% Logica matematica e ragionamento numerico

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1 % Logica matematica e ragionamento numerico 1 * Geometria euclidea Test n. 3 (Tempo: minuti) 1 Sia ABCD un quadrilatero; quale delle seguenti affermazioni è sempre VERA? A ABCD può essere un rettangolo B ABCD è un rettangolo C ABCD ha due lati eguali D ABCD è un parallelogramma E ABCD non può essere un trapezio scaleno Quale fra le seguenti affermazioni è CORRETTA? A Se un quadrilatero ha una coppia di lati paralleli allora è un parallelogramma B Non tutti i quadrati sono rettangoli C L asse di un segmento è la retta che divide in due parti uguali il segmento D In una circonferenza, se un raggio incontra una corda è perpendicolare alla corda E In un parallelogramma gli angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari 3 In quale delle seguenti quaterne di numeri sono elencati i valori in gradi sessagesimali degli angoli interni di un quadrilatero? A 10, 90, 85, 81 B 90, 100, 10, 60 C 177, 38, 91, 54 D 10, 7, 54, 115 E 45, 10, 90, Un quadrato ha lato a, con a > 3. Se diminuiamo il lato di 3, l area del quadrato diminuirà di: A 6a 9 B 6a + 9 C 3(a 3) D (a 3) E 9a 5 Un rettangolo mantiene la stessa area se si aumenta la base di 8 cm e si diminuisce l altezza di 5 cm. La sua area però, se si diminuisce la base di 5 cm e si aumenta l altezza di 8 cm aumenta di 130 cm. I lati sono: A base = 30 cm; altezza = 40 cm B base = 35 cm; altezza = 45 cm C base = 40 cm; altezza = 30 cm D base = 50 cm; altezza = 0 cm E base = 60 cm; altezza = 30 cm

2 Logica matematica e ragionamento numerico 6 Il rettangolo della figura seguente ha dimensioni a e b, con a maggiore di b. Quanto deve valere x affinché l area del parallelogramma ombreggiato sia uguale all area della rimanente parte? A a+b B a b D a E b C ab 7 In un rombo una diagonale è il doppio dell altra e l area vale 36 cm. Quanto vale il lato del rombo? A 3 5 cm B 6 5 cm C Non si può determinare D 6 cm E 6 cm 8 Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se: A gli angoli opposti sono supplementari B ha almeno un angolo retto C la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due D la somma dei suoi angoli interni è 180 E è equilatero 9 Un triangolo inscritto in una circonferenza ed avente un lato coincidente con un diametro della circonferenza è: A scaleno B isoscele C equilatero D rettangolo E ottusangolo

3 3 Geometria euclidea 10 Quanto è lungo il segmento AC? A 3 B 4 C 4.5 D 5 E Non si può determinare 11 L area di un quadrato è pari a quella di un triangolo isoscele. Quanto vale l altezza del triangolo isoscele? (1) La diagonale del quadrato espressa in centimetri è pari al doppio della radice quadrata di. () La base del triangolo isoscele è pari a 1 cm. A I dati sufficienti per rispondere si trovano solo nella (1) ma non nella () B Non vi sono dati sufficienti per individuare la soluzione C I dati sufficienti per rispondere si trovano solo nella () ma non nella (1) D Nessuna delle altre alternative è corretta E I dati sufficienti per rispondere si trovano nella (1) e nella () insieme 1 Paolo vuole piantare degli alberi attorno alla sua villa di campagna. Lasciando fra un albero e l altro la distanza di 8 metri, sono necessari 5 alberi. Quanti ne occorrerebbero se la distanza tra alberi consecutivi aumentasse di metri? A 3 B 15 C 0 D 7 E 1

4 Logica matematica e ragionamento numerico 4 13 Lungo il perimetro di una palestra si prevede di disporre degli attrezzi a distanza di 3 metri l uno dall altro. Data una palestra quadrata, di perimetro pari a 90 m, quanti attrezzi in più saranno necessari per una palestra quadrata di area quadrupla? A 30 B 90 C 60 D 10 E Il quadruplo 14 La somma degli angoli interni di un pentagono non regolare: A ha il valore 1080 gradi B ha il valore 540 gradi C ha il valore 360 gradi D il valore dipende dalla lunghezza dei lati E il valore è sicuramente inferiore a 540 gradi 15 Si consideri un poligono regolare di 10 lati. Stabilire quale delle seguenti affermazioni è falsa. A Ogni angolo interno misura 144 (o 4 5 π) B Non è inscrivibile in una circonferenza C Esistono due circonferenze con lo stesso centro una iscritta e l altra circoscritta al poligono D Ha 35 diagonali E Il numero delle diagonali che escono dallo stesso vertice è 8 16 In un poligono regolare di 1 lati, quante diagonali si possono tracciare da ogni vertice? A 1 B 11 C 10 D 9 E Il rapporto tra l area e la circonferenza di un cerchio di raggio R è: A uguale a π B inversamente proporzionale al raggio C R / D R E R

5 5 Geometria euclidea 18 Nel settore circolare AOB l area della porzione di piano S delimitata dai due archi di circonferenza e dal raggio OA di lunghezza r vale: A π r 6 B π r 10 C r D π r 8 E r 3 19 Un campo di forma circolare ha perimetro di 4000 metri. La misura della lunghezza di una palizzata esterna che lo circonda a distanza di un metro dal bordo è, in metri: A /π B π C /π D π E Più di 4000π 0 In una circonferenza è inscritto un rettangolo in cui l altezza è doppia della base a. Quanto misura il raggio della circonferenza? A 5a B C D 5 a 5 a 5 a E 5 a

6 Estensioni on line dal volume: LEZIONI DI MATEMATICA ALGEBRA LOGICA GEOMETRIA GEOMETRIA ANALITICA GONIOMETRIA TRIGONOMETRIA a cura di CARMELO DI STEFANO

7 Logica matematica e ragionamento numerico 6 Risposte 1 Risposta esatta: A. Non avendo informazioni precise, non puoi sapere se il quadrilatero è un rettangolo, o un parallelogramma, o se ha due lati uguali o se sia o meno un trapezio scaleno; viceversa, l affermazione A, poiché è espressa con una formula dubitativa ( potrebbe essere un rettangolo ), è accettabile (infatti, alcuni quadrilateri sono rettangoli). Risposta esatta: E. La A è sbagliata perché un parallelogramma non ha solamente una coppia di lati paralleli (in tal caso si dovrebbe parlare di trapezio), ma ha i lati paralleli a due a due; la B è sbagliata perché tutti i quadrati sono rettangoli (il quadrato si può definire un rettangolo particolare, ovvero il quadrato è un rettangolo in cui base e altezza hanno uguale lunghezza); la C è sbagliata perché incompleta: l asse di un segmento, oltre a dividere in due parti uguali il segmento, è perpendicolare allo stesso; la D è sbagliata (te ne rendi conto facilmente provando a disegnare una corda e vedendo che esistono infiniti raggi non perpendicolari ad essa). Per esclusione, la risposta corretta è la E. 3 Risposta esatta: C. La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360. L unica opzione che riporta angoli che, sommati, danno risultato 360 è la C. 4 Risposta esatta: A. L area del quadrato si calcola moltiplicando il lato per se stesso: quindi, se il lato misura a, l area vale a, se il lato misura a 3, l area vale (a 3) (a 3) = a 6a + 9, ovvero, mettendo in evidenza il meno tra il secondo e il terzo monomio, a (6a 9). Quindi, se si diminuisce il lato di 3, l area del quadrato diminuisce di 6a 9. 5 Risposta esatta: C. Dovresti impostare un sistema, traducendo in simboli matematici le informazioni fornite dalla traccia, ovvero: base del rettangolo x; altezza del rettangolo y; area del rettangolo xy; se si aumenta la base di 8 cm x + 8; si diminuisce l altezza di 5 cm y 5; area con base incrementata e altezza ridotta (x + 8)(y 5) quindi, la frase Un rettangolo mantiene la stessa area se si aumenta la base di 8 cm e si diminuisce l altezza di 5 cm si traduce nel modo seguente xy = (x + 8)(y 5); se si diminuisce la base di 5 cm x 5; si aumenta l altezza di 8 cm y + 8; area con base ridotta e altezza incrementata (x 5)(y + 8); La sua area però, aumenta di 130 cm xy + 130; quindi, la frase La sua area però, se si diminuisce la base di 5 cm e si aumenta l altezza di 8 cm aumenta di 130 cm si traduce nel modo seguente (x 5)(y + 8) = xy Le due equazioni evidenziate in grigio devi porle a sistema: xy = (x + 8)(y 5) (x 5)(y + 8) = xy +130 Risolvendo il sistema ottieni x = 40 (ovvero la base misura 40 cm) e y = 30 (ovvero l altezza misura 30 cm). 6 Risposta esatta: D. Se l area ombreggiata deve essere uguale alla restante parte (ovvero alla parte bianca), allora l area ombreggiata deve occupare la metà dell area del rettangolo.

8 7 Geometria euclidea L area del rettangolo è uguale ad ab ; l area del parallelogramma, considerando che la sua altezza è uguale all altezza del rettangolo, ovvero vale b, è uguale a xb (l area del parallelogramma si calcola in modo identico al rettangolo, ovvero bisogna moltiplicare base e altezza). Partendo dalle considerazioni formulate, puoi impostare l equazione xb = ab, che risolta, dà soluzione x = a. 7 Risposta esatta: A. Se una diagonale del rombo vale x, l altra vale x (perché una diagonale è il doppio rispetto all altra). La formula per calcolare l area del rombo è: diagonale minore diagonale maggiore Area rombo =. Sostituendo nella formula i dati a disposizione, ottieni: 36 = x x. Risolvendo l equazione, ottieni x = 6, ovvero la diagonale minore mi- sura 6 cm, mentre la diagonale maggiore misura il doppio, ovvero 1 cm. Ricordando che le diagonali del rombo sono perpendicolari e che si tagliano scambievolmente a metà, se le disegni, dividi il rombo in 4 triangoli rettangoli, ciascuno dei quali ha come cateti la semidiagonale maggiore (che misura la metà di 1 cm, ovvero 6 cm) e la semidiagonale minore (che misura la metà di 6 cm, ovvero 3 cm), e come ipotenusa uno dei lati del rombo. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ODC dell illustrazione precedente, ottieni: CD = OD + OC CD = = = 45, da cui CD = 45 = 9 5 = 9 5 = 3 5 cm. 8 Risposta esatta: A. Avere gli angoli opposti supplementari è condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza. 9 Risposta esatta: D. 10 Risposta esatta: D. Se tracci il segmento OD, diagonale del rettangolo OCDA, ti rendi conto che esso è anche un raggio della circonferenza di centro O: il raggio di questa circonferenza vale 5, quindi anche OD vale 5. Considera, inoltre, che le diagonali di un rettangolo hanno uguale misura, quindi AC = OD = 5.

9 Logica matematica e ragionamento numerico 8 11 Risposta esatta: E. Per rispondere al quesito sono necessarie entrambe le informazioni: la prima ti consente di calcolare l area del quadrato (1) e di determinare, quindi, anche l area del triangolo isoscele; la seconda ti consente di calcolare l altezza del triangolo isoscele, partendo doppio dell area dalla conoscenza dell area e della base (ovvero altezza= ). base 1 Risposta esatta: C. Il quesito propone due variabili : il numero di alberi e la distanza tra ciascuno di essi. Le due variabili sono inversamente proporzionali, ovvero all aumentare della distanza tra ciascuno di essi, si riduce il numero di alberi che è possibile piantare attorno alla villa, e viceversa. Quando il quiz analizzato ti propone due variabili inversamente proporzionali, per risolverlo potrebbe convenirti applicare lo schema ad U, ovvero: incolonna le informazioni per tipologia di variabile Distanza Numero alberi 8 metri 5 alberi 8 + metri = 10 m x alberi applica lo schema ad U, ovvero imposta la proporzione seguendo il verso della freccia Distanza Numero alberi 8 metri 5 alberi 10 metri x alberi 8 : 10 = x : 5; x = = = 0 13 Risposta esatta: A. Per una nota proprietà delle figure simili, se una palestra quadrata ha area quadrupla rispetto ad un altra palestra, allora il perimetro risulterà doppio (se l area fosse stata 9 volte tanto, il perimetro 3 volte tanto, etc.). Quindi se la prima palestra ha perimetro di 90 m, la palestra con area quadrupla ha perimetro doppio, ovvero il perimetro della palestra di maggiori dimensioni è 90 = 180 m. Se la distanza tra gli attrezzi è di 3 metri, lungo il perimetro della prima palestra si potranno disporre 90 = 30 attrezzi, mentre lungo il perimetro della seconda palestra si potranno disporre 180 = 60 attrezzi. 3 3 In definitiva, il numero di attrezzi in più necessari per la palestra di area maggiore è = Risposta esatta: B. La somma degli angoli interni di un poligono, regolare o non regolare che sia, è uguale a (n ) 180, indicando con n il numero di lati della figura. Nella traccia si parla di un pentagono, quindi di un poligono con 5 lati, che avrà somma degli angoli interni uguale a (5 ) 180 = = 540. (1) L area del quadrato puoi calcolarla anche moltiplicando la diagonale per se stessa e dividendo il risultato per. In questo caso, la diagonale del quadrato misura, quindi l area risulta essere: = = + = = 4 = = 4

10 9 Geometria euclidea 15 Risposta esatta: B. Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza, quindi l affermazione B è sicuramente falsa. 16 Risposta esatta: D. Il numero di diagonali che si possono tracciare da ogni vertice di un poligono è uguale al numero dei lati del poligono meno 3: in questo caso il poligono ha 1 lati e il numero di diagonali che si possono tracciare dai singoli vertici è 1 3 = Risposta esatta: C. L area di un cerchio di raggio R è uguale a π R ; la circonferenza di un cerchio di raggio R è uguale a π R. Il rapporto tra l area e la circonferenza di un cerchio di raggio R è π R π R = π R π R = R. 18 Risposta esatta: D. Il settore AOB equivale alla quarta parte della circonferenza di raggio r: la superficie circonferenza sua superficie, quindi, è uguale a = π r. La semicirconferenza di diametro OB, ha raggio uguale a r/ (il raggio è la metà del diametro: quindi se OB, che è il diame- 4 4 tro della semicirconferenza, vale r, allora il raggio della semicirconferenza è uguale a OB/, ovve- r π ro è uguale a r/): la sua superficie, quindi, è uguale a finitiva, S = π r 4 π r 8 = π r π r = π r 8 8. r = π 1 = π r 4 1 = π r. In de Risposta esatta: D. Il perimetro di un cerchio si calcola attraverso la formula circonferenza = π raggio. Il perimetro del campo lo indica la traccia, dicendo che è pari 4000 metri. Non conosci il raggio del campo, e quindi indicalo con r. Pertanto, puoi scrivere: π r = La palizzata esterna che circonda il campo a distanza di un metro dal bordo avrà raggio uguale a r + 1 e circonferenza uguale a: circonferenza palizzata = π (r + 1) = πr + π; ma πr vale 4000, quindi: circonferenza palizzata = πr + π = π

11 Logica matematica e ragionamento numerico 10 0 Risposta esatta: E. La diagonale di un rettangolo inscritto in una circonferenza coincide ad un diametro della circonferenza. La diagonale del rettangolo la puoi calcolare applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BCD, ovvero: BD = BC + CD = a +(a) = a + 4a = 5a = 5 a = 5a. Se la diagonale del rettangolo misura 5a, allora anche il diametro della circonferenza misura 5a e il raggio, che è uguale alla metà del diametro, misura 5a.