1 Il teorema di Pitagora
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- Valentina Grilli
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1 1 Il teorema di Pitagora TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Area 1 - Capitolo - PAG. 94 1
2 1 Il teorema di Pitagora Considerando il triangolo rettangolo nella figura a lato e indicando con i l area del quadrato Q costruito sull ipotenusa C l area del quadrato Q 1 costruito sul cateto maggiore c l area del quadrato Q costruito sul cateto minore possiamo scrivere i C c C i c c i C Da queste formule è possibile, nota la misura dei due lati, calcolare la misura del terzo lato incognito: i C c C i c c i C Area 1 - Capitolo - PAG. 95
3 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il quadrato Considerando il quadrato ABCD ed applicando il teorema di Pitagora agli elementi dei due triangoli rettangoli congruenti ACD e ABC, otteniamo REGOLA. La misura della diagonale di un quadrato è uguale al prodotto della misura del lato per la radice quadrata di due. In simboli: d l l l l d l Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa: REGOLA. La misura del lato di un quadrato si ottiene dividendo la misura della diagonale per la radice quadrata di due. In simboli: l d Area 1 - Capitolo - PAG. 96 3
4 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il triangolo isoscele Considerando il il triangolo isoscele ABC e applicando il teorema di Pitagora agli elementi dei due triangoli rettangoli congruenti AHC e BHC, otteniamo: l b h b l h h l b Area 1 - Capitolo - PAG. 97 4
5 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il triangolo equilatero Considerando il il triangolo equilatero ABC e applicando il teorema di Pitagora agli elementi dei due triangoli rettangoli AHC e BHC, otteniamo: h l l l l 4 4 l l 4 3 l 4 l 3 Possiamo affermare che: REGOLA. La misura dell altezza di un triangolo equilatero si ottiene moltiplicando la metà della misura del lato per la radice quadrata di tre. In simboli: h 3 l Area 1 - Capitolo - PAG. 98 Da questa formula è possibile ricavare la formula inversa: l h 3 5
6 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il rettangolo Considerando il rettangolo ABCD ed applicando il teorema di Pitagora agli elementi dei due triangoli rettangoli congruenti ADC e ABC, otteniamo: d b h b d h h d b Area 1 - Capitolo - PAG. 98 6
7 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il rombo Considerando il rombo ABCD ed applicando il teorema di Pitagora agli elementi dei quattro triangoli rettangoli che si formano congiungendo le diagonali, otteniamo: l d D D l d d l D Area 1 - Capitolo - PAG. 99 7
8 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il parallelogrammo Considerando il parallelogrammo ABCD ed applicando il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo AHD, otteniamo: l h AH h l AH AH l h Area 1 - Capitolo - PAG
9 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il trapezio rettangolo Considerando il trapezio rettangolo ABCD ed applicando il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo CHB, otteniamo: l h HB h l HB HB l h Area 1 - Capitolo - PAG
10 Il teorema di Pitagora nei poligoni Il trapezio isoscele Considerando il trapezio isoscele ABCD ed applicando il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo KBC, otteniamo: l h KB h l KB KB l h Area 1 - Capitolo - PAG
11 Il teorema di Pitagora nei poligoni I poligoni regolari Considerando un poligono regolare generico, ad esempio l ottagono ABCDEFGH ed applicando il teorema di Pitagora ad uno qualsiasi dei suoi triangoli rettangoli congruenti, ad esempio AMO, possiamo dedurre le seguenti relazioni: r a l a r l l r a Area 1 - Capitolo - PAG
12 3 Il teorema di Pitagora e la circonferenza Primo caso Considerando una circonferenza ed il triangolo ABD in essa inscritto e avente l ipotenusa coincidente con il diametro, è possibile applicare il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo ABD. Otteniamo le seguenti relazioni: d C c C d c c d C Area 1 - Capitolo - PAG. 10 1
13 3 Il teorema di Pitagora e la circonferenza Secondo caso Considerando una circonferenza di centro O e una sua corda AB, è possibile applicare il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo AOM (con M punto medio di AB). Otteniamo le seguenti relazioni: r OM AM OM r AM AM r OM Area 1 - Capitolo - PAG
14 3 Il teorema di Pitagora e la circonferenza Terzo caso Considerando una circonferenza di centro O e la tangente condotta da un punto esterno P, è possibile applicare il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo AOP (con A punto di tangenza). Otteniamo le seguenti relazioni: OP r PA r OP PA PA OP r Area 1 - Capitolo - PAG
15 3 Il teorema di Pitagora e la circonferenza Quarto caso Considerando una circonferenza di centro O e la tangente condotta dall estremo A di un diametro AB, è possibile applicare il teorema di Pitagora agli elementi del triangolo rettangolo ABP (con P appartenente alla tangente per A). Otteniamo le seguenti relazioni: PB d PA d PB PA PA PB d Area 1 - Capitolo - PAG
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