Elementi di Euclide. Libro II. Algebra Geometrica. Proposizione 4: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2.

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1 PAS 2014 GEOMETRIA Programma di massima: Elementi di logica elementare. La geometria degli Elementi di Euclide. De nizioni, assiomi e postulati. La geometria del triangolo. Criteri di uguaglianza. Teorema di Pitagora. Teorema di Talete. Similitudine e criteri di similitudine tra gure piane. La geometria del cerchio. Costruzioni con riga e compasso. Aree di poligoni, e di gure curve. Il numero. Geometria solida. Aree e volumi. Principio di Cavalieri. Volumi di cilindri, coni, sfere. Calcolo approssimato di aree e volumi. Poliedri. Formula di Eulero. Trasformazioni geometriche e simmetrie. Bibliogra a: Euclide Elementi. F.Enriques U.Amaldi Elementi di Geometria. A.P.Kiselev Geometry: Plenimetry, Geometry: Stereometry. E.Moise Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. D.Hilbert Fondamenti della Geometria. Gli Elementi di Euclide sono stati la didattica della Matematica per più di 2000 anni. I libri di Enriques Amaldi, Kiselev, Moise, sono classici testi scolastici italiani, russi, americani. In ne, il libro di Hilbert è per chi vuole approfondire l assiomatizzazione della Geometria Euclidea. Esame: Il programma ministeriale è anche programma d esame. Si consulti anche il quadro di riferimento delle prove INVALSI. Per quanto riguarda il programma del corso, sono richieste le de nizioni e gli enunciati delle proposizioni sotto enunciate. Delle proposizioni contrassegnate con un asterisco (*) sono richieste anche le dimostrazioni, non necessariamente quelle negli Elementi di Euclide.

2 Elementi di Euclide. Libro I. Geometria del triangolo. De nizioni. Assiomi. Postulati. (*) Proposizione 4: Primo criterio di uguaglianza di triangoli. Lato-Angolo- Lato. (*) Proposizioni 5 e 6 (Pons asinorum): Un triangolo con due lati uguali ha anche due angoli uguali, e viceversa. (*) Proposizioni 7 e 8: Terzo criterio di uguaglianza di triangoli. Lato-Lato- Lato. (*) Proposizione 15: Angoli opposti al vertice sono uguali. (*) Proposizione 16: In un triangolo un angolo esterno è maggiore degli angoli interni non adiacenti. Proposizioni 18 e 19: In un triangolo il lato maggiore sottende l angolo maggiore, e viceversa. Proposizione 20: In un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato. (*) Proposizione 26: Secondo criterio di uguaglianza di triangoli. Angolo-Lato- Angolo e Angolo-Angolo-Lato. (*) Proposizione 27: Se una trasversale taglia due rette con angoli uguali, le due rette sono parallele. (*) Proposizione 29: Una trasversale taglia due rette parallele con angoli uguali. È la prima proposizione che utilizza il V postulato! Postulato equivalente: Per un punto c è una sola parallela ad una retta. (*) Proposizione 32: La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti. (*) Proposizion1 33 e 34: I lati opposti di un parallelogrammo sono uguali, gli angoli opposti sono uguali, e le diagonali si tagliano a metà. (*) Proposizione 35: Parallelogrammi con stessa base e stessa altezza hanno la stessa area. In particolare, l area di un parallelogrammo è base per altezza. (*) Proposizioni 37, 38, 41: Un triangolo ha la metà area di un parallelogrammo con la stessa base e stessa altezza. In particolare, l area di un triangolo è base per altezza diviso due. (*) Proposizioni 47 e 48: In un triangolo rettangolo il quadrato sull ipotenusa è la somma dei quadrati sui cateti. Viceversa, se il quadrato su un lato è la somma dei quadrati sugli altri due, il triangolo è rettangolo. Il teorema di Pitagora! Elementi di Euclide. Libro II. Algebra Geometrica. Proposizione 4: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. 2

3 Proposizioni 5, 6: (x + y) (x y) = x 2 y 2. Elementi di Euclide. Libro III. Geometria del cerchio. Proposizione 20: In un cerchio l angolo al centro è doppio di un angolo alla circonferenza. Elementi di Euclide. Libro IV. Costruzione con riga e compasso di poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 15 lati. Elementi di Euclide. Libro V. Rapporti e proporzioni. De nizione 5: : = : se e solo se m = n implica m = n e viceversa, m > n implica m > n e viceversa, m < n implica m < n e viceversa. Elementi di Euclide. Libro VI. Figure simili. De nizione 1: Figure piane simili sono quelle che hanno angoli uguali e lati corrispondenti in proporzione. Proposizione 1: Triangoli e parallelogrammmi con la stessa altezza sono proporzionali alle basi. (*) Proposizione 2: Una retta parallela ad un lato di un triangolo taglia gli altri due lati in proporzione. Viceversa, una retta che taglia due lati in proporzione è parallela al terzo lato. Il teorema di Talete! (*) Proposizione 4: Due triangoli con angoli uguali hanno lati corrispondenti in proporzione. (*) Proposizione 5: Due triangoli con lati in proporzione hanno angoli uguali. (*) Proposizione 6: Se due triangoli hanno un angolo uguale e i lati adiacenti in proporzione, allora tutti gli angoli sono uguali e tutti i lati sono in proporzione. (*) Proposizione 8: L altezza relativa all ipotenusa divide un triangolo rettangolo in due triangoli simili a quello di partenza. Corollario: L altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale alla proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Proposizioni 19 e 20: I rapporti tra le aree di triangoli o poligoni simili sono uguali ai rapporti tra i quadrati dei lati. (*) Proposizione 31: In un triangolo rettangolo una gura costruita sull ipotenusa è la somma di gure simili costruite sui cateti. Il teorema di Pitagora! Elementi di Euclide. Costruzioni con riga e compasso. Libro I Proposizione 1: Triangolo equilatero. Libro I Proposizione 9: Bisettrice di un angolo. Libro I Proposizione 10: Punto medio di un segmento. 3

4 Libro I Proposizioni 11 e 12: Perpendicolare ad una retta per un punto. Libro I Proposizioni 21 e 31: Trasporto di un angolo, e parallela ad una retta per un punto. Libro III Proposizione 1: Trovare il centro di un cerchio. Libro VI Proposizione 12: Trovare il quarto proporzionale tra tre segmenti. Libro VI Proposizione 13: Trovare il medio proporzionale tra due segmenti. In particolare, con riga e compasso si possono e ettuare somme, sottrazioni, prodotti, divisioni, estrazioni di radici quadrate. Cioè, si possono risolvere le equazioni di primo e secondo grado. Elementi di Euclide. Libro XII. Aree e volumi. Proposizione 7: Un prisma con base triangolare può essere diviso in tre piramidi con basi triangolari di ugual volume. In particolare, una piramide è la terza parte di un prisma con la stessa base e la stessa alteza. Principio di Cavalieri: Se le lunghezze delle sezioni di due gure piane tagliate da rette parallele hanno tutte un dato rapporto, anche le aree delle gure hanno lo stesso rapporto. Se le aree delle sezioni di due solidi tagliate da piani paralleli hanno tutte un dato rapporto, anche i volumi dei solidi hanno lo stesso rapporto. (*) Un prisma ha lo stesso volume di un parallelepipedo con stessa area di base e stessa altezza. Il volume di un prisma o di un cilindro è area di base per altezza. (*) Il volume di un tetraedro, piramide, o cono, è un terzo dell area di base per l altezza. = Circonferenza : Diametro La Misura del cerchio di Archimede: (*) Un cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo con un cateto uguale al raggio e l altro cateto uguale alla circonferenza. (*) La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi =71 < < 3 + 1=7. 4

5 Lati Semiperimetro p p q 2 3 = 3; 105::: p p r = 3; 132::: q p 2 + p 3 = 3; 139::: s r q p 2 + p 3 = 3; 141::: Il Cilindro e la Sfera di Archimede: (*) Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro è una volta e mezza la sfera, e la super cie, comprese le basi, è una volta e mezza la super cie della sfera. Cioè, il volume di una sfera di raggio R è 4 3 R3 e l area è 4R 2. La formula di Eulero per poliedri: Vertici - Lati + Facce = 2. La formula di Eulero per gra planari: Vertici - Lati + Facce = 2. Poliedri Platonici, con tutte le facce uguali e tutti i vertici uguali: Tetraedro, Esaedro, Ottaedro, Dodecaedro, Icosaedro. 5