7.7 Esercizi. 236 Capitolo 7. Equiestensione e aree

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1 236 apitolo 7. quiestensione e aree 7.7 sercizi sercizi dei singoli paragrafi Poligoni equivalenti 7.1. nunciate e dimostrate il teorema le cui ipotesi e tesi sono indicate di seguito. Ipotesi:, GH, J, =, =. Tesi:. = GHJI. G I 7.4. imostrare che la mediana relativa ad un lato di un triangolo divide il triangolo dato in due triangoli equivalenti imostrare che in un parallelogramma sono equivalenti i quattro triangoli determinati dalle diagonali e. H J 7.6. ssegnato il trapezio, detto il punto di intersezione delle diagonali e, dimostrare che è equivalente a ai vertici e dell ipotenusa di un triangolo rettangolo traccia le rette rispettivamente parallele ai cateti e; sia il loro punto di intersezione. imostrare che =. 2 e che MNPQ =. 2 dove MNPQ è il rettangolo avente un lato congruente all ipotenusa e l altro lato congruente all altezza H relativa all ipotenusa ostruire un rettangolo equivalente ad un trapezio dato imostra che le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi imostra che due triangoli sono equiestesi se hanno due lati ordinatamente congruenti e gli angoli tra essi compresi supplementari imostra che un triangolo è diviso da una sua mediana in due triangoli equiestesi pplicazioni dell algebra alla geometria Sia un triangolo con = 7 cm, = 5 cm e = 3 cm. ondurre una parallela ad che intersechi in e in. Sapendo che =, trovare il perimetro del triangolo Nel trapezio, le basi misurano 5 cm e 15 cm e l area vale 120 cm 2. etermina la distanza tra la base maggiore ed il punto di intersezione dei lati obliqui del trapezio Sia un triangolo rettangolo in, con = 8a. a un punto di si tracci la parallela ad che incontri in ; sia = 6a. Sapendo che e sono isoperimetrici, trovare l area di Nel trapezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza la base maggiore è 4/3 dell altezza ed il perimetro misura 48 cm. Trovare l area del trapezio Sia un triangolo rettangolo con il cateto = 32a. Sapendo che : = 5 : 3, trovare il perimetro del triangolo. Tracciare poi la parallela ad, che intersechi in e in. Sapendo che è medio proporzionale tra ed, trovare l area del trapezio.

2 Sezione 7.7. sercizi Sia un triangolo isoscele di base = 4 cm e di area 40 cm 2. opo aver trovato la misura dell altezzah si tracci l altezza K e la si prolunghi di un segmento K tale che l angolohâ sia congruente ad uno degli angoli alla base. opo aver dimostrato che  è retto, trovare il perimetro del triangolo ue lati consecutivi di un parallelogramma misurano 2a e 4a e l angolo tra essi compreso misura 60. Trovare la misura dell area e delle diagonali eterminare perimetro ed area di un trapezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza, sapendo che il lato obliquo è diviso dal punto di tangenza in due parti che misurano rispettivamente 4a e 9a eterminare perimetro ed area di un triangolo isoscele, sapendo che la base misura 10a e che l angolo adiacente ad uno degli angoli alla base misura Nel trapezio la base maggiore,, misura 15 cm e la minore,, misura 5 cm. Prolungando i lati obliqui si ottiene un triangolo rettangolo. Trovare il perimetro del trapezio e del triangolo rettangolo sapendo che la differenza tra le due basi è uguale alla differenza tra il doppio di e (Giochi di rchimede 2011). In un triangolo equilatero con lato di lunghezza 3 m, prendiamo i punti, e sui lati, e rispettivamente, in modo che i segmenti e misurino 1 m e il segmento sia perpendicolare ad. Quanto misura l area del triangolo? È dato un trapezio isoscele avente un angolo di 45 e il lato obliquo che misura 2 cm. Trovare l area sapendo che la base minore misura 3 cm Nella circonferenza di diametro sono inscritti i triangoli e, cone da parti opposte rispetto a. Sia H la proiezione di su. Sapendo che = 16 cm e che il rapporto tra e e tra H e H è 3/5, trovare il perimetro di Il quadrato ha il lato di 2 m; costruite sul lato il triangolo isoscele di base e aventeê = 120 ; siano eg i punti di intersezione delle rette e con la retta. eterminate la misura dei lati del triangolog È dato il triangolo equilatero ; la semiretta r di origine è interna all angolo e lo divide in due parti di cuip = 45, P0r. Sapendo che la distanza di P dal lato è di 2 m, calcolate il perimetro del triangolo equilatero dato Su ciascun lato del triangolo equilatero costruite un quadrato. Sapendo che l altezza del triangolo equilatero misura 3 3 m, determinate il perimetro e l area dell esagono che si forma congiungendo i vertici dei quadrati. ostruite il rettangolo equivalente all esagono Nel trapezio rettangolo di base maggiore, l angolo acuto di vertice misura 45 e l altezza è di 8 m. Sapendo che la base minore è 3/4 dell altezza, determinate perimetro e area del trapezio Nel parallelogramma la diagonale minore è perpendicolare al lato e forma col lato un angolo di 45. Sapendo che = 5 m, calcolate il perimetro e l area del parallelogramma Il trapezio di base maggiore, ha  = 45 e = 60 ; sapendo che la base minore è uguale all altezza che misura 12 cm, determinate perimetro e area del trapezio Il quadrilatero è spezzato dalla diagonale nel triangolo rettangolo isoscele retto in e nel triangolo isoscele su, avente l altezza H doppia della base. Sapendo che = 5 m, calcolate il perimetro e l area del quadrilatero.

3 238 apitolo 7. quiestensione e aree Il triangolo isoscele ha l angolo in opposto alla base di 120 ed è circoscritto ad una circonferenza di raggiooh = 6 m; calcolate perimetro e area del triangolo dato Nel triangolo l angolo inmisura 60 e sia la sua bisettrice ( su ). Sapendo che = 8 m, determinate la misura delle distanzeh edk del puntorispettivamente dai lati e e il perimetro del quadrilatero HK. È vero che tale quadrilatero è equivalente al triangolo equilatero di lato 8 m? È vero che tale quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza? Se la risposta è affermativa stabilite il suo centro e determinate la misura di detta circonferenza Nel triangolo di altezzah = 8 m, determina a quale distanza da si deve condurre una parallela al lato in modo che il triangolo ottenuto sia equivalente alla metà di La base di un rettangolo è più lunga di 8 cm dell altezza ed è più corta di 10 cm della diagonale. alcola perimetro ed area del rettangolo In un triangolo equilatero di lato l individua sul lato un punto P tale che detti H e K i piedi delle perpendicolari condotte dap ai lati e risultiph 2 +PK 2 = P , Nel trapezio rettangolo la base minore è metà dell altezza. eterminate perimetro e area in funzione della misuraxdella base minore nei casi in cui l angolo acuto del trapezio è di a ) 45 ; b ) 30 ; c ) Il triangolo è rettangolo e l angolo di vertice misura 30 ; detta P la bisettrice dell angolo retto, con P su, e sapendo che P = a, determinate, in funzione di a, perimetro e area del triangolo dato Il segmento è la diagonale del quadrilatero avente = Â = 90 e Ĉ = = 60. È vero che è un trapezio rettangolo? alcolate perimetro e area del quadrilatero sapendo che = 2a Il quadrato ha i suoi vertici sui lati del triangolo equilaterohkl ( eappartengono akl,ahl eahk); sapendo che = 3a, calcolate il perimetro e l area del triangolo equilatero In un parallelogramma di area 12 m 2, le lunghezze di due lati consecutivi sono una il doppio dell altra e uno degli angoli interni misura 60. etermina la lunghezza delle diagonali Un triangolo equilatero e un quadrato hanno lo stesso perimetro. Quanto vale il rapporto tra le aree delle due figure? In un triangolo rettangolo, retto in, si tracci una parallela al cateto. Sapendo che l area di è i 3/4 di quella di e che misura 1 m, quanto misura? ato il quadrato con M punto medio di ed N punto medio di, tracciare i segmentin,n, M em. SianoP l intersezione din con M e Q l intersezione din em. he figura èmqnp? Quanti triangoli ci sono nella figura? alcolare l area di MQNP e l area di uno dei triangoli ottusangoli, sapendo che il lato del quadrato è 12 cm isegna un rombo con la diagonale minore lunga 6 cm e la diagonale maggiore 8 cm. ostruisci su ciascun lato del rombo un quadrato. Unisci i vertici liberi dei quadrati formando un ottagono. alcolane l area. alcola anche l area dei quattro triangoli che si sono formati. alcola inoltre la misura degli angoli interni dell ottagono isegna un quadrato e sul lato poni i punti M ed N in modo che M = MN = N. he figura è MN?

4 Sezione 7.7. sercizi 239 alcola il rapporto tra l area dimn e quella di. alcola il perimetro di MN sapendo che l area del quadrato è 10 cm isegna un triangolo isoscele di base = 40 mm e lato obliquo = 52 mm. ostruisci sulla base il triangolo di area doppia di e determina il perimetro del quadrilatero. i che figura si tratta? Il parallelogramma ha la base lunga 12 cm e l altezza di 6 cm. isegna su un punto H e su un punto K tali che K = H = 3 cm. onsidera i due quadrilateri in cui il parallelogramma rimane diviso dal segmentohk: che quadrilateri sono? alcolane l area. alcola inoltre il rapporto tra l area di H e quella di alcola l altezza del rombo avente le diagonali di 36 cm e 48 cm. alcola l area del trapezio equivalente al rombo, sapendo che l altezza del trapezio è di 24 cm e che la base maggiore è il doppio di quella minore Il rettangolo R ha base = 9 cm e l altezza è i 4/3 di. alcola il perimetro e l area di R. isegna il parallelogramma P equivalente al rettangolo R e avente la base congruente alla diagonale del rettangolo. alcola l altezza dip alcola l area del parallelogramma P di base 4,5 cm e altezza 2 cm e con il lato obliquo che è 5/4 dell altezza. isegna la diagonale e traccia l altezza relativa ad del triangolo. alcola l area del triangolo I lati del triangolo hanno le seguenti misure = 21 cm, = 20 cm e = 13 cm; calcola l area del parallelogramma di base =, lato = e diagonale = (ricorda la formula di rone) ato il rombo, avente perimetro di 10 cm e la diagonale maggiore di 4 cm, calcola la misura della diagonale minore, l area del rombo e la sua altezza. onsidera un triangolo isoscele equivalente al rombo e avente la sua stessa altezza. alcolane la misura di ciascun lato Un rombo ha l area di 336 cm 2, una diagonale uguale alla base di un triangolo di altezza 20,2 cm e area di 141,4 cm 2. etermina il perimetro del rombo etermina l area del quadrato formato dai 4 vertici liberi di 4 triangoli equilateri costruiti sui lati di un quadrato di lato 3 cm etermina l area del rombo intersezione di due triangoli equilateri costruiti sui lati opposti di un quadrato di lato 10 cm e aventi il vertice che cade internamente al quadrato etermina le misure degli angoli del triangolo formato disegnando le diagonali e di un esagono regolare etermina le misure degli angoli del triangolo formato disegnando le diagonali ed di un ottagono regolare GH etermina le misure degli angoli del triangolo formato disegnando le diagonali e di un ottagono regolare GH La differenza tra le diagonali di un rombo è 7 cm e una è 5/12 dell altra. etermina l area di un triangolo isoscele il cui perimetro supera di 6 cm quello del rombo e la cui base è 8 cm eterminare l area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari sapendo che l una è 5/8 dell altra e che la loro somma è 39 cm eterminare la misura degli angoli di un parallelogramma sapendo che uno degli angoli alla base è 2/7 di quello adiacente.

5 240 apitolo 7. quiestensione e aree In un quadrilatero un angolo è eterminare l ampiezza di ciascuno degli altri tre angoli sapendo che il secondo è 2/7 del terzo e il terzo è 4/5 del quarto Le dimensioni a e b di un rettangolo sono a = 3 5b, il perimetro è 192 cm. alcolane l area In un rombo la differenza fra le diagonali è 8 cm e una diagonale è i 4/3 dell altra. alcola area e perimetro del rombo In un rombo la somma delle diagonali misura 196 cm, un quarto della misura della diagonale maggiore supera di 4 cm la misura della diagonale minore. Trova perimetro, area e altezza del rombo In un trapezio rettangolo l altezza è quadrupla della base minore e il lato obliquo è i 5/4 dell altezza. etermina l area del trapezio sapendo che il suo perimetro è 70 cm Il perimetro di un trapezio isoscele misura 124 cm e ciascun lato obliquo è lungo 30 cm. eterminane l area e la misura della diagonale sapendo che una sua base è 7/25 dell altra etermina l area di un rettangolo sapendo che la misura della sua diagonale supera di 8 cm quella dell altezza e che la differenza fra i 20/41 della diagonale ed i 2/3 dell altezza è uguale ai 14/9 della stessa altezza Il perimetro di un rettangolo misura 170 cm e l altezza è 5/12 della base. Trovare area e diagonale del rettangolo Il perimetro di un rettangolo misura 29 cm ed i 2/11 della sua altezza sono uguali a 1/9 della base. Trovare l area del rettangolo In un trapezio isoscele avente la base maggiore, le diagonali sono fra loro perpendicolari e si intersecano in un punto P che divide ogni diagonale in due parti con rapporto 5/12. alcola perimetro e area del trapezio, sapendo che la diagonale misura 68 cm Un triangolo rettangolo ha ipotenusa 50 cm e un cateto 48 cm. al punto medio dell ipotenusa tracciare la parallela al cateto minore. eterminare l area di ciascuna delle due parti in cui è suddiviso il triangolo In un triangolo l altezza è 18 cm; se conducendo una parallela alla base, si divide il triangolo in due parti la cui superficie è in rapporto 16/25, a quale distanza dal vertice è stata condotta la parallela? Il triangolo ha base 14 cm e altezza 6 cm. isegna la mediana M e calcola l area dei triangoli M e M. ome sono i triangoli? La mediana di un triangolo è 12 cm. eterminare la misura di ciascuna delle parti in cui il baricentro divide la mediana eterminare la misura di una mediana M sapendo che M = 8 cm, dove è il baricentro del triangolo etermina la misura M del segmento appartenente alla mediana M in un triangolo equilatero, avendo indicato con il baricentro etermina il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che l altezza relativa all ipotenusa è 8 cm e che la proiezione di un cateto sull ipotenusa è 4/3 dell altezza data etermina la misura delle tre altezze del triangolo che ha i lati di 20 cm, 40 cm, 30 cm. (Suggerimento: Puoi ricorrere alla formula di rone) Il piede dell altezza H di un triangolo divide la base di 46 cm in due parti tali che H = 9 H; calcola l area 14 dei due triangoli H e H, sapendo che = 24 cm Trova il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che la base è 2/3 dell altezza e che l area è 24 cm 2.

6 Sezione 7.7. sercizi Trova il perimetro di un triangolo isoscele sapendo che la base è 3/5 dell altezza e che l area è 24 cm I lati del triangolo hanno le misure seguenti = 63 cm, = 60 cm e = 39 cm; determina le misure delle tre relative altezze eterminare la misura di ciascun lato e l area del triangolo isoscele avente il perimetro di 700 m, sapendo che la base e il lato obliquo sono in rapporto Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza con il centro O sulla sua base maggiore e raggio di misura 6 cm. Siano S e T i punti in cui tale semicirconferenza tange rispettivamente il lato obliquo e la base minore. Sapendo che misura 16 cm, calcolare le misure degli altri lati del trapezio. (Tracciare O, OS, OT e dimostrare che O è congruente a... ) alcolare perimetro e area di un triangolo isoscele circoscritto a una semicirconferenza con il centro sulla sua base, sapendo che la base è i 3/2 della relativa altezza e che il raggio della semicirconferenza misura 12 cm ata una circonferenza di centro O, si consideri un punto esterno ad essa da cui si traccino le tangenti alla circonferenza stessa indicando con e i punti di tangenza. Sapendo che il segmento misura 12 cm e che l angolo Ĉ ha ampiezza 60, calcolare il perimetro e l area del quadrilatero O. Indicato poi con il punto in cui la retta O incontra la retta, calcolare il perimetro del triangolo In un trapezio rettangolo, l angolo che il lato obliquo forma con la base maggiore ha ampiezza 60 e la diagonale maggiore dimezza tale angolo; sapendo che la base minore misura 4 cm, calcolare il perimetro del trapezio In un rombo ciascun lato misura 12 cm e l angolo in ha ampiezza 120. Prendere sui lati,, e del rombo rispettivamente i puntip,q,set in modo che i segmenti P, Q, S e T misurino 2 cm ciascuno. alcolare il perimetro e l area del quadrilateropqst, dopo aver dimostrato che esso è un parallelogramma. (Tracciare da T il segmento perpendicolare ad e osservare i vari triangoli..., analogamente tracciare poi dap il segmento perpendicolare alla retta... ) Sul lato di un triangolo equilatero avente area uguale a 25 3 cm 2, si prenda il punto P in modo che P misuri 4 cm; si tracci il segmento PQ parallelo a (con Q appartenente ad ) e lo si prolunghi di un segmento Q congruente a PQ. opo aver dimostrato che il triangolo P è rettangolo, calcolare perimetro ed area del quadrilatero PH, essendo H il piede dell altezza del triangolo relativa ad ata una semicirconferenza di centroo e diametro di misura 2r, si tracci la corda che forma con un angolo di 30 ; si tracci quindi la tangente in alla semicirconferenza indicando con il punto in cui tale tangente incontra la retta e con la proiezione ortogonale di sulla tangente stessa. alcolare le misure dei segmenti,,,,. (Tracciare anche O... osservare i vari angoli; per calcolare la misura di tracciare la distanza di... dalla retta... ) etermina area e perimetro del quadrilatero di coordinate ( 1; 7), (6; 9/2), (4; 3) e ( 4; 3) etermina area a perimetro del quadrilatero di coordinate(0; 3),(3; 6), (6; 3) e ( 4; 3). he quadrilatero è? etermina l area del quadrilatero di coordinate ( 8; 5), ( 2; 11), (2; 12) e(4; 3) etermina il quarto vertice del trapezio di area 9, sapendo che ( 1; 2), (5; 2) e(3; 4).

7 242 apitolo 7. quiestensione e aree etermina il quarto verticedel parallelogramma con ( 3; 1), (4; 1) e (3; 4) Verifica che il trapezio di vertici ( 1; 1), (3; 2), ( 3; 1 2) e ( 0; 5 2 ) non è rettangolo. alcola l intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui e. alcola inoltre il rapporto tra le aree dei triangoli e Verifica che il quadrilatero di vertici ( 2; 3), (3; 2), (4; 1) e (0; 3) è un trapezio e calcolane l altezza Verifica che il quadrilatero di vertici ( 4; 1), (5; 2), (3; 2) e (0; 3) è un trapezio isoscele. alcola l intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui e. alcola inoltre il rapporto tra le aree dei triangoli e (Giochi di rchimede 2011). Nel quadrilatero le diagonali sono ortogonali tra loro e gli angoli ineinsono retti. Inoltre = = 20 cm e = = 30 cm. alcolare il raggio della circonferenza inscritta in (Giochi di rchimede 2003). Sia dato un quadrato di lato unitario e sia P un punto interno ad esso tale che l angolo P misuri 75. Quanto vale la somma delle aree dei triangolip ep? (Giochi di rchimede 2003). Un parallelogramma di lati 1 e 2 ha un angolo di 60. Quanto misura la sua diagonale minore? (Giochi di rchimede 2007). In un triangolo scegliamo un punto su e un punto su in modo che la lunghezza di sia un terzo di quella di e la lunghezza di sia un terzo di quella di. Sapendo che l area del triangolo è 5 m 2, determinare l area del quadrilatero (Giochi di rchimede 2007). Il quadrato ha il lato lungo 3 m. Il segmento è lungo 1 m ed è parallelo ad. Quanto vale l area dell esagono? (Giochi di rchimede 2007). è un quadrato avente la diagonale lunga 2 cm e è equilatero. Quanto vale l area del quadrilatero? (Giochi d utunno 2010). a un quadrato di lato 10 cm si tagliano i quattro angoli in modo da ottenere un ottagono regolare. Quanto è lungo il lato dell ottagono? (Giochi di rchimede 2006). Il segmento è parallelo ad. Sapendo che l area di è uguale ai 3/4 di quella di e che misura 1 m, quanto misura?

8 Sezione 7.7. sercizi (Giochi di rchimede 2005). Il triangolo è rettangolo ed i cateti e misurano rispettivamente 3 m e 4 m. Siano e punti appartenenti rispettivamente ai lati e, tali che la retta contenente il segmento sia parallela a quella contenete il segmento e distante 1 m da essa. alcolare l area del triangolo. G (Giochi d utunno 2010). In un triangolo due angoli misurano rispettivamente 30 e 105 ed il lato tra essi compreso è lungo 2 cm. Qual è la misura del perimetro del triangolo? H (Giochi d utunno 2011). L area di un bosco, rappresentata dai vertici, O, I ed N, è un parallelogramma la cui base misura m e la cui altezza misura m. Il punto S si trova sulla base NI a 143 m dal verticei. Qual è l area del quadrilatero OIS? O (Giochi d utunno 2011). In un parallelogramma di area 1 m 2 le lunghezze di due lati consecutivi sono una il doppio dell altra. Inoltre uno degli angoli interni misura 60. Quanto misura la diagonale minore? (Giochi d utunno 2010). In un triangolo equilatero con lato di lunghezza 3 m, prendiamo i punti, e sui lati, e rispettivamente, in modo che i segmenti e misurino 1 m e il segmento sia perpendicolare ad. Quanto misura l area del triangolo? 2012 m N 1001 m S I (Giochi d utunno 2011). Nel parallelogramma il segmento è perpendicolare ad ed e sono i punti medi di e rispettivamente. alcolare l area del quadrilatero GH, sapendo che = 5 cm e = 2 cm (Giochi di rchimede 2005). ato un quadrato si uniscono i punti medi dei lati aventi un vertice in comune formando un nuovo quadrato GH. Ripetiamo la stessa operazione pergh e otteniamo un nuovo quadrato. Quanto vale il rapporto tra l area di e l area di? Risposte /4 cm cm.