Triangoli. Matematica di Base - Ingegneria UNIUD

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1 Triangoli Matematica di ase - Ingegneria UNIUD

2 IL TRINGOLO Si defince triangolo la parte di piano racchiusa da una poligonale chiusa composta da tre segmenti detti lati o spigoli del triangolo. I punti di intersezione dei tre lati si dicono vertici. Perché si possa costruire un triangolo è necessario che ciascun lato sia minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. In un triangolo la somma degli angoli interni da sempre un angolo piatto (180 ). β α γ 2

3 ngoli esterni di un triangolo Per angolo esterno di un triangolo si intende quello formato da uno dei lati del poligono con il prolungamento del lato consecutivo. In ogni triangolo l angolo esterno è la somma degli angoli interni non adiacenti 3

4 lassificazione dei triangoli In ogni triangolo due angoli sono sicuramente acuti. Il terzo angolo può essere ancora acuto, oppure rettangolo o ottuso. onseguentemente i triangoli vengono detti rpettivamente: cutangolo, rettangolo oppure ottusangolo. In base ai lati (oppure agli angoli) un triangolo può rultare inoltre: Scaleno, Isoscele, Equilatero. 4

5 criteri di congruenza 5

6 1 criterio di congruenza Due triangoli si dicono congruenti quando hanno rpettivamente congruenti due coppie di lati e la coppia di angoli da essi stessi compresa. = ' ' = ' ' = ' 6

7 2 criterio di congruenza Due triangoli si dicono congruenti quando hanno rpettivamente congruenti una coppia di lati e le due coppie di angoli ad essa adiacenti. = ' ' = ' = ' 7

8 3 criterio di congruenza Due triangoli si dicono congruenti quando hanno rpettivamente congruenti tutti e tre le coppie di lati corrpondenti. = ' ' = ' ' = ' ' 8

9 criteri di congruenza per i triangoli Due triangoli rettangoli si dicono congruenti quando,oltre all angolo retto, hanno ordinatamente congruenti altri due elementi, di cui almeno uno sia un lato. 9

10 elementi notevoli 10

11 ltezza di un triangolo Si chiama altezza di un triangolo il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto (o al suo prolungamento). In ogni triangolo si possono tracciare 3 altezze che si incontrano in un unico punto detto ortocentro. P K H = altezza relativa al lato K = altezza relativa al lato H P = altezza relativa al lato 11

12 mediana M In ogni triangolo dicesi mediana il segmento che congiunge ogni vertice con il punto medio del lato opposto (M). 12

13 Mediana di un triangolo In ogni triangolo le 3 mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro. M = mediana relativa ad N = mediana relativa ad N P P = mediana relativa a G G = baricentro M 13

14 Mediane e baricentro Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in parti tali che quella contenente il vertice è doppia dell altra. osì: M 1 M 3 G M 2 14

15 ettrice di un triangolo M I N L Si dice bettrice di un triangolo ogni segmento che beca ciascuno degli angoli interni, condotto dal corrpondente vertice fino al lato opposto. In ogni triangolo si possono perciò condurre 3 bettrici che si incontrano in un unico punto detto incentro. 15

16 ssi di un triangolo Si dice asse di un triangolo il segmento di perpendicolare condotto per il punto medio di ogni lato. In ogni triangolo si possono condurre tre assi che si incontrano in un unico punto detto circocentro. M =asse relativo al lato MN =asse relativo al lato MQ =asse relativo al lato 16

17 Formule per trovare l area di un triangolo. formula diretta formule inverse = b h 2 L area della superficie di un triangolo si può calcolare anche con la Formula di Erone: = p(p a)(p b)(p c) dove p indica il semiperimetro e a, b, c indicano i lati del triangolo. 17

18 se il triangolo è rettangolo valgono anche le seguenti formule = c 1 c 2 2 c 1 = 2 c 2 c 2 = 2 c 1 18

19 teorema di Talete a b c t t Un fascio di rette parallele intercetta su due trasversali segmenti proporzionali: D D d : ' ' = : ' ' = D : ' D' =... 19

20 pplicazione del teorema di Talete a b t t I triangoli,, DD sono simili tra di loro e quindi valgono ad esempio: c d D D : = ' : ' = ' ' : ' ' : D = ' : DD' = ' ' : ' D' 20

21 ettrice dell angolo interno H In ogni triangolo la bettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti tali che il loro rapporto rulta uguale al rapporto dei corrpondenti lati. D H 21

22 ettrice dell angolo esterno Se la bettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto, i segmenti determinati dal punto di incontro e dagli estremi di questo lato sono proporzionali ai lati rimanenti. E D 22

23 Esercizi 1. Tracciare le altezze di un triangolo scaleno di tipo ottusangolo. Individuare l ortocentro. 2. Tracciare gli assi di un triangolo rettangolo. Individuare il circumcentro. 3. Dire quali punti notevoli di un triangolo cadono sempre all interno dello stesso e quali possono cadere anche all esterno. ommentare la rposta. 4. In un triangolo i lati murano rpettivamente 6, 7 e 8 cm. alcolare la mura delle altezze relative. 23

24 Glossario ltezza, asse, bettrice, mediane Ortocentro, circumcentro, incentro, baricentro tangente, secante, 24