangoli equilateri. 9 Quanti sono i poliedri regolari? A Infiniti. Solo il cubo. Nessuno.. E Il tronco di cono è un solido generato dalla rotazione completa: A di un triangolo attorno a uno dei suoi lati. di un triangolo rettangolo attorno a uno dei cateti. di un triangolo rettangolo attorno all ipotenusa. di un trapezio rettangolo attorno alla base maggiore. E di un trapezio rettangolo attorno all altezza.

6 11 he cosa si ottiene ruotando di 60 un triangolo rettangolo attorno alla sua ipotenusa? A Un cono. Un cilindro. Un tronco di cono. ue coni aventi le basi coincidenti. E Un ottaedro. 1 Soltanto una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale? A La superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza dal centro uguale al raggio. La sfera è il luogo dei punti dello spazio che hanno dal centro distanza minore o uguale al raggio. Il parallelepipedo è un poligono regolare. Il cubo è un poliedro. E Una piramide retta è regolare se la sua base è un poligono regolare. 1 In un cono equilatero, l apotema è: A la metà del raggio di base. congruente al raggio di base. il doppio del raggio di base. la metà dell altezza. E uguale all altezza. 14 L area della superficie di una sfera di raggio r è: A E A = r. A = r. 4 A = r. A = A = 4 r. r. 15 La diagonale di un cubo è lunga 4 m. L area della superficie del cubo è: A E 06

7 16 Il volume di un cono di altezza h e raggio di base r è: 1 A V = r h. V = r h. 1 V = rh. 1 V = rh. V = rh E. 17 Un cono equilatero ha raggio di base r e apotema a. La misura del suo volume è: A E r. r. 1. r r. r. 18 La superficie di una sfera misura a. Il suo volume è: 4 A. a E 4 a. 1. a 1. 6 a a.