IL TEOREMA DI PITAGORA E IL QUADRATO DI BINOMIO

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1 IL TEOREMA DI PITAGORA E IL QUADRATO DI BINOMIO Parole cardine Triangolo: poligono formato da tre angoli e da tre lati. Triangolo rettangolo: è un triangolo in cui l angolo formato da due lati, detti cateti, è retto. Il rimanente lato è detto ipotenusa. Angolo: è una delle due porzioni di piano compresa tra due semirette (lati dell angolo) aventi in comune la medesima origine (vertice dell angolo). Semiretta: è l insieme di un punto individuato su una retta e una delle due parti in cui la stessa è divisa dal punto stesso. Quadrato: è un quadrilatero regolare, vale a dire: è un poligono avente quattro lati congruenti e quattro angoli uguali retti. Parallelogramma: è un quadrilatero caratterizzato dall avere i lati e gli angoli opposti uguali. Congruenza: due figure geometriche si dicono congruenti se hanno la stessa forma e le stesse dimensioni. In maniera più rigorosa: quando è possibile trasformare l una nell altra per mezzo di una isometria ovvero per mezzo di una combinazione di traslazioni, rotazioni e riflessioni rigide (che avvengono senza di). Criteri di congruenza dei triangoli I criterio: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti, nell ordine, due lati e l angolo tra essi compreso II criterio: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti, rispettivamente, un lato e gli angoli adiacenti Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 1

2 III criterio: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti, nell ordine, tutti i lati La dimostrazione classica Il teorema di tagora Enunciato: dato un qualsiasi triangolo rettangolo, l area della superficie del quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma delle aree delle superficie dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione classica del teorema è contenuta nella parte conclusiva del primo libro degli Elementi di Euclide. Esso risale all anno 300 a.c. ed è riportato nella proposizione n. 47: nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo retto è uguale ai quadrati sui lati che comprendono l'angolo retto. In particolare essa risulta fondata sulla congruenza tra triangoli e sull equivalenza tra un triangolo e la metà del parallelogramma avente la medesima base e la stessa altezza. Invero Euclide dimostra che il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione dello stesso cateto sull ipotenusa e osservando che il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei rettangoli aventi per lati l ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 2

3 Dato un triangolo rettangolo qualunque, con l uso squadretta e compasso, si costruiscano, sui cateti AC e BC, rispettivamente i quadrati ACHI e BDEC. Parimenti si costruisca sull ipotenusa AB, il quadrato AFGB. Si proceda quindi all individuazione dei triangoli ABD, BCG, ABI e AFC e dei quadrilateri AFJK e BKJG. Terminata la costruzione grafica, il primo passo della dimostrazione del teorema consiste nel provare che i triangoli ABD e CBG sono congruenti per il I criterio. Infatti si attesta che: per entrambi l angolo di vertice B è la somma di un angolo retto e dell angolo ABC il lato BD del triangolo ABD è congruente al lato BC di CBG il lato AB del triangolo ABD è congruente al lato BG del triangolo CBG Ciò è vero per costruzione. Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 3

4 Il secondo passo della dimostrazione consiste nel dimostrare che i due triangoli ABD e CBG sono equivalenti rispettivamente alla metà dei quadrati BDEC e KJGB. Tale affermazione è fatta in base al seguente teorema: un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che ha per base metà base del triangolo e per altezza la medesima altezza. Poiché, avendo dimostrato che i triangoli ABD e CBG sono equivalenti essendo congruenti per il I criterio, anche i parallelogrammi BDEC e KJGB sono equivalenti. Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 4

5 Tale affermazione corrisponde a uno dei possibili enunciati equivalente al I teorema di Euclide per il quale il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto sull ipotenusa. Il medesimo procedimento si applica al quadrato ACHI e al rettangolo AFJK. I triangoli ABI e AFC sono congruenti per il I criterio. Infatti si attesta che: per entrambi l angolo di vertice A è la somma di un angolo retto e dell angolo CAB Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 5

6 il lato AI del triangolo ABI è congruente al lato AC di AFC il lato AB del triangolo ABI è congruente al lato AF del triangolo AFC Ciò è vero per costruzione. A questo punto si consideri il quadrato costruito sull ipotenusa AFGB quale unione dei rettangoli aventi per lati i due cateti e le rispettive proiezioni sull ipotenusa. Quod erat demonstrandum. Una dimostrazione semplice Ad oggi esistono centinaia di dimostrazioni del teorema. Tra tutte si è scelta la seguente che assomma a se pregevoli caratteristiche di Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 6

7 semplicità geometrica e algebrica, consentendo il richiamo di elementari proprietà del disegno e della grammatica letterale. In particolare rende agevole il perfezionamento della rappresentazione grafica del quadrato, del triangolo rettangolo e l applicazione del prodotto notevole noto come quadrato di binomio. Procedura Trattasi di disegnare un quadrato ABCD e di suddividere ciascuno dei suoli lati in due porzioni rispettivamente di misura a e b secondo un ordine circolare. Una volta individuati i punti intermedi di suddivisione E, F, G e H, risultano automaticamente costruiti i triangoli rettangoli AEH, BFE, CGF e DHG e il quadrato EFGH. I triangoli rettangoli in questione sono tra loro congruenti per il III criterio. Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 7

8 L area della superficie del quadrato ABCD può essere calcolata come segue: ove si è posto: l 2 = (a+b) 2 = 4 S + S = 4 (a b/2) + c 2 l = a+b S = a b/2 S = c 2 la misura del lato del quadrato ABCD la misura dell area della superficie di ognuno dei quattro triangoli rettangoli in cui è stato suddiviso il quadrato ABCD, ossia: AEH, BFE, CGF e DHG la misura dell area della superficie del quadrato EFGH a, b, c rispettivamente le misure dei cateti e dell ipotenusa dei triangoli AEH, BFE, CGF e DHG (a+b) 2 = 4 (a b/2) + c 2 a a b + b 2 = 2 a b + c 2 a 2 + b 2 = c 2 Quod erat demonstrandum Dixi. Giovanni Maria Tanda Machinator Tormentorum Bellicorum Ovvero: carpentiere specializzato Carpentiere specializzato: Giovanni Maria Tanda 8