Unità Didattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 79. Unità Didattica N 30 Equivalenza delle superfici piane

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1 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 79 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 0) oncetti primitivi e postulati 0) parallelogrammi equivalenti 03) Parallelogrammi e triangoli equivalenti 04) Trapezi e triangoli equivalenti 05) equivalenza tra un poligono circoscritto ed un triangolo 06) Primo teorema di Euclide 07) Teorema di Pitagora 08) econdo teorema di Euclide 09) Trasformazione di un poligono in un altro equivalente 0) Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente di data altezza h ) Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente di base b Pagina 79 di 90

2 80 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane oncetti primitivi e postulati icesi superficie piana ( finita ) una parte di piano delimitata da una linea piana chiusa. La nozione di estensione è una nozione primitiva ( quindi non dimostrabile né definibile ) ed è posseduta intuitivamente da ciascuno di noi. ue figure geometriche piane si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione. Per indicare che due figure geometriche F ed F sono equivalenti si usa la scrittura F F e si legge : << F è equivalente ad F >>. Per l equivalenza tra figure geometriche valgono le seguenti proprietà : ) Proprietà riflessiva Ogni figura geometrica piana è equivalente a se stessa, cioè : F F ) Proprietà simmetrica : e una figura geometrica è equivalente ad un altra. anche questa seconda figura geometrica è equivalente alla prima, cioè : F F F F 3) Proprietà transitiva e una figura geometrica è equivalente ad una seconda e questa è equivalente ad una terza, anche la prima figura geometrica è equivalente alla terza, cioè : 4) ue figure geometriche uguali sono equivalenti ma non viceversa 4 3 G 3 4 F F F F3 F F3 EFG in quanto i due poligoni sono equiscomponibili E F Pagina 80 di 90

3 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 8 5) Per dimostrare l equivalenza di due figure geometriche piane si ricorre al seguente << criterio di equivalenza per somma >>, il quale afferma quanto segue : due figure geometriche piane sono equiscomponibili o equivalenti per somma quando possono essere divise nello stesso numero di poligoni uguali o equivalenti Parallelogrammi equivalenti Teorema : ue parallelogrammi aventi basi ed altezze uguali sono equivalenti H G E F onsideriamo due parallelogrammi e EFGH aventi uguali le basi ed EF e le relative altezze. Trasporto il parallelogramma EFGH sul parallelogramma in modo che E, F. Poiché i due parallelogrammi hanno altezze uguali, il lato HG apparterrà alla retta che contiene il lato. i possono presentare tre casi : caso : H H G E F I triangoli e FGH sono uguali per avere : ) HG in quanto a due a due lati opposti dello stesso parallelogrammo ) HF in quanto lati opposti dello stesso parallelogrammo 3) FG in quanto lati opposti dello stesso parallelogrammo GH Pagina 8 di 90

4 8 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane EFGH + + EFGH caso : H I lati ed HG hanno in comune il segmento H. 3 I triangoli H e G sono uguali per avere : E ) in quanto lati opposti dello stesso parallelogrammo F ) H G in quanto lati opposti dello stesso parallelogrammo GH 3) H G perché differenza di segmenti uguali [ H H, G HG H, HG ] EFGH 3 caso : EFGH N M H G I lati ed HG sono esterni uno rispetto all altro partire dal punto H si prendono tanti segmenti consecutivi ad HG quanto bastano a trovarne uno ( ad esempio N ) che abbia come secondo estremo un punto interno a o coincidente con. Per uno dei due casi precedenti risulta : GH HM MN N Pagina 8 di 90

5 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 83 Parallelogrammi e triangoli equivalenti N Teorema Un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che ha per base metà L base del triangolo e per altezza la stessa altezza del triangolo. 3 M e nel triangolo conduciamo, per il punto medio M della base, la parallela al lato, e per il vertice la parallela ad, otteniamo il quadrilatero MN che, per costruzione, è un parallelogramma avente per base la metà della base del triangolo e per altezza la stessa altezza. I triangoli ML ed LN sono uguali per avere : ) N M in quanto entrambi uguali al segmento M ) NL ˆ Lˆ M in quanto angoli alterno-interni rispetto alle rette parallele N ed M tagliate dalla trasversale 3) NL ˆ LM ˆ in quanto entrambi uguali al segmento M ) NL ˆ Lˆ M in quanto angoli alterno-interni rispetto alle rette parallele N ed M tagliate dalla trasversale MN MN MN Pagina 83 di 90

6 84 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane Teorema Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente come base la somma delle basi del trapezio e come altezza la stessa altezza. Trapezi e triangoli equivalenti i prolunghi il segmento dalla parte di di un segmento O E. I triangoli O e OE sono uguali per avere : ) E per costruzione ) OE ˆ Oˆ perché angoli alterno-interni rispetto alle rette parallele E e tagliate dalla trasversale 3) OE ˆ Oˆ perché angoli alterno-interni rispetto alle rette parallele E e tagliate dalla trasversale E E + + E Equivalenza tra un poligono circoscritto ed un triangolo E Teorema Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo avente per base il perimetro del r r O r r poligono e per altezza il raggio della circonferenza Pagina 84 di 90

7 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 85 ongiungendo il centro O della circonferenza con i vertici del poligono otteniamo tanti triangoli quanti sono i lati del poligono ( nel caso nostro 4 ). Poi trasportiamo sopra una retta, consecutivamente l una all altro, i segmenti,,, congruenti ai lati del poligono e congiungiamo i punti,,,, con un punto P che disti dalla retta di un segmento uguale al raggio della circonferenza. O P, O P, O P, O P in quanto si tratta di triangoli aventi uguali le rispettive basi e le rispettive altezze. i conclude che e P, essendo equicomposti, sono equivalenti. P ' ' ' ' r " Primo teorema di Euclide M In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su di un cateto è equivalente al rettangolo avente come dimensioni l ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull ipotenusa. Hp { ˆ 90 Th ostruiamo sul cateto il quadrato il rettangolo E ed HN avente come lati, L E P H H. I triangoli e L sono uguali per avere : ) in quanto lati dello stesso quadrato N ) ˆ ˆ L in quanto entrambi retti 3) ˆ Lˆ in quanto complementari dello stesso angolo ˆ. Pagina 85 di 90

8 86 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane Ne consegue che : L P per avere la stessa base e la stessa altezza E P per avere basi congruenti ( L ) e la stessa altezza H. Per la proprietà transitiva dell equivalenza abbiamo : Il primo teorema di Euclide scritto in forma metrica ( cioè considerando le misure dei lati del triangolo rettangolo ) diventa : H H H H H H H H Inverso del primo teorema di Euclide : e in un triangolo il quadrato costruito su un lato è equivalente al rettangolo che ha le dimensioni uguali al lato maggiore ed alla proiezione del primo lato su questo, allora il triangolo è rettangolo. Teorema di Pitagora In triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. H Hp { ˆ 90 Th + E iano,, i quadrati costruiti rispettivamente sui cateti ed e sull ipotenusa. Il prolungamento dell altezza H relativa all ipotenusa divide il quadrato nei rettangoli ed. + + teorema di Euclide applicato al cateto teorema di Euclide applicato al cateto + Pagina 86 di 90

9 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 87 Il primo teorema di Pitagora scritto in forma metrica diventa : + + Osservazione ( ) ( ) H H H H cateto cateto ipotenusa altezza relativa all ipotenusa H H H Inverso del teorema di Pitagora : e in un triangolo il quadrato costruito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, allora il triangolo è rettangolo. econdo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo avente come dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. E F H L G K Hp { ˆ 90 Th ostruiamo il quadrato sul cateto,il quadrato sull altezza H relativa all ipotenusa, il rettangolo HMN avente come lati N e H, il quadrato sulla proiezione H. N M Pagina 87 di 90

10 88 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane + primo teorema di Euclide applicato al cateto + teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo H Il secondo teorema di Euclide scritto in forma metrica diventa : H H H H H H H H H H H H Inverso del secondo teorema di Euclide : e il quadrato costruito sull altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo avente le dimensioni uguali alle proiezioni degli altri due lati sul primo, allora il triangolo è rettangolo. Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente di data altezza h i conduca la parallela p ad uno dei lati del triangolo ad esempio al lato. ia h la distanza tra le rette parallele p ed. ia il punto comune alla retta p ed alla retta che contiene il lato. i congiunga con e da si tracci la parallela a. Il triangolo E è quello richiesto. p h E + E E E + E E E per avere la stessa E base E ed altezze uguali ( H K oppure H EK ) Pagina 88 di 90

11 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane 89 H p h K E i costruisce la retta p parallela alla retta e distante da questa h. ia p. i congiunga con ; per tracciamo la retta parallela a che incontra nel punto E. Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente di base b Pagina 89 di 90

12 90 Unità idattica N 30 Equivalenza delle superfici piane Pagina 90 di 90