Capitolo 8: introduzione alla trigonometria

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1 Capitolo 8: introduzione alla trigonometria 8.1 Trasformare da gradi sessagesimali a radianti o viceversa a 0 0 ; b 70 0 ; c 60 0 ; d 1 0 ; e 5 0 ; f 15 0 ; g 5 0 ; h 15 0 ; i ; j ; k ; l 8 ; m ; n ; o ; p 1; q 1 ; r 8 ; s 11 6 ; t ; u ; v Stabilire in quale quadrante cade il secondo estremo dei seguenti archi di cui si conosce l ampiezza il primo estremo è sempre fissato nel punto 1,0: a ; b 0 0 ; c 5 0 ; d ; e 0 0 ; f 75 0 ; g 5 6 ; h 1 6 ; i 6 ; j 5 ; k ; l 8 ; m 7 ; n 1 8. Studiare la periodicità delle seguenti funzioni. a cosx b sinx + 8 c cos x d tan x e sin x + cos x f cos x + sin x g cos x cos 5x h tan x tan x i sin x + sin x 8. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni. a sin x b sinx 1 c sin x d sin x e cos x f tan x g sin x + cos x h cos x sin x i + sin x + cos x j sin x + cos x k sin x + cos x l 1 sin x cos x m cosx + n sin x o + cos x p tanx q cosx + r cos x s tan x t sin x 65

2 8.5 Risolvere i seguenti triangoli rettangoli con le notazioni standard, in particolare, c indica l ipotenusa a { c = 10 β = 0 0 { c = 16 b sin β = 1 c { c = 0, 6 tan β = d { c = 5 a = e { a = 18 α = 75 0 { b = 8 f sin β = 1 g { a = b = h { b = 7, 5 β = Risolvere i seguenti triangoli. c = 10 c = 9 a α = 6 b cos α = 5 cos β = 5 β = α c = 0 c = 1 d β = e tan β = b = 0 b = c = 1 c = g β = α h b = cos α = 1 9 tan α = c = 0 c β = b = 0 1 c = 1 f cos β = 7 5 b = c = i b = 6 cos α = Calcolare gli angoli formati dalle coppie di rette di equazione: a { y = x 1 y = x { x y + 1 = 0 b y = c { x + y = 0 x y + = Determinare il valore delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente a partire dai seguenti dati: sin α = 1 sin α = 1 sin α = 5 a α b 0, α c, α, 0 cos α = 5 cos α = 7 8 tan α = d α e, α f, α, 66

3 8.9 Scrivere l equazione della retta passante per il punto P e formante con la direzione positiva dell asse x l angolo α indicato: P = 1, 0 a α = 6 P =, b α = P = 0, c sin α = 5, α, d P = 1, cos α = 5, α 0, 8.10 Verificare le seguenti identità. a sin α = sin α sin α b cos α = cos α cos α c sin α = sin α cos αcos α sin α d cos α = 8 cos α 8 cos α Sviluppare e semplificare le seguenti espressioni. a sin + α cos α c sin α + cos α e tan α + + cot α 5 5 b sin α + cos 6 + α d sin α sin α 5 cos α f tan + α tan α 1 g sin α 6 cos 5 α tan α tan cos α 1 h + α sin α i 1 + cos α tan α sin α l cos α + sin α sin α + cos α m tan α + sin α n cos α + sin α 1 o tan α cos α + q tan α1 tan α + sin α 1 sin α + 1 cos α p cos α sin α + sin α + r cos α sin α + 1 cos α cos α cos α1 + tan α s sin α + cos α 1 t sin α + cos α tan α u sin α tan α α 1 sin α v tan α tan α + 1 z sin α cos α sin α

4 8.1 Trasformare le seguenti espressioni utilizzando le formule parametriche. a cos α sin α 1 b sin α cos α + 1 e c tan α d cos α sin α cos α sin α cos α + sin α sin α 1 + cos α f tan α sin α cos α 1 + cos α 8.1 Trasformare le somme in prodotti utilizzando le formule di prostaferesi o viceversa utilizzando le formule di Werner. a sin α + sin α b sin 5α sin α c sin α sin α + sin α d cosα β + cosα + β e sin α cos β g cos α + cos α + 6 f sin α cos α h sinα β sin α cos β 8.1 Provare che l area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell angolo compreso: S = 1 a b sin γ. Sugg.: se γ è retto il risultato è immediato. Distinguere due casi a seconda che γ sia acuto oppure ottuso, e tracciare l altezza dal vertice A al lato BC Risolvere le seguenti equazioni. b sin x = sin x a sin x = 1 c cos 1 x = 1 d cos x = cos x + 1 e cos x = cos x f tan x = tan 6 x g sin x + sin x = 0 h cos cos x + = 0 i tan x + 1 = tan x j sin x sin x = k cos x cosx + 1 = 0 l + cos x = sin x 1 68

5 m 1 + tan x + 1 tan x = n sin x = cos x 1 o sin x + cos x = 0 p sin x cos x + 1 = 0 q sin 6 + x sin x + 1 = 0 r sin x cos x + sin x = 1 s sin x cos 6 x + sin x cos x 1 = 0 t + sin 6x + cos x + 1 sin x cos x = { sinx y = 0 { sin x = sin y u tanx + y = v tan x tan y = 1 w sin x sin x cos x + cos x = 0 x sin x = cos x cos x + sin x y cos x sin x = x z sin x + cos x = α 8.16 Risolvere le seguenti disequazioni. a sin x 1 < 0; b cos x < 1 ; c sin x sin x > 0; d sin x sin x 1 < 0; e sin x + cos x > 5 cos x; f tan x 1 ; g sin x + cos x > 0; h sin x + cos x 1 < 0; i sin x + cos x + 0; j sin cos > 0; k sin x + cos x > 0; l cos + cos x sin x sin x cos x < 0; m tan x tan x > 0; n cos x + cos x 1 cot x 0; o 1 1 tan x > 0; p x tan + cos x > 1; q sin x 1 cos x > cot x; r 1 sin x + 1 cos x < sin x ; s tan x 1 cos x sin x cos x 0; t sin x + tan x sin x + + cos x + < 0; u sin x cos x tan x sin x cos x + 1 0; v tan x 1 sin x + cos x 0 w { tan x > sin x > 1 x sin x + 1 cos x > 1. 69

6 Dimostrare che: a b c sin α + sin β cos α + sin β tan α + tan β sin α + β, α, β [0, ]; cos α + β [, α, β, ] ; tan α + β, α, β,. Con le notazioni standard, dimostrare che un triangolo è isoscele nei lati a, b se e solo se a + b = tan γ a tan α + b tan β Nel triangolo ABC si ha c = ; b = 1; α = 10 o Prolungare il lato AC dalla parte di A e considerare su tale prolungamento il punto C tale che AC = 1. Calcolare il perimetro del triangolo BCC. Sia CD = una corda di una semicirconferenza di centro O e diametro AB = con C più vicino a B. Dette H e K le proiezioni ortogonali di C e D sul diametro, e posto BOC = x, si consideri la funzione fx = V 1 + V V, essendo V 1 il volume del cilindro avente raggio di base 1 e altezza HK, V il volume della sfera di raggio 1 e V il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo COD attorno ad AB. Determinare per quali valori di x fx è minima. 8.1 Detto P un punto della semicirconferenza di centro O e diametro AB = r, condure la bisettrice t dell angolo P AB e indicare con C e D rispettivamente i punti di incontro di t con la semicirconferenza e con la semiretta di origine B parallela ad AP. Posto P AB = x, scrivere la funzione fx = area P AD e tracciarne il grafico. Trovare per quali valori di x l area è massima e per quali valori il triangolo P AD è equivalente al triangolo ACB. 8. Dato il settore circolare AOB di ampiezza e raggio r, considerare i rettangoli in esso inscritti, aventi un lato su OA. Indicato con P il vertice appartenente all arco AOB ed assumendo come variabile x l angolo ÂOP, trovare l area del rettangolo al variare di P. Dire per quali valori di x quest area è massima. 70

7 Sugg.: provare che l area vale r sin x sin x = r sin x + 1 cos x 1 = [sin r x + 1 ] Dimostrare l identità sin α + sin α + + sin nα = sin n n+1 α sin sin α α, n N. 8. Data la funzione fx = log 1 + sin x, x [, ], 1 sin x trovarne campo di esistenza, immagine, segno e zeri. Provare che non è invertibile, ma lo diventa se ristretta all intervallo,. Scrivere l inversa di questa restrizione precisandone il dominio. 8.5 Data la funzione fx = arccos 1 x, trovarne campo di esistenza, immagine, segno e zeri. Provare che è invertibile e trovare la funzione inversa. 8.6 Dati i vettori A e B, di lunghezza rispettivamente A = 9, B = 7 e l angolo tra essi compreso β = 15 0, determinare il vettore somma C = A + B nonché l angolo α che questo forma con B. 8.7 Dato il vettore C di lunghezza C = 9 determinare i vettori A, B tali che C = A + B, sapendo che l angolo compreso tra C e B misura 0 0 mentre l angolo compreso tra C e A misura Dati i vettori A, B, C di lunghezza rispettivamente 10, 1, 15, Si determini il vettore somma D = A + B + C sapendo che l angolo compreso tra A e B misura 0 0 mentre l angolo compreso tra B e C misura Dati i vettori A, B, C di lunghezza rispettivamente 6, 8, 10, Si determini il vettore somma D = A + B + C sapendo che l angolo compreso tra A e B misura 10 0 mentre l angolo compreso tra A e C misura