Problema Un triangolo rettangolo ha l angolo =60. La bisettrice dell angolo msura 6. Calcola il perimetro del triangolo.

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1 SIMILITUDINE Problemi Problema Un triangolo rettangolo ha l angolo =60. La bisettrice dell angolo msura 6. Calcola il perimetro del triangolo. La bisettrice divide l angolo =60 in due angoli di 30, quindi il triangolo è isoscele. Pertanto = =6. Il triangolo è la metà di un triangolo equilatero. Pertanto = =3. Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = =6 3 = = 36 9 = 7 =3 3. Pertanto = + =3+6 =9. Mentre = =6 3. La misura del perimetro del triangolo è: = + + = =9 3+9 = Matematica 1

2 Problema Nel triangolo rettangolo raffigurato a lato, =1 =16, =, =90. Calcola l area del triangolo. Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = + =16 +1 = = = 400 =0 Pertanto = =10. I triangoli e sono simili. Infatti: L angolo è in comune perché entrambi retti. Pertanto hanno i lati corrispondenti in proporzione: = ; 10 16= 1 ; In definitiva l area vale: = = 15 = 1 = = 75 Matematica

3 Problema Nel triangolo rettangolo raffigurato a lato, =9, =1 e =90. Calcola il perimetro del triangolo. 1 Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = + =9 +1 = = = 5 =15 L area del triangolo è: = 1 = =54 L altezza relativa all ipotenusa misura: = = =36 5 Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = =1 =144 = =. Inoltre i triangoli e sono simili. Infatti: L angolo è in comune perché entrambi retti. Pertanto hanno i lati corrispondenti in proporzione: = ; 9= ; = = Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = = = = = La misura del perimetro del triangolo è: = + + = = = = = Dopo aver determinato le misure dell ipotenusa e dell altezza relativa all ipotenusa, si sfrutta la similitudine dei triangoli e : = ; 36 5 :15= 1 ; = =144 5 Si calcola in seguito, con il T. di Pitagora, la misura di. Matematica 3

4 Problema 9.0 In un triangolo rettangolo, di cateti 16 e 1, traccia l altezza relativa all ipotenusa e la bisettrice dell angolo retto. Calcola l area del triangolo. Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = + =1 +16 = = 400 =0 L area del triangolo vale: = = 1 16 =96. L altezza relativa all ipotenusa misura: = = 96 0 =48 5. Ricordando il T. della bisettrice: La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due lati, si ottiene: = = 1 16 ; Ponendo = = 1 16 ; Considerando che: + =0 si ha: = = =0 ; 3+48=60 ; 7=60 ; =60 7 Pertanto = 60 7 e = =. Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = =1 =144 = =. Si ricava quindi: = = 60 In definitiva l area vale: 7 = = 1 = = =. Matematica 4

5 Problema Un rettangolo di perimetro 8 è inscritto in un triangolo di base =16 e altezza =1. Calcola le dimensioni del rettangolo. I triangoli e sono simili. Infatti: L angolo è in comune perché corrispondenti. perché corrispondenti. Ricordando il teorema: In due triangoli simili le basi sono proporzionali alle rispettive altezze si ha: = Ponendo = = =1 = =1 1 ; 1 14 =16 1 ; 168 1=19 16 ; 1+16= ; 4=4 ; =6. Pertanto =6 è =8. Matematica 5

6 Problema In una circonferenza di centro inscrivi un triangolo isoscele avente la base di 16 e i lati obliqui di 0 ciascuno. Calcola la misura del raggio. 1 = =8 Applicando il T. di Pitagora al triangoloo si ha: = =0 8 Applicando il I T. di Euclide al triangoloo si ha: = ; 0 =4 1 ; = = = 100 Pertanto il raggio misura: = 1 = = 336 =4 1 = Matematica 6

7 Problema L area di un triangolo rettangolo è 80 e l ipotenusa è lunga 0. Calcola la misura dei cateti. 1 L altezza relativa all ipotenusa misura: = = 80 0 =8. I triangoli e sono simili. Infatti: Pertanto i lati corrispondenti sono proporzionali: = Ponendo = e =0 si ottiene: 8 =8 0 ; 0 =8 8 ; 0 =64 ; 0+64=0 ; Pertanto =4 Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: =4 4 =10 64=36 ;, =10 6= =16 e =16. = + =8 +4 = = 80 =4 5 Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = + =8 +16 = = 30 =8 5 L altezza relativa all ipotenusa misura: = = 80 =8. 0 Ponendo = =0 Applicando il II T. di Euclide al triangolo si ha: = ; 8 = 0 ; 64=0 ; 0+64=0 ; Pertanto =4 =4 4 =10 64=36 ;, =10 6= =16 e =16. Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = + =8 +4 = = 80 =4 5 Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = + =8 +16 = = 30 =8 5 Matematica 7

8 Problema Nel triangolo isoscele raffigurato a lato, =10, =15, =5 e. Calcola il perimetro e l area del triangolo CLM. Il perimetro del triangolo misura: = + + = =40 Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha: = = 5 5 = 00 =10 L area de triangolo vale: = = =50. I triangoli e sono simili. Infatti: è in comune CDE A perché angoli corrispondenti fra DE AB tagliate da AC perché angoli corrispondenti fra tagliate da Ricordando il teorema: Il rapporto fra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto fra le misure dei lati corrispondenti, si ottiene: = ; 40 =15 5 = =40 3. Ricordando il teorema: Il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al rapporto fra i quadrati delle misure dei lati corrispondenti, si ha: = ; = = 5 15 ; 50 = 5 5 ; 50 =1 9 ; Problema Un rettangolo il cui perimetro è 15a è simile a un altro rettangolo la cui base è 8a e la cui altezza è a. Calcola la misura dei lati e l area del primo rettangolo. Il perimetro del rettangolo è = 8+=0 Essendo i due rettangoli e simili, si ha che i perimetri sono proporzionali ai lati corrispondenti: = 15 0 = 8 da cui si ottiene: = =6. L altezza h= 6=. L area del rettangolo è: = h=6 =9. Matematica 8

9 Problema Il lato AB di un triangolo ABC misura a. Conduci da un punto P di AB la parallela PQ a un altro lato in modo che il triangolo risulti suddiviso in due poligoni equivalenti. 1 Poniamo = Con i limiti geometrici: 0<< I due triangoli e sono simili perché: l angolo è in comune (angoli corrispondenti) (angoli corrispondenti) Pertanto i due triangoli e hanno i lati proporzionali alle altezze corrispondenti: = = ; da cui si ottiene: = L equivalenza fra il triangolo e il trapezio l area del triangolo ABC è il doppio dell area del triangolo In simboli: = Sostituendo i dati conosciuti si ha: = ; = ; = ; dividendo per 0 si ottiene: = ; = ; = ; = = = = = =+ Ricordando il teorema: Il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al rapporto fra i quadrati delle misure dei lati corrispondenti, si ha: = ; = ; = ; = 1 ; = = = = = =+ Matematica 9

10 Problema Considera una circonferenza avente il raggio di 3 e circoscrivi a essa un triangolo isoscele sulla base. Il rapporto tra l altezza e la base è. Determina le lunghezze dei lati del triangolo. Poniamo = = = = = 3 = + = =. Dalla similitudine dei triangoli e si ottiene: = ; = = ; 39 5 =1 5 3 ; 1 54=0 ; 9=0 ; Pertanto: = 9 =9 =0 = 9 = =117 =11,7. 10 Matematica 10

11 Problema É dato un triangolo rettangolo il cui cateto è 1. Si sa, inoltre, che il cateto è di. Determina su un punto in modo tale che, detta la sua proiezione ortogonale su, sussista la relazione: + =40 3. Calcoliamo innanzitutto le misure degli altri due lati: = 3 1=9 4 =1 +9 = = 5=15 Indicando: = =1 geometrici 0<<1. con i vincoli Dalla similitudine dei due triangoli e (l angolo in comune e ==90 ) si ottiene: = ; Mentre = ; Pertanto: 9 = 1 15 ; 1 = 1 15 ; = = = = Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo CPQ si ricava: = + = = = 9 1 = = 1 1 = = = 5 = =81+. Sostituendo le espressioni trovate nella relazione: + =40 3 si ottiene: =40 3 ; Da cui si ricavano le radici: = e =. Di queste radici soltanto quella positiva è accettabile. Pertanto il punto P si trova a dal vertice. Matematica 11

12 Problema Un rettangolo ha la superficie di 80. Se si aumentano le sue dimensioni ciascuna di, l area aumenta di 46. Calcola la misura delle dimensioni. x y Ponendo le dimensioni del rettangolo uguali a e. Si ottiene il sistema: =80 ++=80+46 = =1 = =0 Da cui si ricava: = =16 = =0 = =0 =80 ++=1 = =0, = = 1 11 = =5 =16 =5 =16 =16 =5 Le dimensioni del rettangolo sono pertanto: =16 e h=5. Matematica 1

13 Problema Stabilisci se si può inscrivere un trapezio isoscele che ha il perimetro di 0 in una semicirconferenza di raggio 5. La base del trapezio deve coincidere con il diametro. Pertanto =10. Quindi: AD +DC +CD =10. Cioè: EC +CB =5. Ma ciò non può sussistere. Infatti, ricordando che: la somma di due qualsiasi lati di un triangolo è maggiore del terzo in un triangolo rettangolo l ipotenusa è maggiore di ciascuno cateto si ha che: EC +CB >EB >OB =5. Matematica 13

14 Problema Un trapezio isoscele è circoscritto a un semicerchio di raggio. Sapendo che la base minore è parallela al diametro ed è lunga, determina il perimetro e l area del trapezio. Essendo = = e = perché alterni interni perché CE e CF sono tangenti alla circonferenza. Il che dimostra che il triangolo OBC è isoscele con. Poniamo = = Con i limiti geometrici: > Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo BCH si ha: + = ; = ; = ; 3 4 =73 64 ; = ; =73 48 Pertanto = e = = In definitiva il perimetro del trapezio è: = = + Mentre l area è: + + = + = + =. = = =0 ; Matematica 14

15 Problema Disegna un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro il cui raggio 5. Fissa su AB un punto e indica con la sua proiezione sul lato. Determina la misura di PH in modo che: + =11. Poniamo = =11 e =5 Con i limiti geometrici: 0<<5 Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo OPH si ha: =5 Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo PAK si ha: + = ; 5 +5 =11 ; = ; =0 ;, = = = Soluzioni entrambe accettabili, perché rispettano i limiti geometrici.. Problema Su una semicirconferenza di diametro =0, individua un punto P in modo tale che =3. Poniamo = = Con i limiti geometrici: 0<<0 Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo ABP si ha: + = + =400 ; 4 +9 =1600 ; 13 =1600 ; = ; = 13 Soltanto la soluzione positiva è accettabile. Pertanto = 13. Applicando il I T. di Euclide al triangolo rettangolo ABP si ha: = Da cui si ottiene: = = =. Matematica 15

16 Problema Il raggio di una circonferenza di centro è 10. Conduci una corda e indica con il piede della perpendicolare condotta da ad.. Trova a quale distanza dal centro si devee tracciare la corda affinché sussista la relazione + =. Poniamo = con i limiti geometrici: 0<<10. =100 =100 Sostituendo nella relazione + = si ottiene: 100 += ; 100 = 4100 = ; =0 ; =0 ;, = = 64 8 = 5 5 = = 14 5 =6 Matematica 16

17 Problema Considera un segmento lungo 9. Tra gli estremi e prendi un punto e costruisci, dalla stessa parte, i due triangoli equilateri e. Calcola quale distanza deve avere da affinché risulti: =. Poniamo = con i limiti geometrici: 0<<9. =9 = = 3 = 3 9 = 9 Sostituendo nella relazione: = si ottiene: = = 1 1 ; + = 1 ; = ; = ; =0 ; =0 ; =0 ; =0 ; =0 ; 1+7=0 ;, = = Soltanto la soluzione positiva: =3 è accettabile. Pertanto =3. =6 3= =3 =9 Matematica 17

18 Problema Un quadrato ha l area di 75. Inscrivi in esso un altro quadrato la cui area sia 39. Calcola le lunghezze di e di. =75 =5 3 =39 = 39 Poniamo = =5 3 con i limiti geometrici: 0<<5 3. Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo EBF si ha: + = = 39 ; =39 ; =0 ; =0 ;, = 4 Soluzioni entrambe accettabili. = = = = 3 =3 3 Matematica 18

19 Problema Un trapezio isoscele che ha la base maggiore di 8, la minore di 10 e l altezza di 1, si deve suddividere, mediante una parallela alle basi, in due trapezi aventi l area uguale. Trova a quale distanza dalla base minore si deve tracciare la parallela. = 16=8 =114 Poniamo = con i limiti geometrici: 0<<1. = =9 Dalla similitudine dei triangoli ADH e DEK si ha: = ; 9= 1 Da cui si ricava: =. Sostituendo nella relazione: =114 si ottiene: + =114 ; 0+ 3 =8 ; =0 ; + =8 ; =8 ; ±, = Scartando la soluzione negativa, si ha: = = 0± = 0± = 0± Matematica 19

20 Problema Su una semicirconferenza di diametro =10, trova un punto in modo tale che, detta la sua proiezione su, sia + =1. Poniamo = e = con i limiti geometrici: 0<<10 e 0<<10 Per il I T. di Euclide applicato al triangolo rettangolo si ha: +=1 =10 10 = =0 Da cui si ricava: =1 1 = = =0 ±, = = 7± =7± 5 Le soluzioni sono entrambe accettabili perché entrambe positive e minori di 10. Matematica 0