Liceo Scientifico Severi Salerno

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1 Liceo Scientifico Severi Salerno VERIFICA DI MATEMATICA Docente: Pappalardo Vincenzo Data: 11/04/019 Classe: 4D 1. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni goniometriche: π sen x = cos x 3 sen x senx cos x + 3cos x 3 = 0

2 sen x cos x > tg x 4cos x 1 < 0 cos x

3 . Studiare la seguente funzione goniometrica: f (x) = cos x senx cos x + senx in 0;π 3. Problema Data una semicirconferenza il cui diametro AB misura r, determinare su di essa un punto P in modo che, detta M la sua proiezione sul diametro si abbia: AP+MB=r Posto PBC=x, per il teorema della corda: AP=r senx PB=rcosx MB=PBcosx=rcos x Considerato che 0 < x < 90, sostituendo nella (1) si ha: rsenx + r cos x = r cos x + senx 1 = 0 (1 sen x) + senx 1 = 0 0 < x < 90 sen x senx = 0 senx(senx 1) = 0 senx = 0 x = 0; x = 180 senx = 1 x = 90 Per le condizioni del problema, le soluzioni non vanno accettate.

4 4. Problema Un trapezio convesso è inscritto in un cerchio il cui raggio misura r ed ha la base maggiore su un diametro. Determinare gli altri tre lati del trapezio, sapendo che il rapporto tra la loro somma e la base maggiore vale 3/. Disegniamo il trapezio come in figura, con la base maggiore coincidente con il diametro della circonferenza. Il trapezio considerato è isoscele, essendo un trapezio convesso inscritto in una semicirconfenza. Tracciamo la diagonale AC, e poiniamo x=bac l'ampiezza dell'angolo formato dalla diagonale e dalla base maggiore. Essendo il triangolo BAC inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in C. Le relazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli ci dicono che: AC = ABcos x = r cos x BC = ABsin x = rsin x Calcoliamo la misura del cateto AH del triangolo rettangolo ACH: AH = AC cos x = r cos x cos x = r cos x Quindi. possiamo calcolare la semidifferenza tra le due basi: HB = AB AH = r r cos x = r(1 cos x) = rsin x e: DC = AB HB = r 4rsin x = r(1 sin x) Quindi, la relazione indicata dal problema diventa: AD + DC + CB AB = 3 AB=r BC + DC = 3r Sostituendo nella relazione le varie espressioni trovate per i lati del trapezio, otteniamo la seguente equazione: (rsin x)+ r(1 sen x) = 3r Semplificando e risolvendo, otteniamo: 4sin x 4sin x +1= 0 Δ=0 sin x 1= 0 x = 30 Per ragioni geometriche abbiamo scartato l altra soluzione x=150.

5 5. Problema Il triangolo ABC rettangolo in A ha l angolo di vertice B di 30. Determinare su BC un punto D in modo che si abbia: AD + BD = 3+ 3 AC Disegniamo il triangolo rettangolo, retto in A. Poniamo x=bad. Sapendo che ABC=30 e ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180, possiamo asserire che: ADB=180-(x+30 ) Applichiamo il teorema dei seni al triangolo ADB: BD sin x = AD sin30 BD = ADsin x Applicando di nuovo il teorema dei seni al triangolo ADC: AD sin60 = AC sin(x + 30 ) AC = 3 ADsin(x + 30 ) 3 Sostituiamo gli elementi trovati nella relazione data dal problema: AD + BD = 3+ 3 AC AD + ADsin x = ADsin(x + 30 ) Semplificando ed effettuando i calcoli, si ottiene la seguente equazione: 1+ sin x = (1+ 3)sin(x + 30 ) Applicando la formula di addizione del seno: sin(x + 30 ) = cos x + 3 sin x

6 l equazione diventa: (1+ 3)cos x + ( 1+ 3)sin x = 0 L equazione ottenuta è un'equazione lineare in seno e coseno. Utilizzando le formule parametriche: sin x = t 1 t cos x = 1+ t 1+ t con tg x = t e facendo gli opportuni calcoli, l equazione diventa: ( 3+ 3)t ( 1+ 3)t +1 3 = 0 Il discriminante associato è: ( 1+ 3) ( 3+ 3) ( 1 3) = = 4 Le soluzioni sono: t 1 = 3 3 t = + 3 La soluzione t non è accettabile per motivi geometrici. Quindi: t 1 = 3 3 tg x = 3 3 x = 30 x = 60 che è il risultato voluto.

7 6. Problema Indichiamo con AP la semiretta che forma un angolo acuto con il segmento AB di lunghezza unitaria. Sia Q la proiezione di B su AP. Costruisci il triangolo AQC rettangolo e isoscele di ipotenusa AQ, nel semipiano generato da AP non contenente B. a) Calcolare per quali valori dell incognita fissata l area del quadrilatero sia minore di ¼; b) Studia la funzione f(x) che rappresenta l area del triangolo ABQ, limitatamente all intervallo dell incognita, e individua il suo valore massimo. Punto a) Punto b)