x M>> == 0>, 8x, y<f

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1 FIL ) H L + + Solve :: H L + + I ä y + I + ä +, F M>> 0 I ym y 0, Solve: + M>, : IMPOSSIILE ) : + y + 0 ::, y >, :, y >> 0>, 8, y<f ) Nel quadrato si traccino i segmenti N e M, essendo M e N i punti medi dei lati e rispettivamente. Si dimostri che i segmenti N e M sono perpendicolari e si calcoli l area del triangolo PN, dove P è il punto di intersezione fra N e M. N P M Per dimostrare la perpendicolarità di N e M, si può ad esempio osservare che il vettore NI, M e il vettore MI, M hanno prodotto scalare I, M I, M 0. Oppure, basta vedere che l angolo PN è comune ai due triangoli PN e N, inoltre l angolo NP è congruente all angolo N in quanto i triangoli M e N sono congruenti per costruzione. Quindi i triangoli PN e N sono simili e l angolo PN è retto.l ipotenusa N del secondo vale quindi il rapporto di similitudine è Ρ, mentre l ipotenusa di PN vale,. llora l area di PN è / di quella di N che vale. Se ne deduce che l area del triangolo PN vale /0.

2 Per dimostrare la perpendicolarità di N e M, si può ad esempio osservare che il vettore NI, M e il Mat vettore Soluzioni.nb MI, M hanno prodotto scalare I, M I, M 0. Oppure, basta vedere che l angolo PN è comune ai due triangoli PN e N, inoltre l angolo NP è congruente all angolo N in quanto i triangoli M e N sono congruenti per costruzione. Quindi i triangoli PN e N sono simili e l angolo PN è retto.l ipotenusa N del secondo vale quindi il rapporto di similitudine è Ρ, mentre l ipotenusa di PN vale,. llora l area di PN è / di quella di N che vale. Se ne deduce che l area del triangolo PN vale /0. Per verifica, se poniamo la figura in un riferimento cartesiano con su O, in H, 0L in H, L e in H0, L, avremo MH, L e NH, L. La retta per M ha equazione y e la retta per N y. Mettendole a sistema e risolvendo: : y y y quindi il punto P ha coordinate H, L. questo punto l area si calcola come metà del prodotto dei moduli dei vettori P e PN: rea Norm@pP p Norm@pP pn 0 ) In un rettangolo la base supera di cm i / dell altezza e l area è 8 cm. eterminare le lunghezze dei lati, della diagonale e il rapporto tra i segmenti in cui viene divisa la diagonale dalla proiezione ortogonale di uno dei vertici sulla diagonale stessa. (porre l altezza del rettangolo uguale all incognita ). h + >, 8b, h<f 88b, h <, 8b 8, h << Solve:b h 8, b K Risolvendo il sistema : b h 8 b h+ otteniamo b 8 h e quindi (terna pitagorica) 0. Indicata con K la proiezione di su, il triangolo K è simile a, il rapporto di similitudine vale (rapporto 8 K 0. Se 0 delle ipotenuse). Quindi K ne deduce che il rapporto richiesto vale K K 8 e per differenza 8 8. naliticamente, H0, 0L, H8, 0L, H0, L. La retta per ha equazione y + e la retta per ad essa perpendicolare è la y. Intersecandole si ottiene il punto K:

3 Indicata con K la proiezione di su, il triangolo K è simile a, il rapporto di similitudine vale (rapporto 8 K 0. Se 0 delle ipotenuse). Quindi K ne deduce che il rapporto richiesto vale K K 8 e per differenza Mat Soluzioni.nb 8 8. naliticamente, H0, 0L, H8, 0L, H0, L. La retta per ha equazione y + e la retta per ad essa perpendicolare è la y. Intersecandole si ottiene il punto K: Solve@8y +, y <, 8, y< :: 7,y >> e le misure dei due segmenti si trovano come norma dei vettori (o distanza fra due punti): K Norm@pK p 8 K Norm@p pk K K FIL ) + Solve + :: 0 ) : I + M I + ä 7 M>>, F yhy 0L +,y :: y + Solve: 7 M>, : IMPOSSIILE 0 I ä + y Hy 0L, >, 8, y 7<> y >, 8, y<f ) ata una semicirconferenza Γ di centro O e diametro MN r, si tracci una corda parallela al diametro e la retta s tangente a Γ e parallela al diametro. Le semirette di origine O passanti per e intersecano s nei punti e. Si determini per quale valore della distanza di da O la somma dei quadrati della base e dell altezza del triangolo O vale r.

4 Mat Soluzioni.nb t K H s Γ M N O I triangoli O e O sono simili in quanto le rette per e per sono parallele per costruzione. Il rapporto di similitudine è dato da OH OK OH. llora per il teorema di Pitagora applicato al triangolo e dunque K OH si ha H. Essendo OK per costruzione, la somma dei quadrati della base e dell altezza del triangolo O è data da OK + + I M si vuole sia uguale a r. Quindi, ponendo r, è + I M che + da cui. ) Nel triangolo rettangolo la proiezione H del cateto sull ipotenusa misura a. Sapendo che H H, si determini la misura del perimetro del triangolo. (porre ) a H el triangolo rettangolo è noto che H a e che H H. Si chiede il perimetro di. al momento che H H, la relazione diviene H H H 0 a 0. Si tratta allora di esprimere in funzione di a e. Il triangolo è simile al triangolo H, quindi sussiste la proporzione a H a. a Sostituendo: a 0 a a 0 che risolta restituisce

5 Mat Soluzioni.nb Solve a a 0, E 88 a<, 8 a<< e l unica soluzione accettabile è a. Si ottiene allora Pitagora 8 a a Quindi il perimetro richiesto è a + a a a aj + N a. a a a e col teorema di