Cap. 10 Il Triangolo

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1 Cap. 10 Il Triangolo

2 Definizione

3 Caratteristiche In un triangolo possiamo individuare: 1. Tre vertici (A; B;C) 2. Tre lati (a; b; c) 3. Tre angoli (α;( β; γ) Un triangolo è una figura rigida indeformabile per questo trova applicazione in molte strutture architettoniche

4 Somma degli angoli interni di un triangolo Consideriamo il seguente triangolo Tracciamo la retta passante per CB e la sua parallela passante per A A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del triangolo Gli angoli α e α 1 sono uguali perché alterni interni rispetto alla trasversale c Interessante contributo esterno

5 Gli angoli β e β 1 sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo α, β, γ sia uguale alla somma degli angoli α1, β1 1 e γ perché: α1 1 = α; β1 1 = β e γ è in comune con Come si vede chiaramente dalla figura

6 La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180

7 Angoli esterni di un triangolo Si definisce angolo esterno di un triangolo l angolo l formato dal prolungamento del lato precedente e il lato successivo di un poligono La somma degli angoli esterni di un triangolo vale sempre 360

8 Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un triangolo?

9 Consideriamo la seguente figura Le coppie angoli interni ed esterni di un triangolo che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti

10 Lati e angoli Consideriamo un vertice di un triangolo e un lato che non passi per quel vertice Un lato si dice opposto al vertice A (o all angolo angolo α) ) se non passa per A Consideriamo il lato b, esso è un lato comune ai due angoli α e β Due angoli di un triangolo che hanno un lato in comune si dicono adiacenti a quel lato

11 Criterio di esistenza di un triangolo Consideriamo tre segmenti È sempre possibile costruire un triangolo? In teoria sembrerebbe di si perché posso metterli uno dietro l altrol Ma il giochetto riesce sempre? Consideriamo altri tre segmenti Ripetiamo l operazionel Come si vede non posso costruire un triangolo, uno dei due segmenti è addirittura più grande della somma degli altri due

12 In un triangolo un lato deve essere minore della somma degli altri due

13 Classificazione in base ai lati In base ai lati classifichiamo i triangoli in: Triangoli scaleni se hanno tutti i lati disuguali Triangoli isosceli se hanno due lati uguali Triangoli equilateri se hanno tutti i lati uguali

14 I triangoli isosceli Nei triangoli isosceli chiamiamo: Lati obliqui i due lati uguali Base il terzo lato Angoli alla base i due angoli adiacenti alla base Angolo al vertice l angolo opposto alla base

15 Triangolo equilatero Il triangolo rettangolo ha tutti i lati e gli angoli uguali Se la somma dei 3 angoli interni è di 180 il valore di tali angoli sarà: 180 : 3 = 60

16 Classificazione in base agli angoli In base agli angoli possiamo suddividere i triangoli in: triangoli acutangoli se hanno tutti gli angoli acuti Triangoli rettangoli se hanno un angolo retto Triangoli ottusangoli se hanno un angolo ottuso

17 Altezza di un triangolo Consideriamo un triangolo Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A Sia H la proiezione di A su AC Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo Cioè la distanza di A dal lato BC

18 Quante altezze????? Nella definizione precedente c èc una piccolissima parola che ci deve far riflettere! relativa! Esiste un altezza assoluta in un triangolo? Certamente no, ogni altezza deve essere riferita ad un lato! Ma quanti sono i lati? 3 Allora in un triangolo ci sono tre altezze

19 Non ci resta che vederle! Sorpresa.. Sorpresa. Passano tutte per uno stesso punto! Questo ci permette di dire che quello sarà certamente un punto notevole del triangolo Se questo è vero esso non merita solo un simbolo per indicarlo Ma anche nome e definizione

20 Ortocentro ortocentro (dal greco ορθοσ", retto, piùκεντρον, centro paura! Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze Qui l ortocentro è dentro il triangolo ma è sempre così? Vediamo se è vero!

21 Vediamo cosa succede all ortocentro se modifico il triangolo L angolo Quando il in il triangolo B sta aumentando diventa rettangolo ottusangolo e si osserva ortocentro l ortocentro che l ortocentro e vertice va fuori B si coincidono e sposta non si verso trova questo più nel angolo punto di incontro delle tre altezze ma dove si incontrano i loro prolungamenti!

22 Nuova definizione di altezza Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo o sul suo prolungamento

23 Nuova definizione di ortocentro Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze o dei loro prolungamenti Altezze del triangolo ABC Per trovare l ortocentro occorre prolungare le altezza

24 In un triangolo acutangolo l ortocentro è interno Riassunto In un triangolo rettangolo l ortocentro coincide col vertice opposto all ipotenusa In un triangolo rettangolo l ortocentro è esterno al triangolo

25 Dal latino medianus, ciò che sta nel mezzo Mediana Si definisce mediana il segmento che unisce il vertice opposto di un lato col suo punto medio Anche in questo caso il triangolo ha tre mediane

26 Un nuovo punto notevole Si può facilmente vedere che Le tre mediane si incontrano in un punto che sarà ancora una volta un nuovo punto notevole

27 Dal greco βαριοσ pesante eκεντρον centro letteralmente centro dei pesi Si definisce baricentro il punto di incontro delle tre mediane Baricentro È il punto di equilibrio del triangolo

28 Bisettrice Consideriamo l angolo AOA 1 A 1 Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà A Tale retta prende il nome di bisettrice bisettrice Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide l angolo in due parti uguali O A

29 Bisettrici di un triangolo Un triangolo avendo tre angoli avrà anche tre bisettrici Come si vede anche queste si incontrano in un unico punto che sarà il terzo punto notevole del triangolo

30 Incentro Si definisce incentro il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo

31 Proprietà dell incentro L incentro gode di un importante proprietà: è equidistante dai lati Tale distanza coincide con il raggio di una circonferenza tangente a tutti i lati del poligono Dimostreremo questo quando faremo i criteri di congruenza dei triangoli

32 Secanti e tangenti Una retta si dice secante se interseca una curva in due o più punti Una retta si dice tangente ad una curva se ha un solo punto di contatto (da tangere toccare) con la curva (o o meglio la tocca in due punti coincidenti)

33 Asse di un segmento Consideriamo il segmento AB e sia M il suo punto medio Quali saranno le caratteristiche di M? Consideriamo ora la perpendicolare ad AB passante per M Chiamiamo questa perpendicolare asse del segmento L asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi

34 Assi di un triangolo Solita storia: abbiamo tre lati e quindi tre assi! Ancora una volta un punto notevole; i tre assi si incontrano in un punto che merita nome e definizione

35 Il circocentro Dal latino circum (circolo) e dal greco Κεντρον (centro) Si definisce circocentro il punto di incontro dei tre assi di un triangolo Il nome deriva da una proprietà facilmente ricavabile se si ricorda il significato di asse

36 Proprietà del circocentro Consideriamo l asse l del lato CB, per definizione il punto O (appartenente all asse) asse) è equidistante da C e da B OB = OC Prendiamo l asse l del lato AC, ancora una volta O è equidistante da A e da C OC = OA A questo punto si ha che: OB=OC=OA Il circocentro è equidistante di vertici del triangolo

37 Il centro del circolo. È ora chiaro che il circocentro è il centro cella circonferenza che passa per i vertici del triangolo Da cui. Qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza

38 Tipi di triangolo e posizione del circocentro Nel triangolo acutangolo il circocentro è interno al poligono Nel triangolo ottusangolo il circocentro è esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell ipotenusa

39 Criteri di congruenza dei triangoli In geometria si parla di congruenza quando due cose sono uguali I criteri sono delle modalità che ci permettono di dire quando due cose sono uguali senza doverle confrontare e si risparmia tempo

40 Primo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno due lati uguali e l angolo fra essi compreso uguale Con un movimento rigido facciamo coincidere le due figure Vediamo che si sovrappongono esattamente Perciò i due triangoli sono uguali Due triangoli sono uguali A A α α se hanno uguale due lati e l angolo fra essi compreso B C B C

41 Secondo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno un lato uguale e uguale i due angoli ad esso adiacenti Siccome noi sappiamo che la somme degli angoli interni di un triangolo è 180 l altro angolo sarà necessariamente uguale Perciò i due triangoli sono uguali 2 triangoli sono uguali sa hanno uguale un lato e gli angoli ad esso adiacenti

42 Terzo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno tre lati uguali Siccome il triangolo è una struttura indeformabile i due triangoli saranno necessariamente uguali Si vede facilmente se li sovrapponiamo A A Due triangoli sono uguali se hanno tutti e tre i lati congruenti B B C C

43 Considerazione sul triangolo isoscele Consideriamo il seguente triangolo isoscele Gli angoli alla base saranno uguali e così i lati AC e BC Tracciamo l altezzal I triangoli CDB e CAD saranno uguali perché Il lato AD è in comune I lati AC e CB sono uguali perché lati del triangolo isoscele Essendo l angolo l ADC = all angolo angolo CDB perché retti per definizione di altezza si ha che ε = ζ = ,8 Perciò per il primo criterio di congruenza i triangoli CDB e CAD sono uguali Questo risultato è pieno di conseguenze infatti:

44 Proprietà del triangolo isoscele Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e l altezza è anche mediana L altezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo asse Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali anche ε e ζ perciò l altezza l è anche bisettrice dell angolo in C In un triangolo isoscele l altezza relativa alla base è anche asse, mediana e bisettrice

45 Se tracciamo le altezze troviamo l ortocentrol Se tracciamo gli assi troviamo il circocentro Se tracciamo le mediane troviamo il baricentro Se tracciamo le bisettrici troviamo l incentrol Come ci potevamo aspettare.. In un triangolo isoscele tutti i punti notevoli cadono sull altezza relativa alla base

46 .. e se il triangolo è equilatero A voi la parola In che cosa assomiglia al triangolo isoscele? Come saranno le tre altezze relative ai lati Vale per ciascuna di loro ciò che si detto per l altezza l del triangolo isoscele? Allora? O Ξ B Ξ C Ξ I

47 .. e sul triangolo rettangolo? Consideriamo la seguente figura e fissiamo la nostra attenzione sul triangolo A M 1 B L asse del segmento AB contiene l altezza l del triangolo Il triangolo A M 1 B è isoscele AM 1 = M 1 B Ma se M 1 è il punto medio dell ipotenusa allora si avrà che. In un triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente alla metà dell ipotenusa stessa

48 Triangolo rettangolo particolare è possibile dire che questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero? Provate a riflettere: Quanto vale l angolo in C? Quanto valgono gli angoli interni in un triangolo equilatero? Se raddoppio l angolo di 30 cosa ottengo? E all ora..

49 Questa è tosta!!!! Sapresti dimostrare che IL = IK = IH? Pensa al quadrilatero ALIH e al ruolo che ha la bisettrice dell angolo alfa Quanto vale l angolo in H? Quanto vale l angolo in L? Se considero gli angoli AÎL e HÎL come sono? Perché? E allora...

50 Uguali perché sono retti sono retti Uguali perché angoli generati dalla bisettrice dell angolo α η 1 = η 2 = ζ 1 (ζ 2 è la stessa cosa perché sono uguali) perché la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 Il lato AI è in comune ai due triangoli Per il secondo criterio di uguaglianza (lato uguale e gli angoli ad essi adiacenti uguali) i triangoli AIK e AIH sono uguali e pertanto IH = IK

51 Ragionamento analogo può essere fatto anche per Il i punto I (incentro) quadrilateri LCKI è equidistante e ABHI perciò dai lati del triangolo abbiamo dimostrato che

52 Come sarà un triangolo rettangolo con un angolo di 45

53 Perimetro Consideriamo il seguente poligono I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva) La lunghezza del segmento A A ottenuto sommando questi lati è detta perimetro del poligono Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del poligono

54 Perimetro di un triangolo Se consideriamo un triangolo qualsiasi si ha che 2P = a + b + c Se consideriamo un triangolo isoscele si ha che 2P = b + 2 x l o

55 In un triangolo rettangolo il perimetro è dato da 2P= c 1 + c 2 + i In un triangolo equilatero il perimetro è dato da: 2p = 3 x l Interessante la versione sullo stesso argomento della professoressa Amelia Vavalli reperibile in questa pagina web

56 Formule inverse

57 Formule inverse