COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)

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1 COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 2017 da parte degli studenti della Classe 1 sez. A Le prime schede offrono una panoramica sui vari argomenti affrontati nel corso dell anno, al fine di avere uno schema utile per svolgere gli esercizi ed effettuare un ripasso per poter iniziare il prossimo anno scolastico nel migliore dei modi. Le schede successive invece raccolgono una serie di esercizi di crescente difficoltà da seguire per fare un percorso di studio lineare. Per ogni scheda è presente una breve spiegazione teorica che integra quella presente su libro di testo Come già suggerito a scuola il mio suggerimento rimane quello di affrontare i vari argomenti nel corso dell intero periodo di vacanze al fine di evitare di accumulare tutte le nozioni negli ultimi giorni che invece possono essere utilizzati per un ripasso generale. Buone Vacanze Professore Ieluzzi Davide Andrea

2 UNITA' DI MISURA Grandezza Unità di misura simbolo lunghezza metro m aree metro quadrato m 2 volumi metro cubo m 3 capacità litro l massa chilogrammo kg tempo secondo s multipli unità sottomultipli Lunghezze km hm dam m dm cm mm x10 x10 x10 x10 x10 x10 multipli unità sottomultipli Aree km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 x100 x100 x100 x100 x100 x100 multipli unità sottomultipli Volumi km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 multipli unità Tempo d h m s giorno ora minuto secondo 1d = 24 h 1h = 60 m 1m = 60 s Misure di angoli unità sottomultipli ' '' grado primo secondo 1 = 60' = 3600'' 1' = 60'' GEOMETRIA 0

3 ELEMENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA La geometria è la scienza che studia la forma e l'estensione delle figure e le trasformazioni che queste possono subire. Gli enti geometrici fondamentali sono: punto: non ha dimensioni linea: insieme infinito di punti, ha una dimensione (lunghezza) superficie: insieme infinito di linee, ha due dimensioni (lunghezza e larghezza) Punto: P Linea: Superficie piana: spazio: ha tre dimensioni Retta: linea che mantiene la stessa direzione Per un punto passano infinite rette Per due punti distinti passa una sola retta GEOMETRIA 1

4 Rette incidenti: hanno un solo punto in comune Punti allineati: appartengono alla stessa retta Semiretta: ciascuna delle due parti in cui una retta risulta divisa da un suo punto semiretta origine semiretta della semiretta Segmento: parte di retta limitata da due suoi punti (estremi del segmento) segmento Segmenti consecutivi: hanno un estremo in comune Segmenti adiacenti: sono consecutivi e appartengono alla stessa retta Punto medio di un segmento: punto che divide il segmento in due segmenti congruenti GEOMETRIA 2

5 Spezzata: insieme di più segmenti a due a due consecutivi Spezzata aperta semplice: Spettata chiusa intrecciata: GEOMETRIA 3

6 ESERCIZI RISOLTI La somma di due segmenti è lunga 30cm. Sapendo che un segmento è quadruplo dell'altro, calcola la lunghezza dei due segmenti. DATI: AB + CD = 30cm; CD = AB x 4 AB = (AB + CD) : 5 = 30 : 5 = 6cm CD = AB x 4 = 6 x 4 = 24 cm A C A B D D AD = AB + CD AD è formato da = 5 parti congruenti ad AB La differenza di due segmenti adiacenti è lunga 26 cm. Calcola la lunghezza dei due segmenti sapendo che uno è il triplo dell'altro. DATI: CD - AB = 26cm ; CD = AB x 3 A C A C B B D D AB = (CD - AB) : 2 = 26 : 2 = 13cm CD = AB x 3 = 13 x 3 = 39cm BD = CD AB BD è formato da 3-1 = 2 parti congruenti ad AB La somma di tre segmenti è lunga 40cm. Calcola la lunghezza dei tre segmenti sapendo che il secondo supera il primo di 6cm e che il terzo supera il primo di 4cm. DATI: AB + CD + EF = 40cm; CD = AB + 6cm; EF = AB + 4cm A C E A B 6cm D 4cm F B=C D=E F 6cm 4cm AB = (AB + CD + EF 6-4) : 3 = = ( ) : 3 = 30 : 3 = 10cm CD = AB + 6cm = = 16cm EF = AB + 4cm = = 14cm AF = AB + CD + EF = (6cm + 4cm) + 3 parti congruenti ad AB GEOMETRIA 4

7 GLI ANGOLI L'angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano risulta diviso da due semirette che hanno l'origine in comune. b a Un angolo si dice: - convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; - concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da una sua retta che si dice origine di ciascuno dei due semipiani r retta d'origine semipiano semipiano GEOMETRIA 5

8 Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune soltanto il vertice e un lato Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte Si dice angolo nullo un angolo i cui i lati coincidono; la sua ampiezza è 0 Si dice angolo giro un angolo i cui i lati coincidono; la sua ampiezza è 360 Si dice angolo piatto un angolo i cui lati sono semirette opposte. La sua ampiezza è 180 L'angolo retto è la metà di un angolo piatto. La sua ampiezza è 90 GEOMETRIA 6

9 Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto, ma minore di un angolo piatto. Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto. α + β = 90 Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto α + β = 180 GEOMETRIA 7

10 Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro α + β = 360 Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro. α = γ β = δ GEOMETRIA 8

11 OPERAZIONI CON GRADI, PRIMI E SECONDI RICORDIAMO CHE : 60 = 1 60 = 1 Addizione Si sommano tra loro i secondi, i primi e i gradi e si possono presentare diverse situazioni: 1) il risultato è scritto in forma standard (i primi e i secondi sono minori di 60) = ) i secondi sono maggiori o uguali a 60, allora da tale somma sottraggo 60, che corrispondono a 1, e sommo tale 1 al totale dei primi = =60 = ) i primi superano 60, allora da tale somma sottraggo 60, che corrispondono a 1, e sommo tale 1 al totale dei gradi = = 60 = GEOMETRIA 9

12 4) sia secondi che primi superano 60, allora si fanno le trasformazioni necessarie prima sui secondi e successivamente sui primi = = 60 = = Moltiplicazione per un numero naturale Si moltiplicano i secondi, i primi e i gradi per il numero dato e poi si trasforma il risultato ottenuto in forma standard x 3 = = 60 = = = = Sottrazione Si fa la differenza tra i secondi, i primi e i gradi e si possono presentare diverse situazioni : 1) la differenza è possibile per i secondi, per i primi e per i gradi = GEOMETRIA 10

13 2) la differenza non è possibile per i secondi, allora bisogna chiedere il prestito di un primo che corrisponde a = = ) la differenza non è possibile per i primi, allora bisogna chiedere il prestito di un grado che corrisponde a = = ) la differenza non è possibile per i secondi e per i primi, allora bisogna chiedere il prestito di 1 per i secondi e di 1 per i primi = = = GEOMETRIA 11

14 Divisione per un numero naturale Si hanno situazioni diverse poiché si possono ottenere resti nelle divisioni: 1) si dividono i gradi per il numero dato, se non si ottiene resto si dividono i primi per il numero dato e se non si ottiene resto si dividono i secondi per il numero dato // // // 2) si ottiene resto nel dividere i gradi, allora i gradi del resto si trasformano in primi moltiplicandoli per 60 e poi si aggiungono ai primi di partenza e si fa la divisione; se si ottiene resto allora i primi del resto devono essere trasformati in secondi moltiplicandoli per 60 e poi si aggiungono i secondi così ottenuti a quelli di partenza e si fa la divisione x 60 = x 60 = // GEOMETRIA 12

15 RETTE PERPENDICOLARI E RETTE PARALLELE Due rette si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune. Due rette incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro angoli congruenti e quindi retti. Per un punto P, del piano, dato passa una sola retta perpendicolare a una retta data. La distanza fra un punto e una retta è il segmento di perpendicolare (PH) condotto dal punto alla retta. Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. Due rette si dicono parallele se appartengono a uno stesso piano e non hanno alcun punto in comune. Due rette si dicono coincidenti se ogni punto dell una coincide con un punto dell altra. Postulato di Euclide o postulato delle parallele: per un punto non appartenente a una retta si può condurre una sola parallela a tale retta. GEOMETRIA 13

16 Si dice fascio di rette parallele l insieme delle infinite rette di un piano parallele a una data retta (r). Le rette di un fascio hanno una caratteristica in comune: la direzione. Angoli formati da due rette r e s con una trasversale t: Angoli alterni interni: 3, 5 ; 4, 6 Angoli alterni esterni: 2, 8 ; 1, 7 Angoli coniugati interni: 4, 5 ; 3, 6 Angoli coniugati esterni: 1, 8 ; 2, 7 Angoli corrispondenti: 1, 5 ; 2, 6 ; 4, 8 ; 3, 7 Criterio di parallelismo. Due rette sono parallele se, intersecate da una trasversale, formano con essa : angoli alterni interni congruenti; angoli alterni esterni congruenti; angoli coniugati interni supplementari; angoli coniugati esterni supplementari; angoli corrispondenti congruenti. Si dice distanza fra due rette parallele il segmento di perpendicolare condotto da un punto qualsiasi di una delle due rette all altra retta. GEOMETRIA 14

17 POLIGONI Poligono Si dice poligono la parte di piano limitata da una spezzata semplice e chiusa che si considera appartenente al poligono e dai punti interni a essa. Si dice perimetro di un poligono la somma dei suoi lati. Poligono convesso Un poligono si dice convesso se non viene attraversato dal prolungamento di alcun suo lato. Poligono concavo Un poligono si dice concavo se risulta attraversato dal prolungamento di qualche suo lato. Angolo interno Si dice angolo interno di un poligono ogni angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono. Angolo esterno Si dice angolo esterno di un poligono ogni angolo adiacente a un angolo interno del poligono. GEOMETRIA 15

18 DENOMINAZIONE POLIGONI Triangolo:poligono di 3 lati Quadrilatero:poligono di 4 lati Pentagono:poligono di 5 Esagono:poligono di 6 lati Poligono equilatero Un poligono si definisce equilatero se ha tutti i lati congruenti Ettagono:poligono di 7 lati Ottagono:poligono di 8 lati Ennagono:poligono di 9 lati Decagono:poligono di 10 lati Endecagono:poligono di 11 lati Dodecagono:poligono di 12 lati Pentadecagono:poligono di 15 lati Icosagono:poligono di 20 lati Poligono equiangolo Un poligono si definisce equiangolo se ha tutti gli angoli congruenti. Poligono regolare Un poligono si dice regolare se è equilatero ed equiangolo e cioè se ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. Diagonale Si dice diagonale di un poligono ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi. Il numero delle diagonali è: n x (n 3) 2 n = numero dei lati dei poligono GEOMETRIA 16

19 Proprietà dei poligoni Ciascun lato di ogni poligono è minore della somma di tutti gli altri lati. AB<BC+CD+DE+EA BC<AB+CD+DE+EA CD<AB+BC+DE+EA DE< AB+BC+CD+EA EA< AB+BC+CD+DE La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligoni, meno due angoli piatti. S=(n 2) x 180⁰ n = numero dei lati La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, cioè misura 180⁰ α+β+γ=180 In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti: E = B + C La somma degli angoli esterni di un poligono di n lati è uguale a due angoli piatti, cioè misura 360⁰. GEOMETRIA 17

20 I TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e sempre maggiore della loro differenza. Relazione fra i lati di un triangolo AB BC CA BC AB CA CA BC AB e e e AB BC CA BC AB CA CA BC AB Relazione fra gli angoli di un triangolo In ogni triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto (180 ). In ogni triangolo la somma degli angoli esterni è un angolo giro (360 ). In ogni triangolo la somma di un angolo interno e del suo corrispondente angolo esterno è un angolo piatto (180 ). GEOMETRIA 18

21 Un triangolo è scaleno se ha i tre lati non congruenti. Gli angoli di un triangolo scaleno non sono congruenti. Classificazione dei triangoli rispetto ai lati Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti. Un triangolo è equilatero se ha i tre lati congruenti. Gli angoli di un triangolo equilatero sono congruenti. Un triangolo è ottusangolo se ha un angolo ottuso. Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli GEOMETRIA 19

22 Un triangolo è rettangolo se ha un angolo retto. In un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, i lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti. Gli angoli adiacenti all'ipotenusa sono complementari. L'ipotenusa è maggiore di ciascun cateto. Un triangolo è acutangolo se ha i tre angoli acuti. GEOMETRIA 20

23 L'altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento di perpendicolare condotto dal un vertice opposto al lato considerato o al suo prolungamento. Le tre altezze di un triangolo o i loro prolungamenti si incontrano in un punto detto ortocentro (O). L'ortocentro è: interno se i triangolo è acutangolo; esterno se il triangolo è ottusangolo; coincidente con il vertice dell'angolo retto se il triangolo è rettangolo. La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto. Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto detto baricentro (G). Il baricentro: é sempre interno al triangolo; divide ciascuna mediana in due segmenti tali che quello compreso tra il vertice e il baricentro è doppio rispetto all'altro. La bisettrice di un triangolo relativa a un angolo è una semiretta che ha origine nel vertice dell'angolo e lo divide in due parti congruenti. Le tre bisettrici di un triangolo si incontrano in un punto detto incentro (I). L'incentro è: - sempre interno al triangolo; - il centro della circonferenza di raggio r inscritta nel triangolo. Punti notevoli di un triangolo GEOMETRIA 21

24 L'asse di un lato di un triangolo è la perpendicolare al lato passante per il suo punto medio. I tre assi di un triangolo si incontrano in un punto detto circocentro (C). Il circocentro è: interno nel triangolo acutangolo; esterno nel triangolo ottusangolo; coincide con il punto medio dell'ipotenusa nel triangolo rettangolo; il centro della circonferenza di raggio r circoscritta al triangolo. Criteri di congruenza dei triangoli Primo criterio: due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo tra essi compreso rispettivamente congruenti. Secondo criterio: due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti rispettivamente congruenti tra loro. Terzo criterio: due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati rispettivamente congruenti. GEOMETRIA 22

25 Esercizi guidati Si può costruire un triangolo i cui lati misurano rispettivamente 12cm;15cm; 30cm? Il triangolo non si può costruire perché ogni lato deve essere minore della somma degli altri due: 12<15+30; 15<12+30; 30>12+15=27. Quanto misura il terzo angolo di un triangolo sapendo che: α=56 β=44? Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 si avrà: γ = (α+β+γ) (α+β)= = 180 ( )= = = =. Dato il triangolo ABC in figura, con l angolo esterno δ = 121 e l angolo interno γ = 50, calcola l ampiezza dell angolo β? Poiché α e δ sono supplementari (α + δ= 180 ) si avrà: α = 180 δ= = 59 Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 (α+β+γ=180 ) si avrà: β =180 (α+γ)= = 180 ( )= =. In un triangolo scaleno il primo lato misura 54 cm e gli altri due sono rispettivamente e del primo. Qual è la misura del perimetro? Il perimetro di un triangolo scaleno si ottiene sommando la misura dei lati = 54cm = 54:6x5=45cm =54:9x7= 42cm 2p ABC = + + = =.. GEOMETRIA 23

26 In un triangolo isoscele il perimetro misura 123 cm e ciascun lato obliquo supera la base di 6 cm. Quanto misurano i lati? DATI: 2p ABC = 123 cm = = + 6 cm INCOGNITE =? =? =? C X A B A X X B 6 cm 6 cm C C A B Dal perimetro sottraggo i 2 segmenti lunghi 6 cm, così ottengo 3 segmenti congruenti al lato. 3 = 2p ABC 6x2= = 111 cm = 3 : 3 = 111 : 3 = 37 cm = + 6 = = 43 cm Utilizzando il metodo con le x: X + X + X = X + 12 = X = X = 111 X = 111 : 3 = 37 cm = X = 37 cm = + 6 = = 43 cm GEOMETRIA 24

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