Confronto fra angoli La dimensione dell angolo è l ampiezza in base all ampiezza gli angoli si dicono:

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1 Confronto fra angoli La dimensione dell angolo è l ampiezza in base all ampiezza gli angoli si dicono: congruenti (uguali) maggiore minore la somma di due angoli la ottieni portandoli ad essere consecutivi (il lato del primo deve appoggiare al lato del secondo angolo) la bisettrice dell angolo è una sola, ed è il segmento che parte dal vertice dell angolo e divide a metà l angolo stesso Un angolo minore di uno retto si dice acuto

2 Un angolo maggiore di uno retto si dice ottuso complementari se la somma forma un angolo retto supplementari se la somma forma un angolo piatto esplementari se la somma (angolo blu e angolo rosso) forma un angolo giro

3 Enti Geometrici Punto indicato con lettere maiuscole A,B,C... non ha ne dimensioni, ne parti Linea ha 1 sola dimensione, la lunghezza si indica con le lettere minuscole a, b, c... curva retta spezzata aperta chiusa semplice intrecciata Retta contiene infiniti punti ed è illimitata in entrambe le direzioni Piano ha 2 dimensioni, larghezza e lunghezza queste figure si chiamano piane Spazio ha 3 dimensioni, larghezza, lunghezza e altezza queste figure si chiamano solidi

4 rapporto tra enti enti tutti separati fra loro si dicono distinti enti tutti uniti fra loro si dicono coincidenti un punto rispetto al piano o alla retta può: appartenere non appartenere una retta rispetto al piano può: giacere se tutti i punti appartengono al piano e lo dividono in due parti

5 intersecare se un solo punto appartiene al piano punto di intersezione parallela se nessun punto è sul piano simbolo di parallelismo due rette su un piano possono essere: complanari se appartengono allo stesso piano incidenti se hanno un solo punto in comune parallele se non hanno punti in comune coincidenti hanno tutti i punti in comune gli assiomi sono delle affermazioni 1 assioma: da un punto passano infinte rette 2 assioma: da due punti passa una sola retta

6 Km hm dam m dm cm mm Chilometro km 1km=10hm=100dam=1000m Ettometro hm 1hm=10dam=100m Decametro dam 1dam=10m Metro m 1m Decimetro dm 1dm=0,1m Centimetro cm 1cm=0,1dm=0,01m Millimetro mm 1mm=0,1cm=0,01dm=0,001m esempio: 3 hm 9 m 2 km 4 hm 5 m 9 dam 5 cm posiziona i numeri al loro posto nella tabella dove non è indicata la lunghezza metti 0 metti la virgola dopo il primo numero a sinistra e riporta tutte le cifre Km hm dam m dm cm mm hm 9m = 3,09 2km 4hm 5m = 2,405 9dam 5cm = 9,005

7 L unità della misura di superficie è il metro quadrato La misura di superficie ha due dimensioni altezza e larghezza Km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Chilometro quadrato km 2 1km 2 =100hm 2 =10.000dam 2 = m 2 Ettometro quadrato hm 2 1hm=100dam=10.000m 2 Decametro quadrato dam 2 1dam=100m 2 Metro quadrato m 2 1m 2 Decimetro quadrato dm 2 1dm=0,01m 2 Centimetro quadrato cm 2 1cm=0,01dm=0,0001m 2 Millimetro quadrato mm 2 1mm=0,01cm=0,0001dm=0,000001m 2 esempio: m 2 0,35 = dm 2 ogni misura di superficie occupa due caselle (perchè le dimensioni sono due) quindi la virgola si sposta di due posti l equivalenza vuole sapere quanti dm 2 quindi sposto di due posti la virgola Km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 0, , m 2 0,35 = dm 2 35

8 L unità della misura di volume è il metro cubo la misura di volume ha tre dimensioni altezza larghezza e profondità Km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Chilometro cubo km 3 1km 3 =1000hm 3 = dam 3 = m 3 Ettometro cubo hm 3 1hm 3 =1000dam 3 = m 3 Decametro cubo dam 3 1dam 3 =1000m 3 Metro cubo m 3 1m 3 Decimetro cubo dm 3 1dm 3 =0,001m 3 Centimetro cubo cm 3 1cm 3 =0,001dm 3 =0,000001m 3 Millimetro cubo mm 3 1mm 3 =0,001cm 3 =0,000001dm 3 =0, m 3 esempio: m 3 0,35 = dm 3 ogni misura di volume occupa tre caselle (perchè le dimensioni sono tre) quindi la virgola si sposta di tre posti l equivalenza vuole sapere quanti dm 3 quindi sposto di tre posti la virgola Km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 0, m 3 0,35 = dm 3 350

9 Parallelismo trasversale è una retta che taglia tutte le rette di un fascio trasversale Proprietà Si osservano gli angoli che una trasversale forma tagliando due rette parallele se prendiamo la metà colorata e la soprapponiamo alla metà sopra, si vede che gli angoli corrispondono esattamente 6 5 Alterni interni sono congruenti Alterni esterni sono congruenti

10 Alterni esterni sono congruenti Corrispondenti sono congruenti (uguali)

11 Coniugati esterni sono supplementari Cioè formano sommati un angolo piatto Coniugati interni Sono supplementari Cioè formano sommati un angolo piatto gli angoli alterni interni e esterni sono congruenti gli angoli corrispondenti sono congruenti gli angoli coniugati sono supplementari due rette sono parallele quando tutti i punti di una, hanno la stessa distanza dall altra

12 La diagonale è un segmento che unisce due vertici non consecutivi Regola: per sapere quante diagonali escono da ogni vertice bisogna togliere il numero 3 dal numero dei lati del poligono n (lati) - 3 quadrato 4 lati 4-3= 1 diagonale che esce da ogni vertice pentagono 5 lati 5-3= 2 diagonali che escono da ogni vertice Regola: per sapere quante diagonali ci sono un poligono bisogna applicare questa formula n x (n 3) : 2 quadrato 4 lati pentagono 5 lati 4 x (4-3):2 = 2 diagonali nel quadrato 5 x (5-3):2 = 5 diagonali nel pentagono

13 Proprietà dei poligoni La misura di un lato deve sempre essere più piccola della somma degli altri lati. esempio 1 lato lungo 6 2 lato lungo 3 3 lato lungo 5 4 lato lungo = 14 il quarto lato deve essere minore di 14 S i (somma angoli interni) la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360 la somma degli angoli interni di un pentagono è 540 la somma si ottiene moltiplicando 180 x (n (lati) 2) S i = 180 x (n-2) di un esagono: S i = 180 x (6-2) = 180 x 4 = 720 Se sappiamo la somma degli angoli possiamo stabilire quanti lati ha il nostro poligono con la formula inversa 720 : = 6 n = S i :

14 la somma degli angoli esterni di qualsiasi poligono è sempre 360 se la somma di un angolo interno con il suo esterno è 180 possiamo dire che la somma totale degli angoli interni e esterni del triangolo è: 180 x 3 (angoli) = (somma angoli totali) (somma angoli interni) = 360 del quadrilatero è: 180 x 5 (angoli) = 900 ecc = 360 per calcolare la somma degli angoli esterni basterà togliere dalla somma totale, la somma degli angoli interni ottenendo la somma degli angoli esterni S e = S t - S i 1. la somma di un angolo interno con il suo corrispondente esterno è sempre la somma degli angoli interni di un triangolo è la somma degli angoli interni si moltiplica 180 per il numero dei lati meno 2 4. per calcolare il numero dei lati sapendo la somma degli angoli si divide questa con 180 più 2 5. la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre 360

15 Poligoni (in greco sign. figura con molti angoli) linea spezzata B A C D AB/BC/CD sono lati A B C - D sono vertici Una spezzata può essere: semplice intrecciata chiusa aperta una spezzata semplice chiusa ha una parte interna finita e una esterna infinita B A Parte interna finita C Parte esterna infinita D

16 Il poligono è una parte di piano finito delimitato da una spezzata chiusa B A C E D la linea spezzata costituisce il contorno o confine del poligono AB/BC/CD/DE/EA sono i lati del poligono A/B/C/D/E sono i vertici del poligono i vertici che hanno un lato in comune sono consecutivi i lati che hanno un vertice in comune sono consecutivi la somma dei lati è il perimetro così scritto 2p il semiperimetro è invece scritto così p isoperimetrici significa uguale perimetro

17 in un poligono ci sono angoli interni formati dai lati consecutivi in un poligono ci sono angoli esterni formati dal lato e dal prolungamento del lato consecutivo B angolo interno C angolo esterno A D prolungamento di AD in ogni poligono: l angolo interno è supplementare (180 angolo piatto) al suo angolo esterno i lati, i vertici e gli angoli interni sono in numero uguale un lato è adiacente ai suoi angoli un angolo è compreso fra i suoi lati se i lati sono tutti uguali è un poligono equilatero se gli angoli sono tutti uguali è un poligono equiangolo se i lati e gli angoli sono tutti uguali è un poligono regolare

18 un poligono è: convesso se non viene attraversato dai prolungamenti dei suoi lati concavo se viene attraversato dai prolungamenti dei suoi lati Convesso non contiene prolungamenti dei lati concavo contiene prolungamenti dei lati

19 QUADRILATERI - 4 lati - 4 angoli - 4 vertici - 2 diagonali - hanno almeno una coppia di lati opposti e paralleli - la somma dei lati è il perimetro 2p - la somma degli angoli interni ed esterni è ogni lato è minore della somma degli altri tre TRAPEZIO ha 4 lati di cui 2 opposti e paralleli (base maggiore e base minore) 2 diagonali la somma degli angoli adiacenti ai lati obliqui (α e β) sono supplementari (angolo piatto 180 ) α Base minore altezza lati obliqui β A C K B Base maggiore AC e KB sono le proiezioni dei lati obliqui

20 Trapezio rettangolo ha due angoli retti Trapezio isoscele se ha i lati obliqui uguali δ χ α β Proprietà del trapezio isoscele - gli angoli alle basi sono uguali α e β - gli angoli opposti sono supplementari 180 (δ e β) - le diagonali hanno la stessa lunghezza (sono congruenti) - le proiezioni dei lati obliqui sono lunghe uguali (congruenti) Trapezio scaleno se ha i lati obliqui diversi

21 PARALLELOGRAMMA ha i lati opposti paralleli a due a due - l altezza rispetto alla base AB è DH - l altezza rispetto alla base BC è DK - gli angoli opposti sono uguali α β e γ δ - gli angoli consecutivi sono supplementari 180 α γ α δ δ β β γ - i lati opposti sono uguali AB = CD AD = BC - le diagonali si intersecano a metà D α δ C A γ H β B K

22 RETTANGOLO è un parallelogramma che ha 4 angoli retti e 2 diagonali uguali (congruenti) le basi possono essere indifferentemente AB o BC o AD o DC D C A B ROMBO è un parallelogramma che ha 4 lati uguali - le diagonali sono perpendicolari fra loro e sono anche le bisettrici degli angoli da cui nascono D A C B

23 QUADRATO è un parallelogramma che ha - i lati tutti uguali - gli angoli tutti retti quindi è un poligono regolare - le diagonali sono uguali - sono perpendicolari fra loro - sono bisettrici degli angoli D C A B

24 Rette simbolo r s (si legge r perpendicolare a s) due rette sono perpendicolari se formano 4 angoli retti di 90 r s individuato un punto esterno ad una retta e tracciando una perpendicolare che parte dal punto, la retta rossa è una sola, quindi unica P H H Punto di intersezione H Piede della perpendicolare o proiezione di P sulla retta

25 proiezione di un segmento sulla retta r A B r A1 B1 A1 e B1 rappresentano la proiezione del segmento obliquo B A incidente r A = A1 B1 r A1 B1 B A B perpendicolare r A1=B1

26 l asse di un segmento è la retta perpendicolare che lo interseca nel punto medio (sign. che lo taglia a metà) la retta PQ rappresenta l asse del segmento P A B Q qualsiasi punto che appartiene all asse del segmento ha la stessa distanza dagli estremi del segmento stesso AR=RB AS=SB P R s A B Q

27 rette parallele quando non hanno alcun punto in comune fascio di rette parallele striscia parte di piano compresa tra due rette parallele e le rette sono il contorno della striscia striscia per un punto passa una sola retta parallela alla retta data

28 segmento, retta e semiretta il segmento è una retta compresa fra due punti chiamati estremi estremi estremi i segmenti possono essere: consecutivi adiacenti una retta è una linea senza limiti da una parte e dall altra, quindi infinita, formata da tanti punti consecutivi come un tratto di matita se su una retta appoggiamo un punto chiamato origine, questo forma due semirette infinite origine semiretta semiretta

29 Congruenza di triangoli in generale due triangoli sono congruenti se sovrapposti sono coincidenti (uguali) primo criterio due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l angolo uguali secondo criterio due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli adiacenti al lato uguali terzo criterio due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati congruenti

30 Congruenza di triangoli rettangoli Primo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i due cateti uguali Secondo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l ipotenusa e l angolo acuto uguali Terzo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l angolo acuto adiacente uguali Quarto criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l angolo acuto opposto uguali

31 In base a quando detto il criterio generale di congruenza dei triangoli rettangoli è: due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l ipotenusa e il cateto uguali cateto ipotenusa

32 In relazione agli angoli un triangolo può essere: Triangolo acutangolo se ha tre angoli acuti (meno di 90 ) Triangolo rettangolo se ha un angolo retto (di 90 ) Triangolo ottusangolo se ha un angolo ottuso (più di 90 ) acutangolo triang. rettangolo ottosangolo In relazione ai lati un triangolo può essere: Triangolo isoscele se ha due lati uguali Triangolo scaleno se ha tutti i lati diversi Triangolo equilatero se ha tutti i lati uguali isoscele scaleno equilatero

33 Triangolo rettangolo γ cateto ipotenusa α cateto β visto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 si può dire che: α è 90 β γ sono complementari cioè la loro somma è 90 β è 45 γ è 45

34 Triangolo isoscele vertice lato obliquo lato obliquo angolo alla base base angolo alla base i lati obliqui sono congruenti il lato diverso è la base l angolo opposto alla base è il vertice gli angoli uniti alla base sono gli angoli alla base e sono sempre della stessa ampiezza

35 Triangolo b β a α γ c a b c ab bc ca α β γ vertici lati angoli elementi la somma dei lati è il perimetro i triangoli con il perimetro uguale sono isoperimetrici per costruire un triangolo ogni lato deve essere più piccolo della somma degli altri due la somma degli angoli interni è sempre 180

36 Triangolo altezza e ortocentro L altezza è il segmento che scende perpendicolare dal vertice al lato opposto dove il segmento tocca il lato opposto è detto piede dell altezza b ortocentro altezza a c piede L ortocentro è il punto in cui si incontrano le altezze è interno nel triangolo acutangolo è coincidente al vertice nel triangolo rettangolo è esterno nel triangolo ottusangolo

37 Triangolo asse e circocentro Gli assi sono rette perpendicolari che passano nella metà di ogni lato. In un triangolo sono tre come i lati e il punto in cui gli assi si intersecano si dice circocentro. assi circocentro I segmenti rossi sono equidistanti dai vertici, infatti se traccio un cerchio che li tocca tutti posso dire che rappresentano anche i raggi del cerchio Il circocentro è : interno esterno coincidente con la metà dell ipotenusa nel triangolo rettangolo equidistante dai vertici

38 Triangolo bisettrice e incentro La bisettrice è il segmento che scende dal vertice al lato opposto e divide l angolo al vertice a metà esatta. In un triangolo sono tre come i vertici e il punto in cui le bisettrici si intersecano si dice incentro incentro bisettrice L incentro è sempre all interno del triangolo ed è equidistante dai suoi lati. Infatti i segmenti verdi IN IP IM che scendono perpendicolari ai lati dall incentro, sono tutti della stessa lunghezza quindi sono alla stessa distanza dai lati (equidistanti) IN = IP = IM

39 mediane e baricentro la mediana è il segmento che scende dal vertice alla metà esatta del lato opposto. In un triangolo sono tre come i lati e il punto in cui le mediane si intersecano si dice baricentro baricentro a f b mediana il baricentro è sempre all interno del triangolo e divide la mediana in due parti di cui una è il doppio dell altra fb = fa x 2