TRIANGOLI. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

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1 TRIANGOLI Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli. Proprietà: in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. a) RISPETTO AI LATI CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI SCALENO: tutti i lati sono diversi tra loro ISOSCELE: ha due lati congruenti EQUILATERO: ha tutti i lati congruenti. 1

2 b) RISPETTO AGLI ANGOLI OTTUSANGOLO: ha un angolo OTTUSO, maggiore di e minore di. RETTANGOLO: ha un angolo retto, ovvero di ACUTANGOLO: ha tutti gli angoli acuti, ovvero minori di TRIANGOLI PARTICOLARI a) ISOSCELE LATI OBLIQUI BASE Proprietà: un triangolo isoscele ha sempre i LATI OBLIQUI CONGRUENTI e gli ANGOLI DI BASE CONGRUENTI. 2

3 b) EQUILATERO triangolo regolare Proprietà: un triangolo equilatero ha sempre tutti i LATI CONGRUENTI e tutti gli ANGOLI CONGRUENTI c) RETTANGOLO (opposta all angolo retto) Proprietà: un triangolo rettangolo ha sempre un ANGOLO RETTO ( ). I lati che formano l angolo retto si chiamano CATETI; il lato opposto all angolo retto si chiama IPOTENUSA. Osservazione: dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è allora 3

4 1. ALTEZZA si dice ALTEZZA di un triangolo RELATIVA ad UN LATO il segmento perpendicolare al lato e passante per il vertice opposto. Il lato si dice BASE dell altezza. TRIANGOLO ACUTANGOLO Le 3 altezze sono: CH, AK, BT e si incontrano nel punto O interno al triangolo. TRIANGOLO OTTUSANGOLO Le tre altezze sono AH, BT, CK e si incontrano nel punto O esterno al triangolo. TRIANGOLO RETTANGOLO Le tre altezze sono: CH relativa all ipotenusa, AC, che è anche un cateto, BC, che è l altro cateto. Le altezze si incontrano nel punto C, che è il vertice dell angolo RETTO. il punto O di incontro delle tre altezze si chiama ORTOCENTRO. 4

5 2. MEDIANA si dice MEDIANA di un triangolo, relativa ad un lato, il segmento che unisce il vertice con il PUNTO MEDIO del lato opposto. PUNTO MEDIO: il punto che sta a metà del segmento. TRIANGOLO ACUTANGOLO Si devono trovare i punti medi di ogni segmento: M, N, P Si deve unire ogni vertice con il punto medio opposto: CM, AN, BP sono le tre MEDIANE Il loro punto d incontro è G. TRIANGOLO OTTUSANGOLO Le tre mediane sono: AN, CM, BP. Si incontrano nel punto G, interno al triangolo. TRIANGOLO RETTANGOLO Le tre mediane sono AN, CM, BP. Si incontrano nel punto G interno al triangolo. il punto di incontro delle MEDIANE si dice BARICENTRO e si indica con la lettera G. 5

6 Proprietà: il BARICENTRO divide ogni mediana in due parti, di cui una è il doppio dell altra; ovvero il segmento che va dal VERTICE al baricentro è il DOPPIO del segmento che va dal baricentro al PUNTO MEDIO. AG = 2 GN CG = 2 GM BG = 2 GP 3. BISETTRICE Si dice BISETTRICE di un triangolo relativa ad un angolo il segmento che divide a metà l angolo e incontra il lato opposto. Le tre BISETTRICI sono CR, BT, AS. l incontro delle BISETTRICI di un triangolo si chiama INCENTRO, I, ed è sempre interno al triangolo. Proprietà: in ogni triangolo l INCENTRO è EQUIDISTANTE dai lati, ovvero la distanza di I dai lati è uguale per ogni lato. ID = IE = IF l incentro è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. 6

7 4. ASSE l ASSE di un segmento è la retta PERPENDICOLARE al segmento passante nel PUNTO MEDIO. TRIANGOLO ACUTANGOLO I tre assi si incontrano nel punto C, interno al triangolo. TRIANGOLO OTTUSANGOLO I tre assi si incontrano nel punto C, esterno al triangolo. TRIANGOLO RETTANGOLO I tre assi si incontrano nel punto C, sull ipotenusa e coincidente con il punto medio M. i tre assi del triangolo si incontrano nel punto detto CIRCOCENTRO, che è il centro della circonferenza circoscritta. 7

8 Proprietà: in un triangolo EQUILATERO, ALTEZZA, MEDIANA, BISETTRICE e ASSE relativi ad un qualsiasi lato coincidono. PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO ORTOCENTRO ALTEZZE Acutangolo interno Ottusangolo esterno Rettangolo coincide con il vertice dell angolo retto BARICENTRO MEDIANE Sempre interno INCENTRO BISETTRICI Sempre interno CIRCOCENTRO ASSI Acutangolo interno Ottusangolo esterno Rettangolo coincide con il punto medio dell IPOTENUSA 8

9 CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI un movimento RIGIDO in geometria è uno spostamento che NON deforma la figura. due triangoli sono CONGRUENTI se è possibile con un MOVIMENTO RIGIDO sovrapporli in modo da farli coincidere. con uno sposta mento coincid ono Due triangoli e sono CONGRUENTI se hanno gli stessi angoli e gli stessi lati: PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA (L-A-L): due triangoli sono congruenti se hanno due lati corrispondenti congruenti e l angolo compreso congruente. 9

10 SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA (A-L-A): due triangoli sono congruenti se hanno due angoli corrispondenti congruenti e il lato compreso congruente. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA (L-L-L): due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati corrispondenti congruenti. 10