RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI

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1 RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI Rette perpendicolari Due rette si dicono perpendicolari se incontrandosi formano 4 angoli retti. In simboli, per indicare che a è perpendicolare ad b si scrive: a b. Asse di un segmento Dato un segmento, si chiama asse del segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. Proiezione di un punto su una retta Dati una retta p ed un punto T, il punto di intersezione tra la retta p e la perpendicolare condotta da T a p si chiama proiezione (ortogonale) del punto T su p o piede della perpendicolare condotta da T a p.

2 Distanza di un punto da una retta Si definisce distanza di un punto da una retta la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto stesso e la sua proiezione sulla retta. Rette parallele Due rette si dicono parallele se non hanno punti di intersezione oppure se coincidono. In simboli: La relazione di parallelismo Date tre rette r, s, t si può dimostrare che la relazione di parallelismo gode di tre proprietà: 1. Proprietà riflessiva: r r; 2. Proprietà simmetrica: se r s, allora s r; 3. Proprietà transitiva: se r s e s t, allora r t. Data una retta, tutte le altre rette ad essa parallele devono avere la stessa direzione della retta data. L insieme delle rette che hanno la stessa direzione si dice fascio improprio di rette.

3 CRITERI DI PARALLELISMO Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale Sono date due rette a ed b e una trasversale r. Una trasversale è una retta tangente a due rette. Le due rette a e b tagliate dalla trasversale r formano 8 angoli. Le diverse coppie di angoli assumono diversi nomi a seconda della loro posizione. Gli angoli (3,6) e (4,5) si dicono angoli alterni interni Gli angoli (1,8) e (2,7) si dicono angoli alterni esterni Gli angoli (1,5), (2,6), (3,7), (4,8) si dicono angoli corrispondenti Gli angoli (3,5) e (4,6) si dicono angoli coniugati interni Gli angoli (2,8) e (1,7) si dicono angoli coniugati esterni Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora le due rette sono parallele. Ovvero se gli angoli (2,8) sono congruenti le due rette sono parallele. Se due rette sono parallele allora, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni interni congruenti. ovvero: Due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano coppie di angoli alterni interni congruenti : criterio generale di parallelismo Due rette, tagliate da una trasversale, sono parallele se e solo se: Formano una coppia di angoli alterni congruenti (interni o esterni); Formano una coppia di angoli corrispondenti congruenti; Formano una coppia di angoli coniugati supplementari (interni o esterni). Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele. SUPPLEMENTARI: la somma dei due angoli è = 180

4 PROPRIETÀ DEGLI ANGOLI NEI POLIGONI Proprietà degli angoli nei triangoli Ciascun angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni a esso non adiacenti. La somma degli angoli interni di un triangolo corrisponde ad un angolo piatto cioè di 180. Corollari: 1. In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari. 2. In un triangolo equilatero ciascuno dei tre angoli interni ha ampiezza uguale a Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli, allora hanno congruenti anche gli angoli rimanenti. Da questo corollario discende il criterio seguente. Secondo criterio di congruenza generalizzato Due triangoli che hanno due angoli e un lato ordinatamente congruenti sono congruenti. Distanza fra due rette parallele Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza di un punto qualsiasi di una retta dall altra.

5 Somma degli angoli interni ed esterni a un poligono convesso La somma delle ampiezze degli angoli interni a un poligono convesso di n lati è: (n-2) x 180 Nell esempio riportato di fianco, l ampiezza degli angoli interni sarà: (6-2) x 180 = 720 Somma egli angoli esterni di un poligono convesso La somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre uguale a 360. Congruenza e triangoli rettangoli Due triangoli rettangoli sono congruenti se: 1. hanno ordinatamente congruenti i due cateti (per il primo criterio di congruenza); 2. hanno ordinatamente congruenti un cateto e un angolo acuto adiacente al cateto (per il secondo criterio di congruenza); 3. hanno ordinatamente congruenti un cateto e l angolo acuto opposto al cateto (per il secondo criterio generalizzato); 4. hanno ordinatamente congruenti l ipotenusa e un angolo acuto (per il secondo criterio generalizzato). Criterio di congruenza per i triangoli rettangoli Se due triangoli rettangoli hanno ordinatamente congruenti l ipotenusa e un cateto, essi sono congruenti